Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uhgrepe Structured version   Unicode version

Theorem uhgrepe 32750
Description: Replacing the edges of a hypergraph results in a hypergraph. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrepe.v  |-  V  =  ( Base `  G
)
uhgrepe.s  |-  S  =  ( .ef  `  ndx )
uhgrepe.g  |-  ( ph  ->  G  e. UHGraph  )
uhgrepe.e  |-  ( ph  ->  E : dom  E --> ( ~P V  \  { (/)
} ) )
uhgrepe.u  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
uhgrepe  |-  ( ph  ->  ( G sSet  <. S ,  E >. )  e. UHGraph  )

Proof of Theorem uhgrepe
StepHypRef Expression
1 uhgrepe.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E : dom  E --> ( ~P V  \  { (/)
} ) )
2 uhgrepe.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  G
)
32pweqi 4003 . . . . . 6  |-  ~P V  =  ~P ( Base `  G
)
43difeq1i 3604 . . . . 5  |-  ( ~P V  \  { (/) } )  =  ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } )
5 feq3 5697 . . . . 5  |-  ( ( ~P V  \  { (/)
} )  =  ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } )  ->  ( E : dom  E --> ( ~P V  \  { (/) } )  <->  E : dom  E --> ( ~P ( Base `  G )  \  { (/) } ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( E : dom  E --> ( ~P V  \  { (/) } )  <->  E : dom  E --> ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } ) )
71, 6sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E : dom  E --> ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } ) )
8 uhgrepe.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. UHGraph  )
9 uhgrepe.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
10 df-edgf 32735 . . . . . . . 8  |- .ef  = Slot ; 1 6
11 1nn0 10807 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
12 6nn 10693 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
1311, 12decnncl 10989 . . . . . . . 8  |- ; 1 6  e.  NN
1410, 13ndxid 14737 . . . . . . 7  |- .ef  = Slot  ( .ef  ` 
ndx )
1514setsid 14759 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. UHGraph  /\  E  e. 
_V )  ->  E  =  ( .ef  `  ( G sSet  <. ( .ef  `  ndx ) ,  E >. ) ) )
16 uhgrepe.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( .ef  `  ndx )
1716eqcomi 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .ef  `  ndx )  =  S
1817opeq1i 4206 . . . . . . . 8  |-  <. ( .ef  ` 
ndx ) ,  E >.  =  <. S ,  E >.
1918oveq2i 6281 . . . . . . 7  |-  ( G sSet  <. ( .ef  `  ndx ) ,  E >. )  =  ( G sSet  <. S ,  E >. )
2019fveq2i 5851 . . . . . 6  |-  ( .ef  `  ( G sSet  <. ( .ef  `  ndx ) ,  E >. ) )  =  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )
2115, 20syl6req 2512 . . . . 5  |-  ( ( G  e. UHGraph  /\  E  e. 
_V )  ->  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )  =  E )
228, 9, 21syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )  =  E )
2322dmeqd 5194 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )  =  dom  E )
2422, 23feq12d 5702 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) : dom  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. )
) --> ( ~P ( Base `  G )  \  { (/) } )  <->  E : dom  E --> ( ~P ( Base `  G )  \  { (/) } ) ) )
257, 24mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) : dom  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) --> ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } ) )
26 ovex 6298 . . 3  |-  ( G sSet  <. S ,  E >. )  e.  _V
27 baseid 14764 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
28 df-base 14721 . . . . . . . 8  |-  Base  = Slot  1
29 1nn 10542 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
3028, 29ndxarg 14736 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ndx )  =  1
3111dec0h 10992 . . . . . . . 8  |-  1  = ; 0 1
32 0nn0 10806 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
3332, 29decnncl 10989 . . . . . . . . . 10  |- ; 0 1  e.  NN
3433nnrei 10540 . . . . . . . . 9  |- ; 0 1  e.  RR
35 6nn0 10812 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN0
36 1lt10 10742 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  10
37 0lt1 10071 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
3832, 11, 11, 35, 36, 37decltc 10998 . . . . . . . . 9  |- ; 0 1  < ; 1 6
3934, 38ltneii 9686 . . . . . . . 8  |- ; 0 1  =/= ; 1 6
4031, 39eqnetri 2750 . . . . . . 7  |-  1  =/= ; 1 6
4130, 40eqnetri 2750 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  =/= ; 1 6
4210, 13ndxarg 14736 . . . . . . 7  |-  ( .ef  `  ndx )  = ; 1 6
4316, 42eqtri 2483 . . . . . 6  |-  S  = ; 1
6
4441, 43neeqtrri 2753 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =/=  S
4527, 44setsnid 14760 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )
46 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )  =  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )
4745, 46isuhgr 32738 . . 3  |-  ( ( G sSet  <. S ,  E >. )  e.  _V  ->  ( ( G sSet  <. S ,  E >. )  e. UHGraph  <->  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) : dom  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. )
) --> ( ~P ( Base `  G )  \  { (/) } ) ) )
4826, 47mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G sSet  <. S ,  E >. )  e. UHGraph  <-> 
( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) : dom  ( .ef  `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) --> ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } ) ) )
4925, 48mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( G sSet  <. S ,  E >. )  e. UHGraph  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   <.cop 4022   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482   6c6 10585  ;cdc 10976   ndxcnx 14713   sSet csts 14714   Basecbs 14716   .ef cedgf 32732   UHGraph cuhgr 32733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-edgf 32735  df-uhgr 32736
This theorem is referenced by:  uhgres  32751  uhgun  32752
  Copyright terms: Public domain W3C validator