Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uhgrepe Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uhgrepe 40198
Description: Replacing the edges of a hypergraph results in a hypergraph. (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrepe.v  |-  V  =  ( Base `  G
)
uhgrepe.s  |-  S  =  (.ef `  ndx )
uhgrepe.g  |-  ( ph  ->  G  e. UHGraphALTV  )
uhgrepe.e  |-  ( ph  ->  E : dom  E --> ( ~P V  \  { (/)
} ) )
uhgrepe.u  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
uhgrepe  |-  ( ph  ->  ( G sSet  <. S ,  E >. )  e. UHGraphALTV  )

Proof of Theorem uhgrepe
StepHypRef Expression
1 uhgrepe.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E : dom  E --> ( ~P V  \  { (/)
} ) )
2 uhgrepe.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  G
)
32pweqi 3946 . . . . . 6  |-  ~P V  =  ~P ( Base `  G
)
43difeq1i 3536 . . . . 5  |-  ( ~P V  \  { (/) } )  =  ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } )
5 feq3 5722 . . . . 5  |-  ( ( ~P V  \  { (/)
} )  =  ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } )  ->  ( E : dom  E --> ( ~P V  \  { (/) } )  <->  E : dom  E --> ( ~P ( Base `  G )  \  { (/) } ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( E : dom  E --> ( ~P V  \  { (/) } )  <->  E : dom  E --> ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } ) )
71, 6sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  E : dom  E --> ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } ) )
8 uhgrepe.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. UHGraphALTV  )
9 uhgrepe.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  _V )
10 df-edgf 39246 . . . . . . . 8  |- .ef  = Slot ; 1 8
11 1nn0 10909 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
12 8nn 10796 . . . . . . . . 9  |-  8  e.  NN
1311, 12decnncl 11087 . . . . . . . 8  |- ; 1 8  e.  NN
1410, 13ndxid 15220 . . . . . . 7  |- .ef  = Slot  (.ef ` 
ndx )
1514setsid 15242 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. UHGraphALTV  /\  E  e. 
_V )  ->  E  =  (.ef `  ( G sSet  <.
(.ef `  ndx ) ,  E >. ) ) )
16 uhgrepe.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (.ef `  ndx )
1716eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  (.ef `  ndx )  =  S
1817opeq1i 4161 . . . . . . . 8  |-  <. (.ef ` 
ndx ) ,  E >.  =  <. S ,  E >.
1918oveq2i 6319 . . . . . . 7  |-  ( G sSet  <. (.ef `  ndx ) ,  E >. )  =  ( G sSet  <. S ,  E >. )
2019fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  (.ef `  ( G sSet  <. (.ef `  ndx ) ,  E >. ) )  =  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )
2115, 20syl6req 2522 . . . . 5  |-  ( ( G  e. UHGraphALTV  /\  E  e. 
_V )  ->  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )  =  E )
228, 9, 21syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )  =  E )
2322dmeqd 5042 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )  =  dom  E )
2422, 23feq12d 5727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) : dom  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. )
) --> ( ~P ( Base `  G )  \  { (/) } )  <->  E : dom  E --> ( ~P ( Base `  G )  \  { (/) } ) ) )
257, 24mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) : dom  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) --> ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } ) )
26 ovex 6336 . . 3  |-  ( G sSet  <. S ,  E >. )  e.  _V
27 baseid 15247 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
28 slotsbaseefdif 39250 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (.ef ` 
ndx )
2928, 16neeqtrri 2716 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =/=  S
3027, 29setsnid 15243 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )
31 eqid 2471 . . . 4  |-  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )  =  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) )
3230, 31isuhgrALTV 40186 . . 3  |-  ( ( G sSet  <. S ,  E >. )  e.  _V  ->  ( ( G sSet  <. S ,  E >. )  e. UHGraphALTV  <->  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) : dom  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. )
) --> ( ~P ( Base `  G )  \  { (/) } ) ) )
3326, 32mp1i 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G sSet  <. S ,  E >. )  e. UHGraphALTV  <->  (.ef
`  ( G sSet  <. S ,  E >. )
) : dom  (.ef `  ( G sSet  <. S ,  E >. ) ) --> ( ~P ( Base `  G
)  \  { (/) } ) ) )
3425, 33mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( G sSet  <. S ,  E >. )  e. UHGraphALTV  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   <.cop 3965   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   8c8 10687  ;cdc 11074   ndxcnx 15196   sSet csts 15197   Basecbs 15199  .efcedgf 39245   UHGraphALTV cuhgraltv 40182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-edgf 39246  df-uhgrALTV 40184
This theorem is referenced by:  uhgres  40199  uhgun  40200
  Copyright terms: Public domain W3C validator