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Theorem ulm2 22758
Description: Simplify ulmval 22753 when  F and  G are known to be functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulm2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulm2.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
ulm2.b  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  B )
ulm2.a  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  A )
ulm2.g  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
ulm2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ulm2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, z, F    j, G, k, x, z    j, M, k, x, z    ph, j,
k, x, z    A, j, k, x    x, B    S, j, k, x, z   
j, Z, x
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, j, k)    V( x, z, j, k)    Z( z, k)

Proof of Theorem ulm2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulm2.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
2 ulmval 22753 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
4 3anan12 987 . . . 4  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  <->  ( G : S
--> CC  /\  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
5 ulm2.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 ulm2.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
7 fdm 5725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  ->  dom  F  =  Z )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
9 fdm 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  dom  F  =  ( ZZ>= `  n
) )
108, 9sylan9req 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  Z  =  ( ZZ>= `  n )
)
115, 10syl5eqr 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  n ) )
12 ulm2.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
14 uz11 11114 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  n
)  <->  M  =  n
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  =  ( ZZ>= `  n )  <->  M  =  n ) )
1611, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  M  =  n )
1716eqcomd 2451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  n  =  M )
18 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  M )
)
1918, 5syl6eqr 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  Z )
2019feq2d 5708 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  <->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) ) )
2120biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  n  =  M )  ->  F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S ) )
226, 21sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S ) )
2317, 22impbida 832 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  <-> 
n  =  M ) )
2423anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  <->  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
25 ulm2.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
2625biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  <->  ( G : S
--> CC  /\  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) ) )
27 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ph )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  n  =  M )
29 uzid 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3012, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3130, 5syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  M  e.  Z )
3328, 32eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  n  e.  Z )
345uztrn2 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
j  e.  Z )
3533, 34sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  j  e.  Z )
365uztrn2 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
3735, 36sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  Z
)
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  k  e.  Z )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  z  e.  S )
40 ulm2.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  B )
4127, 38, 39, 40syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  k ) `  z )  =  B )
42 ulm2.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  A )
4327, 42sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  A )
4441, 43oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( (
( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) )  =  ( B  -  A
) )
4544fveq2d 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  =  ( abs `  ( B  -  A ) ) )
4645breq1d 4447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
4746ralbidva 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
4847ralbidva 2879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
4948rexbidva 2951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
5049ralbidv 2882 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) )
5150pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  <->  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
5224, 26, 513bitr3d 283 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G : S
--> CC  /\  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )  <->  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
534, 52syl5bb 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  <->  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
5453rexbidv 2954 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) ) )
5519rexeqdv 3047 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
5655ralbidv 2882 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
5756ceqsrexv 3219 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
5812, 57syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
593, 54, 583bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   CCcc 9493    < clt 9631    - cmin 9810   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   RR+crp 11231   abscabs 13049   ~~> uculm 22749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-neg 9813  df-z 10872  df-uz 11093  df-ulm 22750
This theorem is referenced by:  ulmi  22759  ulmclm  22760  ulmres  22761  ulmshftlem  22762  ulm0  22764  ulmcau  22768  ulmss  22770
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