Theorem uhgr2edg 39453

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a hypergraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )
uhgr2edg.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgr2edg	|- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A, y   x, B, y   y, G   x, I, y   x, N, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem uhgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1054	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> G e. UHGraph )
2		simp1r 1055	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A =/= B )
3		simp23 1065	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> N e. V )
4		simp21 1063	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A e. V )
5		3simpc 1029	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
6	5	3ad2ant2 1052	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
7	3, 4, 6	jca31 543	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) )
8	1, 2, 7	jca31 543	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) )
9		simp3 1032	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) )
10	8, 9	jca 541	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) )
11		usgrf1oedg.e	. . . . . . . . . 10 |- E = (Edg ` G )
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> E = (Edg ` G ) )
13		edgaval 39373	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
14		usgrf1oedg.i	. . . . . . . . . . . 12 |- I = (iEdg ` G )
15	14	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` G ) = I
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. UHGraph -> (iEdg ` G ) = I )
17	16	rneqd 5068	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> ran (iEdg ` G ) = ran I )
18	12, 13, 17	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> E = ran I )
19	18	eleq2d 2534	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> ( { N , A } e. E <-> { N , A } e. ran I ) )
20	18	eleq2d 2534	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> ( { B , N } e. E <-> { B , N } e. ran I ) )
21	19, 20	anbi12d 725	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) ) )
22		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
23	22	uhgrfun 39310	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
24	14	funeqi 5609	. . . . . . . . 9 |- ( Fun I <-> Fun (iEdg ` G ) )
25	23, 24	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
26		funfn 5618	. . . . . . . 8 |- ( Fun I <-> I Fn dom I )
27	25, 26	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
28		fvelrnb 5926	. . . . . . . 8 |- ( I Fn dom I -> ( { N , A } e. ran I <-> E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } ) )
29		fvelrnb 5926	. . . . . . . 8 |- ( I Fn dom I -> ( { B , N } e. ran I <-> E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
30	28, 29	anbi12d 725	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
31	27, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
32	21, 31	bitrd 261	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
33	32	ad2antrr 740	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
34		reeanv 2944	. . . . 5 |- ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
35		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
36	35	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { N , A } <-> ( I ` y ) = { N , A } ) )
37	36	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
38		eqtr2 2491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> { N , A } = { B , N } )
39		prcom 4041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { B , N } = { N , B }
40	39	eqeq2i 2483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { N , A } = { B , N } <-> { N , A } = { N , B } )
41		preq12bg 4146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( N e. V /\ B e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
42	41	ancom2s 819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
43		eqneqall 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = B -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
44	43	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N = N /\ A = B ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
45		eqtr 2490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A = N /\ N = B ) -> A = B )
46	45	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> A = B )
47	46, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
48	44, 47	jaoi 386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
49	48	adantld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) )
50	42, 49	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) ) )
51	50	com3l 83	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> x =/= y ) ) )
52	51	impd 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
53	40, 52	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { N , A } = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
54	38, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
55	37, 54	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) ) )
56	55	com23 80	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> x =/= y ) ) )
57	56	impd 438	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y ) )
58		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= y -> ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y ) )
59	57, 58	pm2.61ine 2726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y )
60		prid1g 4069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. V -> N e. { N , A } )
61	60	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { N , A } )
62	61	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { N , A } )
63		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( N e. ( I ` x ) <-> N e. { N , A } ) )
64	62, 63	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
65	64	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
66	65	impcom 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` x ) )
67		prid2g 4070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. V -> N e. { B , N } )
68	67	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { B , N } )
69	68	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { B , N } )
70		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( N e. ( I ` y ) <-> N e. { B , N } ) )
71	69, 70	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
72	71	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
73	72	impcom 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` y ) )
74	59, 66, 73	3jca 1210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
75	74	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
76	75	reximdv 2857	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
77	76	reximdv 2857	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
78	34, 77	syl5bir 226	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
79	33, 78	sylbid 223	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
80	79	imp 436	. 2 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
81	10, 80	syl 17	1 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {cpr 3961   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   ` cfv 5589  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252   UHGraph cuhgr 39300  Edgcedga 39371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-uhgr 39302  df-edga 39372

This theorem is referenced by:  umgr2edg  39454