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Theorem ufinffr 20303
Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
ufinffr  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, X

Proof of Theorem ufinffr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ominf 7734 . . . . 5  |-  -.  om  e.  Fin
2 domfi 7743 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  om  ~<_  A )  ->  om  e.  Fin )
32expcom 435 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
41, 3mtoi 178 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
5 cfinfil 20267 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
64, 5syl3an3 1264 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X ) )
7 filssufil 20286 . . 3  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  C_  f )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  C_  f )
9 elpw2g 4600 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A  e.  ~P X  <->  A 
C_  X ) )
109biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ~P X
)
11103adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  e.  ~P X )
12 0fin 7749 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  (/)  e.  Fin )
14 difeq2 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
15 difid 3882 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
1614, 15syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
1716eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1817elrab 3243 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( A  e.  ~P X  /\  (/)  e.  Fin ) )
1911, 13, 18sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
20 ssel 3483 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  ( A  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  A  e.  f ) )
2119, 20syl5com 30 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  A  e.  f ) )
22 intss 4292 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  C_ 
|^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
23 neldifsn 4142 . . . . . . . . . 10  |-  -.  y  e.  ( A  \  {
y } )
24 elinti 4280 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  |^| { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  ( ( A  \  {
y } )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  y  e.  ( A  \  { y } ) ) )
2523, 24mtoi 178 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  -.  ( A  \  {
y } )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
26 simp2 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  C_  X )
2726ssdifssd 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  C_  X )
28 elpw2g 4600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  (
( A  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  X ) )
29283ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  (
( A  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  X ) )
3027, 29mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  ~P X
)
31 snfi 7598 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y }  e.  Fin
32 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  -.  x  e.  ( A  \  { y } ) ) )
33 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( x  e.  A  /\  -.  x  e.  {
y } ) )
3433notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  ( A 
\  { y } )  <->  -.  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  { y } ) )
35 iman 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  { y } ) )
3634, 35bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  ( A 
\  { y } )  <->  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) )
3736anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  ( A  \  { y } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) ) )
3832, 37bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) ) )
39 pm3.35 587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) )  ->  x  e.  { y } )
4038, 39sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  ->  x  e.  {
y } )
4140ssriv 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  C_  { y }
42 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) ) 
C_  { y } )  ->  ( A  \  ( A  \  {
y } ) )  e.  Fin )
4331, 41, 42mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin )
45 difeq2 3601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  { y } ) ) )
4645eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
4746elrab 3243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <-> 
( ( A  \  { y } )  e.  ~P X  /\  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
4830, 44, 47sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
4925, 48nsyl3 119 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  -.  y  e.  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
5049eq0rdv 3806 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  =  (/) )
5150sseq2d 3517 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( |^| f  C_  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  |^| f  C_  (/) ) )
5222, 51syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  C_  (/) ) )
53 ss0 3802 . . . . 5  |-  ( |^| f  C_  (/)  ->  |^| f  =  (/) )
5452, 53syl6 33 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  =  (/) ) )
5521, 54jcad 533 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) ) )
5655reximdv 2917 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( E. f  e.  ( UFil `  X ) { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) ) )
578, 56mpd 15 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   {crab 2797    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   |^|cint 4271   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   omcom 6685    ~<_ cdom 7516   Fincfn 7518   Filcfil 20219   UFilcufil 20273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-ac2 8846
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-rpss 6565  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-card 8323  df-ac 8500  df-cda 8551  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-fil 20220  df-ufil 20275
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