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Theorem ufinffr 20993
Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
ufinffr  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, X

Proof of Theorem ufinffr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ominf 7810 . . . . 5  |-  -.  om  e.  Fin
2 domfi 7819 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  om  ~<_  A )  ->  om  e.  Fin )
32expcom 441 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
41, 3mtoi 183 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
5 cfinfil 20957 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
64, 5syl3an3 1311 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X ) )
7 filssufil 20976 . . 3  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  C_  f )
86, 7syl 17 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  C_  f )
9 elpw2g 4580 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A  e.  ~P X  <->  A 
C_  X ) )
109biimpar 492 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ~P X
)
11103adant3 1034 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  e.  ~P X )
12 0fin 7825 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  (/)  e.  Fin )
14 difeq2 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
15 difid 3847 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
1614, 15syl6eq 2512 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
1716eleq1d 2524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1817elrab 3208 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( A  e.  ~P X  /\  (/)  e.  Fin ) )
1911, 13, 18sylanbrc 675 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
20 ssel 3438 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  ( A  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  A  e.  f ) )
2119, 20syl5com 31 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  A  e.  f ) )
22 intss 4269 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  C_ 
|^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
23 neldifsn 4112 . . . . . . . . . 10  |-  -.  y  e.  ( A  \  {
y } )
24 elinti 4257 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  |^| { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  ( ( A  \  {
y } )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  y  e.  ( A  \  { y } ) ) )
2523, 24mtoi 183 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  -.  ( A  \  {
y } )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
26 simp2 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  C_  X )
2726ssdifssd 3583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  C_  X )
28 elpw2g 4580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  (
( A  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  X ) )
29283ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  (
( A  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  X ) )
3027, 29mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  ~P X
)
31 snfi 7676 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y }  e.  Fin
32 eldif 3426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  -.  x  e.  ( A  \  { y } ) ) )
33 eldif 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( x  e.  A  /\  -.  x  e.  {
y } ) )
3433notbii 302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  ( A 
\  { y } )  <->  -.  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  { y } ) )
35 iman 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  { y } ) )
3634, 35bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  ( A 
\  { y } )  <->  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) )
3736anbi2i 705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  ( A  \  { y } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) ) )
3832, 37bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) ) )
39 pm3.35 595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) )  ->  x  e.  { y } )
4038, 39sylbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  ->  x  e.  {
y } )
4140ssriv 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  C_  { y }
42 ssfi 7818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) ) 
C_  { y } )  ->  ( A  \  ( A  \  {
y } ) )  e.  Fin )
4331, 41, 42mp2an 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin )
45 difeq2 3557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  { y } ) ) )
4645eleq1d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
4746elrab 3208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <-> 
( ( A  \  { y } )  e.  ~P X  /\  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
4830, 44, 47sylanbrc 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
4925, 48nsyl3 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  -.  y  e.  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
5049eq0rdv 3781 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  =  (/) )
5150sseq2d 3472 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( |^| f  C_  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  |^| f  C_  (/) ) )
5222, 51syl5ib 227 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  C_  (/) ) )
53 ss0 3777 . . . . 5  |-  ( |^| f  C_  (/)  ->  |^| f  =  (/) )
5452, 53syl6 34 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  =  (/) ) )
5521, 54jcad 540 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) ) )
5655reximdv 2873 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( E. f  e.  ( UFil `  X ) { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) ) )
578, 56mpd 15 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   E.wrex 2750   {crab 2753    \ cdif 3413    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   |^|cint 4248   class class class wbr 4416   ` cfv 5601   omcom 6719    ~<_ cdom 7593   Fincfn 7595   Filcfil 20909   UFilcufil 20963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-ac2 8919
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-rpss 6598  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fi 7951  df-card 8399  df-ac 8573  df-cda 8624  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-fil 20910  df-ufil 20965
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