Theorem ufileulem 15572

Description: Lemma for ufileu 15573.

Hypothesis

Ref	Expression
ufileu.1	|- X = U.F

Assertion

Ref	Expression
ufileulem	|- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> ( fi ` (F u. {s})) e. fBas)

Distinct variable groups:   F,s   X,s

Proof of Theorem ufileulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 3492	. . . . 5 |- {s} e. _V
2		unexg 3798	. . . . 5 |- ((F e. Fil /\ {s} e. _V) -> (F u. {s}) e. _V)
3	1, 2	mpan2 760	. . . 4 |- (F e. Fil -> (F u. {s}) e. _V)
4		fsubbas 10281	. . . 4 |- ((F u. {s}) e. _V -> (( fi ` (F u. {s})) e. fBas <-> ((F u. {s}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {s})))))
5	3, 4	syl 12	. . 3 |- (F e. Fil -> (( fi ` (F u. {s})) e. fBas <-> ((F u. {s}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {s})))))
6	5	ad2antrr 440	. 2 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> (( fi ` (F u. {s})) e. fBas <-> ((F u. {s}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (F u. {s})))))
7		ufileu.1	. . . . 5 |- X = U.F
8	7	filusb 10267	. . . 4 |- (F e. Fil -> X e. F)
9		ne0i 2881	. . . 4 |- (X e. F -> F =/= (/))
10		ssun1 2767	. . . . 5 |- F C_ (F u. {s})
11		ssn0 2905	. . . . 5 |- ((F C_ (F u. {s}) /\ F =/= (/)) -> (F u. {s}) =/= (/))
12	10, 11	mpan 759	. . . 4 |- (F =/= (/) -> (F u. {s}) =/= (/))
13	8, 9, 12	3syl 24	. . 3 |- (F e. Fil -> (F u. {s}) =/= (/))
14	13	ad2antrr 440	. 2 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> (F u. {s}) =/= (/))
15		ineq2 2790	. . . . . . . . . 10 |- (y = s -> (x i^i y) = (x i^i s))
16	15	neeq1d 2028	. . . . . . . . 9 |- (y = s -> ((x i^i y) =/= (/) <-> (x i^i s) =/= (/)))
17	16	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (y = s -> ((x e. F -> (x i^i y) =/= (/)) <-> (x e. F -> (x i^i s) =/= (/))))
18		elssuni 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. F -> x C_ U.F)
19	18, 7	syl6ssr 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. F -> x C_ X)
20		reldisj 2916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x C_ X -> ((x i^i s) = (/) <-> x C_ (X \ s)))
21	19, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. F -> ((x i^i s) = (/) <-> x C_ (X \ s)))
22	21	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ x e. F) -> ((x i^i s) = (/) <-> x C_ (X \ s)))
23		difss 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (X \ s) C_ X
24	7	fillsb 10270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F e. Fil -> ((x e. F /\ (X \ s) C_ X /\ x C_ (X \ s)) -> (X \ s) e. F))
25	24	3expd 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (F e. Fil -> (x e. F -> ((X \ s) C_ X -> (x C_ (X \ s) -> (X \ s) e. F))))
26	25	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F e. Fil /\ x e. F) -> ((X \ s) C_ X -> (x C_ (X \ s) -> (X \ s) e. F)))
27	23, 26	mpi 55	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ x e. F) -> (x C_ (X \ s) -> (X \ s) e. F))
28	27	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ x e. F) -> (x C_ (X \ s) -> (X \ s) e. F))
29	22, 28	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ x e. F) -> ((x i^i s) = (/) -> (X \ s) e. F))
30	29	necon3bd 2039	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ x e. F) -> (-. (X \ s) e. F -> (x i^i s) =/= (/)))
31	30	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ s C_ X) -> (x e. F -> (-. (X \ s) e. F -> (x i^i s) =/= (/))))
32	31	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. Fil /\ s C_ X) -> (-. (X \ s) e. F -> (x e. F -> (x i^i s) =/= (/))))
33	32	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ -. (X \ s) e. F) -> (x e. F -> (x i^i s) =/= (/)))
34	33	adantrl 430	. . . . . . . 8 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> (x e. F -> (x i^i s) =/= (/)))
35	17, 34	syl5cbir 228	. . . . . . 7 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> (y = s -> (x e. F -> (x i^i y) =/= (/))))
36	35	com23 36	. . . . . 6 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> (x e. F -> (y = s -> (x i^i y) =/= (/))))
37		elsn 3058	. . . . . 6 |- (y e. {s} <-> y = s)
38	36, 37	syl7ib 233	. . . . 5 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> (x e. F -> (y e. {s} -> (x i^i y) =/= (/))))
39	38	imp3a 388	. . . 4 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> ((x e. F /\ y e. {s}) -> (x i^i y) =/= (/)))
40	39	r19.21aivv 2183	. . 3 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> A.x e. F A.y e. {s} (x i^i y) =/= (/))
41		filfbas 10276	. . . . 5 |- (F e. Fil -> F e. fBas)
42	41	ad2antrr 440	. . . 4 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> F e. fBas)
43		visset 2295	. . . . . . 7 |- s e. _V
44	43	a1i 8	. . . . . 6 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> s e. _V)
45		difeq2 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- (s = (/) -> (X \ s) = (X \ (/)))
46	45	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (s = (/) -> ((X \ s) e. F <-> (X \ (/)) e. F))
47		dif0 2943	. . . . . . . . . . . 12 |- (X \ (/)) = X
48	8, 47	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . 11 |- (F e. Fil -> (X \ (/)) e. F)
49	46, 48	syl5cbir 228	. . . . . . . . . 10 |- (F e. Fil -> (s = (/) -> (X \ s) e. F))
50	49	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((F e. Fil /\ s C_ X) -> (s = (/) -> (X \ s) e. F))
51	50	necon3bd 2039	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ s C_ X) -> (-. (X \ s) e. F -> s =/= (/)))
52	51	imp 377	. . . . . . 7 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ -. (X \ s) e. F) -> s =/= (/))
53	52	adantrl 430	. . . . . 6 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> s =/= (/))
54		oefil2 10275	. . . . . 6 |- ((s e. _V /\ s =/= (/)) -> {s} e. Fil)
55	44, 53, 54	syl11anc 524	. . . . 5 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> {s} e. Fil)
56		filfbas 10276	. . . . 5 |- ({s} e. Fil -> {s} e. fBas)
57	55, 56	syl 12	. . . 4 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> {s} e. fBas)
58		fbunfip 10282	. . . 4 |- ((F e. fBas /\ {s} e. fBas) -> ((/) e/ ( fi ` (F u. {s})) <-> A.x e. F A.y e. {s} (x i^i y) =/= (/)))
59	42, 57, 58	syl11anc 524	. . 3 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> ((/) e/ ( fi ` (F u. {s})) <-> A.x e. F A.y e. {s} (x i^i y) =/= (/)))
60	40, 59	mpbird 213	. 2 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> (/) e/ ( fi ` (F u. {s})))
61	6, 14, 60	mpbir2and 802	1 |- (((F e. Fil /\ s C_ X) /\ (-. s e. F /\ -. (X \ s) e. F)) -> ( fi ` (F u. {s})) e. fBas)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998   fi cfi 10210  fBascfbas 10257  Filcfil 10264

This theorem is referenced by:  ufileu 15573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain