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Theorem uhgr2edg 39453
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a hypergraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrf1oedg.i  |-  I  =  (iEdg `  G )
usgrf1oedg.e  |-  E  =  (Edg `  G )
uhgr2edg.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
Assertion
Ref Expression
uhgr2edg  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, A, y    x, B, y    y, G    x, I, y    x, N, y   
x, V, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)

Proof of Theorem uhgr2edg
StepHypRef Expression
1 simp1l 1054 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  G  e. UHGraph  )
2 simp1r 1055 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  A  =/=  B )
3 simp23 1065 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  N  e.  V )
4 simp21 1063 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  A  e.  V )
5 3simpc 1029 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  ->  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) )
653ad2ant2 1052 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) )
73, 4, 6jca31 543 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
81, 2, 7jca31 543 . . 3  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/= 
B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) ) )
9 simp3 1032 . . 3  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
) )
108, 9jca 541 . 2  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  ( (
( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
) )
11 usgrf1oedg.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (Edg `  G )
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. UHGraph  ->  E  =  (Edg
`  G ) )
13 edgaval 39373 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. UHGraph  ->  (Edg `  G
)  =  ran  (iEdg `  G ) )
14 usgrf1oedg.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  (iEdg `  G )
1514eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  (iEdg `  G )  =  I
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e. UHGraph  ->  (iEdg `  G
)  =  I )
1716rneqd 5068 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. UHGraph  ->  ran  (iEdg `  G
)  =  ran  I
)
1812, 13, 173eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. UHGraph  ->  E  =  ran  I )
1918eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( G  e. UHGraph  ->  ( { N ,  A }  e.  E  <->  { N ,  A }  e.  ran  I ) )
2018eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( G  e. UHGraph  ->  ( { B ,  N }  e.  E  <->  { B ,  N }  e.  ran  I ) )
2119, 20anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( G  e. UHGraph  ->  ( ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
)  <->  ( { N ,  A }  e.  ran  I  /\  { B ,  N }  e.  ran  I ) ) )
22 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  (iEdg `  G )  =  (iEdg `  G )
2322uhgrfun 39310 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. UHGraph  ->  Fun  (iEdg `  G
) )
2414funeqi 5609 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  I  <->  Fun  (iEdg `  G
) )
2523, 24sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. UHGraph  ->  Fun  I )
26 funfn 5618 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  I  <->  I  Fn  dom  I )
2725, 26sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( G  e. UHGraph  ->  I  Fn  dom  I )
28 fvelrnb 5926 . . . . . . . 8  |-  ( I  Fn  dom  I  -> 
( { N ,  A }  e.  ran  I 
<->  E. x  e.  dom  I ( I `  x )  =  { N ,  A }
) )
29 fvelrnb 5926 . . . . . . . 8  |-  ( I  Fn  dom  I  -> 
( { B ,  N }  e.  ran  I 
<->  E. y  e.  dom  I ( I `  y )  =  { B ,  N }
) )
3028, 29anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( I  Fn  dom  I  -> 
( ( { N ,  A }  e.  ran  I  /\  { B ,  N }  e.  ran  I )  <->  ( E. x  e.  dom  I ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  E. y  e.  dom  I ( I `
 y )  =  { B ,  N } ) ) )
3127, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( G  e. UHGraph  ->  ( ( { N ,  A }  e.  ran  I  /\  { B ,  N }  e.  ran  I )  <->  ( E. x  e.  dom  I ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  E. y  e.  dom  I ( I `
 y )  =  { B ,  N } ) ) )
3221, 31bitrd 261 . . . . 5  |-  ( G  e. UHGraph  ->  ( ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
)  <->  ( E. x  e.  dom  I ( I `
 x )  =  { N ,  A }  /\  E. y  e. 
dom  I ( I `
 y )  =  { B ,  N } ) ) )
3332ad2antrr 740 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  ( ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
)  <->  ( E. x  e.  dom  I ( I `
 x )  =  { N ,  A }  /\  E. y  e. 
dom  I ( I `
 y )  =  { B ,  N } ) ) )
34 reeanv 2944 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( ( I `
 x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y )  =  { B ,  N }
)  <->  ( E. x  e.  dom  I ( I `
 x )  =  { N ,  A }  /\  E. y  e. 
dom  I ( I `
 y )  =  { B ,  N } ) )
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
I `  x )  =  ( I `  y ) )
3635eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( I `  x
)  =  { N ,  A }  <->  ( I `  y )  =  { N ,  A }
) )
3736anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y
)  =  { B ,  N } )  <->  ( (
I `  y )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y )  =  { B ,  N }
) ) )
38 eqtr2 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I `  y
)  =  { N ,  A }  /\  (
I `  y )  =  { B ,  N } )  ->  { N ,  A }  =  { B ,  N }
)
39 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { B ,  N }  =  { N ,  B }
4039eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { N ,  A }  =  { B ,  N } 
<->  { N ,  A }  =  { N ,  B } )
41 preq12bg 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( N  e.  V  /\  B  e.  V ) )  -> 
( { N ,  A }  =  { N ,  B }  <->  ( ( N  =  N  /\  A  =  B )  \/  ( N  =  B  /\  A  =  N ) ) ) )
4241ancom2s 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) )  -> 
( { N ,  A }  =  { N ,  B }  <->  ( ( N  =  N  /\  A  =  B )  \/  ( N  =  B  /\  A  =  N ) ) ) )
43 eqneqall 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  B  ->  ( A  =/=  B  ->  x  =/=  y ) )
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  =  N  /\  A  =  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  x  =/=  y ) )
45 eqtr 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  =  N  /\  N  =  B )  ->  A  =  B )
4645ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  =  B  /\  A  =  N )  ->  A  =  B )
4746, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  =  B  /\  A  =  N )  ->  ( A  =/=  B  ->  x  =/=  y ) )
4844, 47jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  =  N  /\  A  =  B )  \/  ( N  =  B  /\  A  =  N ) )  -> 
( A  =/=  B  ->  x  =/=  y ) )
4948adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  =  N  /\  A  =  B )  \/  ( N  =  B  /\  A  =  N ) )  -> 
( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  ->  x  =/=  y ) )
5042, 49syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) )  -> 
( { N ,  A }  =  { N ,  B }  ->  ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  ->  x  =/=  y ) ) )
5150com3l 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { N ,  A }  =  { N ,  B }  ->  ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  ->  ( (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) )  ->  x  =/=  y ) ) )
5251impd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { N ,  A }  =  { N ,  B }  ->  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/= 
B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  x  =/=  y
) )
5340, 52sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { N ,  A }  =  { B ,  N }  ->  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/= 
B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  x  =/=  y
) )
5438, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I `  y
)  =  { N ,  A }  /\  (
I `  y )  =  { B ,  N } )  ->  (
( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  ->  x  =/=  y ) )
5537, 54syl6bi 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y
)  =  { B ,  N } )  -> 
( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  ->  x  =/=  y ) ) )
5655com23 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  -> 
( ( ( I `
 x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y )  =  { B ,  N }
)  ->  x  =/=  y ) ) )
5756impd 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  /\  ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y
)  =  { B ,  N } ) )  ->  x  =/=  y
) )
58 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  ->  (
( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  /\  ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y
)  =  { B ,  N } ) )  ->  x  =/=  y
) )
5957, 58pm2.61ine 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  /\  ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y
)  =  { B ,  N } ) )  ->  x  =/=  y
)
60 prid1g 4069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  { N ,  A } )
6160ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) )  ->  N  e.  { N ,  A } )
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  N  e.  { N ,  A }
)
63 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  ->  ( N  e.  ( I `  x )  <->  N  e.  { N ,  A }
) )
6462, 63syl5ibr 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  ->  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  N  e.  ( I `  x ) ) )
6564adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I `  x
)  =  { N ,  A }  /\  (
I `  y )  =  { B ,  N } )  ->  (
( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  ->  N  e.  ( I `  x ) ) )
6665impcom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  /\  ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y
)  =  { B ,  N } ) )  ->  N  e.  ( I `  x ) )
67 prid2g 4070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  { B ,  N } )
6867ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) )  ->  N  e.  { B ,  N } )
6968adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  N  e.  { B ,  N }
)
70 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  y )  =  { B ,  N }  ->  ( N  e.  ( I `  y )  <->  N  e.  { B ,  N }
) )
7169, 70syl5ibr 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I `  y )  =  { B ,  N }  ->  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  N  e.  ( I `  y ) ) )
7271adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I `  x
)  =  { N ,  A }  /\  (
I `  y )  =  { B ,  N } )  ->  (
( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  ->  N  e.  ( I `  y ) ) )
7372impcom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  /\  ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y
)  =  { B ,  N } ) )  ->  N  e.  ( I `  y ) )
7459, 66, 733jca 1210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  /\  ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  ( I `  y
)  =  { B ,  N } ) )  ->  ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) )
7574ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  ( ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  (
I `  y )  =  { B ,  N } )  ->  (
x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x )  /\  N  e.  ( I `  y
) ) ) )
7675reximdv 2857 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  ( E. y  e.  dom  I ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  (
I `  y )  =  { B ,  N } )  ->  E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) ) )
7776reximdv 2857 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  ( E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( ( I `  x )  =  { N ,  A }  /\  (
I `  y )  =  { B ,  N } )  ->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) ) )
7834, 77syl5bir 226 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  ( ( E. x  e.  dom  I
( I `  x
)  =  { N ,  A }  /\  E. y  e.  dom  I ( I `  y )  =  { B ,  N } )  ->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) ) )
7933, 78sylbid 223 . . 3  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  (
( N  e.  V  /\  A  e.  V
)  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )  ->  ( ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E
)  ->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) ) )
8079imp 436 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B
)  /\  ( ( N  e.  V  /\  A  e.  V )  /\  ( B  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E ) )  ->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) )
8110, 80syl 17 1  |-  ( ( ( G  e. UHGraph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  N  e.  V )  /\  ( { N ,  A }  e.  E  /\  { B ,  N }  e.  E )
)  ->  E. x  e.  dom  I E. y  e.  dom  I ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( I `  x
)  /\  N  e.  ( I `  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {cpr 3961   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252   UHGraph cuhgr 39300  Edgcedga 39371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-uhgr 39302  df-edga 39372
This theorem is referenced by:  umgr2edg  39454
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