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Theorem ulm2 20254
Description: Simplify ulmval 20249 when  F and  G are known to be functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulm2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulm2.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
ulm2.b  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  B )
ulm2.a  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  A )
ulm2.g  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
ulm2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ulm2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, z, F    j, G, k, x, z    j, M, k, x, z    ph, j,
k, x, z    A, j, k, x    x, B    S, j, k, x, z   
j, Z, x
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, j, k)    V( x, z, j, k)    Z( z, k)

Proof of Theorem ulm2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulm2.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
2 ulmval 20249 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
4 3anan12 949 . . . 4  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  <->  ( G : S
--> CC  /\  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
5 ulm2.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 ulm2.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
7 fdm 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  ->  dom  F  =  Z )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
9 fdm 5554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  dom  F  =  ( ZZ>= `  n
) )
108, 9sylan9req 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  Z  =  ( ZZ>= `  n )
)
115, 10syl5eqr 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  n ) )
12 ulm2.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
14 uz11 10464 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  n
)  <->  M  =  n
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  ( ( ZZ>=
`  M )  =  ( ZZ>= `  n )  <->  M  =  n ) )
1611, 15mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  M  =  n )
1716eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )  ->  n  =  M )
18 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  M )
)
1918, 5syl6eqr 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  Z )
2019feq2d 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  <->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) ) )
2120biimparc 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  n  =  M )  ->  F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S ) )
226, 21sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S ) )
2317, 22impbida 806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  <-> 
n  =  M ) )
2423anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  <->  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
25 ulm2.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
2625biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  <->  ( G : S
--> CC  /\  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) ) )
27 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ph )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  n  =  M )
29 uzid 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3012, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3130, 5syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
3231adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  M  e.  Z )
3328, 32eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  n  e.  Z )
345uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
j  e.  Z )
3533, 34sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  j  e.  Z )
365uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
3735, 36sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  Z
)
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  k  e.  Z )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  z  e.  S )
40 ulm2.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  B )
4127, 38, 39, 40syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  k ) `  z )  =  B )
42 ulm2.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  A )
4327, 42sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  A )
4441, 43oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( (
( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) )  =  ( B  -  A
) )
4544fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  =  ( abs `  ( B  -  A ) ) )
4645breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
4746ralbidva 2682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
4847ralbidva 2682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  =  M )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
4948rexbidva 2683 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
5049ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  =  M )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) )
5150pm5.32da 623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  <->  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
5224, 26, 513bitr3d 275 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G : S
--> CC  /\  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )  <->  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
534, 52syl5bb 249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  <->  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
5453rexbidv 2687 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) ) )
5519rexeqdv 2871 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
5655ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
5756ceqsrexv 3029 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
5812, 57syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( n  =  M  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
593, 54, 583bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   CCcc 8944    < clt 9076    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   abscabs 11994   ~~> uculm 20245
This theorem is referenced by:  ulmi  20255  ulmclm  20256  ulmres  20257  ulmshftlem  20258  ulm0  20260  ulmcau  20264  ulmss  20266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-ulm 20246
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