Theorem ufilmax 15568

Description: Any filter finer than an ultrafilter is actually equal to it.

Hypotheses

Ref	Expression
ufilmax.1	|- X = U.F
ufilmax.2	|- Y = U.G

Assertion

Ref	Expression
ufilmax	|- (((F e. UFil /\ G e. Fil) /\ (X = Y /\ F C_ G)) -> F = G)

Proof of Theorem ufilmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilmax.1	. . . . 5 |- X = U.F
2	1	isufil2 15565	. . . 4 |- (F e. UFil <-> (F e. Fil /\ A.g e. Fil ((X = U.g /\ F C_ g) -> F = g)))
3	2	simprbi 353	. . 3 |- (F e. UFil -> A.g e. Fil ((X = U.g /\ F C_ g) -> F = g))
4		unieq 3185	. . . . . . . 8 |- (g = G -> U.g = U.G)
5		ufilmax.2	. . . . . . . 8 |- Y = U.G
6	4, 5	syl6eqr 1946	. . . . . . 7 |- (g = G -> U.g = Y)
7	6	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (g = G -> (X = U.g <-> X = Y))
8		sseq2 2639	. . . . . 6 |- (g = G -> (F C_ g <-> F C_ G))
9	7, 8	anbi12d 690	. . . . 5 |- (g = G -> ((X = U.g /\ F C_ g) <-> (X = Y /\ F C_ G)))
10		eqeq2 1893	. . . . 5 |- (g = G -> (F = g <-> F = G))
11	9, 10	imbi12d 688	. . . 4 |- (g = G -> (((X = U.g /\ F C_ g) -> F = g) <-> ((X = Y /\ F C_ G) -> F = G)))
12	11	rcla4cv 2377	. . 3 |- (A.g e. Fil ((X = U.g /\ F C_ g) -> F = g) -> (G e. Fil -> ((X = Y /\ F C_ G) -> F = G)))
13	3, 12	syl 12	. 2 |- (F e. UFil -> (G e. Fil -> ((X = Y /\ F C_ G) -> F = G)))
14	13	imp31 389	1 |- (((F e. UFil /\ G e. Fil) /\ (X = Y /\ F C_ G)) -> F = G)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  U.cuni 3177  Filcfil 10264  UFilcufil 15562

This theorem is referenced by:  ufileu 15573  uffixfr 15575  fmufil 15599  uffclsflim 15616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-ufil 15563

Copyright terms: Public domain