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Theorem ufprim 20276
Description: An ultrafilter is a prime filter. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufprim  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  <->  ( A  u.  B )  e.  F
) )

Proof of Theorem ufprim
StepHypRef Expression
1 ufilfil 20271 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
213ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  e.  F )
5 unss 3683 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  <->  ( A  u.  B )  C_  X
)
65biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  -> 
( A  u.  B
)  C_  X )
763adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  u.  B )  C_  X )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  C_  X )
9 ssun1 3672 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
11 filss 20220 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  e.  F  /\  ( A  u.  B
)  C_  X  /\  A  C_  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  F
)
123, 4, 8, 10, 11syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  e.  F )
1312ex 434 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  e.  F  ->  ( A  u.  B )  e.  F ) )
142adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
15 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  B  e.  F )
167adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  C_  X )
17 ssun2 3673 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  B  C_  ( A  u.  B ) )
19 filss 20220 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( B  e.  F  /\  ( A  u.  B
)  C_  X  /\  B  C_  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  F
)
2014, 15, 16, 18, 19syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  e.  F )
2120ex 434 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( B  e.  F  ->  ( A  u.  B )  e.  F ) )
2213, 21jaod 380 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  ->  ( A  u.  B )  e.  F
) )
23 ufilb 20273 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F ) )
24233adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F ) )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F
) )
2623ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
27 difun2 3912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
28 uncom 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  u.  A )  =  ( A  u.  B
)
2928difeq1i 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( ( A  u.  B )  \  A
)
3027, 29eqtr3i 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  A )  =  ( ( A  u.  B )  \  A
)
3130ineq2i 3702 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( X  i^i  (
( A  u.  B
)  \  A )
)
32 indifcom 3748 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( X  i^i  ( B  \  A ) )
33 indifcom 3748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( X  i^i  (
( A  u.  B
)  \  A )
)
3431, 32, 333eqtr4i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )
35 filin 20221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  u.  B )  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  (
( A  u.  B
)  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
362, 35syl3an1 1261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
3734, 36syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( B  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
38 simp13 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  B  C_  X )
39 inss1 3723 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  C_  B
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( B  i^i  ( X  \  A ) ) 
C_  B )
41 filss 20220 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( B  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F  /\  B  C_  X  /\  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  C_  B ) )  ->  B  e.  F )
4226, 37, 38, 40, 41syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  B  e.  F )
43423expia 1198 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( ( X 
\  A )  e.  F  ->  B  e.  F ) )
4425, 43sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  F  ->  B  e.  F ) )
4544orrd 378 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( A  e.  F  \/  B  e.  F ) )
4645ex 434 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  F  -> 
( A  e.  F  \/  B  e.  F
) ) )
4722, 46impbid 191 1  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  <->  ( A  u.  B )  e.  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    \ cdif 3478    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ` cfv 5594   Filcfil 20212   UFilcufil 20266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-fbas 18284  df-fil 20213  df-ufil 20268
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