Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uhgr2edg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uhgr2edg 39453
 Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a hypergraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrf1oedg.i iEdg
usgrf1oedg.e Edg
uhgr2edg.v Vtx
Assertion
Ref Expression
uhgr2edg UHGraph
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem uhgr2edg
StepHypRef Expression
1 simp1l 1054 . . . 4 UHGraph UHGraph
2 simp1r 1055 . . . 4 UHGraph
3 simp23 1065 . . . . 5 UHGraph
4 simp21 1063 . . . . 5 UHGraph
5 3simpc 1029 . . . . . 6
653ad2ant2 1052 . . . . 5 UHGraph
73, 4, 6jca31 543 . . . 4 UHGraph
81, 2, 7jca31 543 . . 3 UHGraph UHGraph
9 simp3 1032 . . 3 UHGraph
108, 9jca 541 . 2 UHGraph UHGraph
11 usgrf1oedg.e . . . . . . . . . 10 Edg
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 UHGraph Edg
13 edgaval 39373 . . . . . . . . 9 UHGraph Edg iEdg
14 usgrf1oedg.i . . . . . . . . . . . 12 iEdg
1514eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11 iEdg
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 UHGraph iEdg
1716rneqd 5068 . . . . . . . . 9 UHGraph iEdg
1812, 13, 173eqtrd 2509 . . . . . . . 8 UHGraph
1918eleq2d 2534 . . . . . . 7 UHGraph
2018eleq2d 2534 . . . . . . 7 UHGraph
2119, 20anbi12d 725 . . . . . 6 UHGraph
22 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 iEdg iEdg
2322uhgrfun 39310 . . . . . . . . 9 UHGraph iEdg
2414funeqi 5609 . . . . . . . . 9 iEdg
2523, 24sylibr 217 . . . . . . . 8 UHGraph
26 funfn 5618 . . . . . . . 8
2725, 26sylib 201 . . . . . . 7 UHGraph
28 fvelrnb 5926 . . . . . . . 8
29 fvelrnb 5926 . . . . . . . 8
3028, 29anbi12d 725 . . . . . . 7
3127, 30syl 17 . . . . . 6 UHGraph
3221, 31bitrd 261 . . . . 5 UHGraph
3332ad2antrr 740 . . . 4 UHGraph
34 reeanv 2944 . . . . 5
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14
3736anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . 13
38 eqtr2 2491 . . . . . . . . . . . . . 14
39 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 preq12bg 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4241ancom2s 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 eqneqall 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45 eqtr 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4645ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4746, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4844, 47jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 UHGraph
5042, 49syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 UHGraph
5150com3l 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16 UHGraph
5251impd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15 UHGraph
5340, 52sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14 UHGraph
5438, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 UHGraph
5537, 54syl6bi 236 . . . . . . . . . . . 12 UHGraph
5655com23 80 . . . . . . . . . . 11 UHGraph
5756impd 438 . . . . . . . . . 10 UHGraph
58 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 UHGraph
5957, 58pm2.61ine 2726 . . . . . . . . 9 UHGraph
60 prid1g 4069 . . . . . . . . . . . . . 14
6160ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 UHGraph
63 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
6462, 63syl5ibr 229 . . . . . . . . . . 11 UHGraph
6564adantr 472 . . . . . . . . . 10 UHGraph
6665impcom 437 . . . . . . . . 9 UHGraph
67 prid2g 4070 . . . . . . . . . . . . . 14
6867ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
6968adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 UHGraph
70 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70syl5ibr 229 . . . . . . . . . . 11 UHGraph
7271adantl 473 . . . . . . . . . 10 UHGraph
7372impcom 437 . . . . . . . . 9 UHGraph
7459, 66, 733jca 1210 . . . . . . . 8 UHGraph
7574ex 441 . . . . . . 7 UHGraph
7675reximdv 2857 . . . . . 6 UHGraph
7776reximdv 2857 . . . . 5 UHGraph
7834, 77syl5bir 226 . . . 4 UHGraph
7933, 78sylbid 223 . . 3 UHGraph
8079imp 436 . 2 UHGraph
8110, 80syl 17 1 UHGraph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  cpr 3961   cdm 4839   crn 4840   wfun 5583   wfn 5584  cfv 5589  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252   UHGraph cuhgr 39300  Edgcedga 39371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-uhgr 39302  df-edga 39372 This theorem is referenced by:  umgr2edg  39454
 Copyright terms: Public domain W3C validator