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Theorem ufileu 20989
Description: If the ultrafilter containing a given filter is unique, the filter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufileu  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  E! f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem ufileu
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 20974 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
2 ufilmax 20977 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
)  ->  F  =  f )
323expa 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  f
)  ->  F  =  f )
43eqcomd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  f
)  ->  f  =  F )
54ex 440 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  C_  f  ->  f  =  F ) )
61, 5sylan2 481 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  ( F  C_  f  ->  f  =  F ) )
76ralrimiva 2814 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  ->  f  =  F ) )
8 ssid 3463 . . . 4  |-  F  C_  F
9 sseq2 3466 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( F  C_  f  <->  F  C_  F
) )
109eqreu 3242 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  F  C_  F  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  ->  f  =  F ) )  ->  E! f  e.  ( UFil `  X ) F  C_  f )
118, 10mp3an2 1361 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  ->  f  =  F ) )  ->  E! f  e.  ( UFil `  X ) F 
C_  f )
127, 11mpdan 679 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  E! f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
13 reu6 3239 . . 3  |-  ( E! f  e.  ( UFil `  X ) F  C_  f 
<->  E. g  e.  (
UFil `  X ) A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F  C_  f  <->  f  =  g ) )
14 ibibr 349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  g  ->  F  C_  f )  <->  ( f  =  g  ->  ( F 
C_  f  <->  f  =  g ) ) )
1514pm5.74ri 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  ( F  C_  f  <->  ( F  C_  f  <->  f  =  g ) ) )
16 sseq2 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  ( F  C_  f  <->  F  C_  g
) )
1715, 16bitr3d 263 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( F  C_  f  <->  f  =  g )  <->  F  C_  g
) )
1817rspcva 3160 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( UFil `  X )  /\  A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  <->  f  =  g ) )  ->  F  C_  g )
1918adantll 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  F  C_  g
)
20 ufilfil 20974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( UFil `  X
)  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
21 filelss 20922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  g )  ->  x  C_  X )
2221ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  g  ->  x  C_  X ) )
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  g  ->  x  C_  X ) )
2423ad2antlr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  ( x  e.  g  ->  x  C_  X ) )
25 filsspw 20921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2625ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  C_  ~P X )
27 difss 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( X 
\  x )  C_  X
28 filtop 20925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
2928ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  X  e.  F )
30 difexg 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  F  ->  ( X  \  x )  e. 
_V )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  _V )
32 elpwg 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  (
( X  \  x
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  x ) 
C_  X ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( X  \  x )  e.  ~P X 
<->  ( X  \  x
)  C_  X )
)
3427, 33mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  ~P X
)
3534snssd 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ~P X )
3626, 35unssd 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ~P X )
37 ssun1 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F  C_  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )
38 filn0 20932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
3938ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  =/=  (/) )
40 ssn0 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  /\  F  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/) )
4137, 39, 40sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/) )
42 filelss 20922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  f  C_  X )
4342ad2ant2rl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
f  C_  X )
44 df-ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f 
C_  X  <->  ( f  i^i  X )  =  f )
4543, 44sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( f  i^i  X
)  =  f )
4645sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( ( f  i^i 
X )  C_  x  <->  f 
C_  x ) )
47 filss 20923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
f  e.  F  /\  x  C_  X  /\  f  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
48473exp2 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( f  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
f  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
4948com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( f  e.  F  ->  ( f 
C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
5049impd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
x  C_  X  /\  f  e.  F )  ->  ( f  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
5150adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  ( UFil `  X
) )  ->  (
( x  C_  X  /\  f  e.  F
)  ->  ( f  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
5251imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( f  C_  x  ->  x  e.  F ) )
5346, 52sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( ( f  i^i 
X )  C_  x  ->  x  e.  F ) )
5453con3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( -.  x  e.  F  ->  -.  (
f  i^i  X )  C_  x ) )
5554expr 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  x  C_  X
)  ->  ( f  e.  F  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -.  ( f  i^i  X
)  C_  x )
) )
5655com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  x  C_  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( f  e.  F  ->  -.  ( f  i^i  X
)  C_  x )
) )
5756impr 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( f  e.  F  ->  -.  ( f  i^i 
X )  C_  x
) )
5857imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  /\  f  e.  F )  ->  -.  ( f  i^i 
X )  C_  x
)
59 ineq2 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( g  =  ( X  \  x )  ->  (
f  i^i  g )  =  ( f  i^i  ( X  \  x
) ) )
6059neeq1d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g  =  ( X  \  x )  ->  (
( f  i^i  g
)  =/=  (/)  <->  ( f  i^i  ( X  \  x
) )  =/=  (/) ) )
6160ralsng 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  ( A. g  e.  { ( X  \  x ) }  ( f  i^i  g )  =/=  (/)  <->  ( f  i^i  ( X  \  x
) )  =/=  (/) ) )
62 inssdif0 3846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  i^i  X ) 
C_  x  <->  ( f  i^i  ( X  \  x
) )  =  (/) )
6362necon3bbii 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( f  i^i  X
)  C_  x  <->  ( f  i^i  ( X  \  x
) )  =/=  (/) )
6461, 63syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  ( A. g  e.  { ( X  \  x ) }  ( f  i^i  g )  =/=  (/)  <->  -.  (
f  i^i  X )  C_  x ) )
6531, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( A. g  e. 
{ ( X  \  x ) }  (
f  i^i  g )  =/=  (/)  <->  -.  ( f  i^i  X )  C_  x
) )
6665adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  /\  f  e.  F )  ->  ( A. g  e. 
{ ( X  \  x ) }  (
f  i^i  g )  =/=  (/)  <->  -.  ( f  i^i  X )  C_  x
) )
6758, 66mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  /\  f  e.  F )  ->  A. g  e.  {
( X  \  x
) }  ( f  i^i  g )  =/=  (/) )
6867ralrimiva 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  A. f  e.  F  A. g  e.  { ( X  \  x ) }  ( f  i^i  g )  =/=  (/) )
69 filfbas 20918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
7069ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
71 difssd 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  C_  X )
72 ssdif0 3835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X 
C_  x  <->  ( X  \  x )  =  (/) )
73 eqss 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  X  <->  ( x  C_  X  /\  X  C_  x ) )
7473simplbi2 635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x 
C_  X  ->  ( X  C_  x  ->  x  =  X ) )
75 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  F  <->  X  e.  F ) )
7675notbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  x  e.  F  <->  -.  X  e.  F ) )
7776biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  x  e.  F  -> 
( x  =  X  ->  -.  X  e.  F ) )
7874, 77sylan9 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F
)  ->  ( X  C_  x  ->  -.  X  e.  F ) )
7978adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  C_  x  ->  -.  X  e.  F
) )
8072, 79syl5bir 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( X  \  x )  =  (/)  ->  -.  X  e.  F
) )
8180necon2ad 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  e.  F  ->  ( X  \  x
)  =/=  (/) ) )
8229, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  =/=  (/) )
83 snfbas 20936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  \  x
)  C_  X  /\  ( X  \  x
)  =/=  (/)  /\  X  e.  F )  ->  { ( X  \  x ) }  e.  ( fBas `  X ) )
8471, 82, 29, 83syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  { ( X  \  x ) }  e.  ( fBas `  X )
)
85 fbunfip 20939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
( X  \  x
) }  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  <->  A. f  e.  F  A. g  e.  { ( X  \  x ) }  (
f  i^i  g )  =/=  (/) ) )
8670, 84, 85syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  <->  A. f  e.  F  A. g  e.  { ( X  \  x ) }  (
f  i^i  g )  =/=  (/) ) )
8768, 86mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )
88 fsubbas 20937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) ) )
8929, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { ( X 
\  x ) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) ) )
9036, 41, 87, 89mpbir3and 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )
)
91 fgcl 20948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
93 filssufil 20982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X ) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )
95 r19.29 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  <->  f  =  g )  /\  E. f  e.  ( UFil `  X ) ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  f )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( ( F 
C_  f  <->  f  =  g )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f ) )
96 biimp 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  C_  f  <->  f  =  g )  ->  ( F  C_  f  ->  f  =  g ) )
97 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
98 snex 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { ( X  \  x ) }  e.  _V
99 unexg 6624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
( X  \  x
) }  e.  _V )  ->  ( F  u.  { ( X  \  x
) } )  e. 
_V )
10097, 98, 99sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  e. 
_V )
101 ssfii 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  e.  _V  ->  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
103 ssfg 20942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
10490, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
105102, 104sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
106105unssad 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
107 sstr2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  -> 
( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  F  C_  f
) )
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  F  C_  f
) )
109108imim1d 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( F  C_  f  ->  f  =  g )  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f  ->  f  =  g ) ) )
110 sseq2 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  =  g  ->  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  <->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  g ) )
111110biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f  ->  (
f  =  g  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  g )
)
112111a2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  ->  f  =  g )  -> 
( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  g ) )
11396, 109, 112syl56 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( F  C_  f 
<->  f  =  g )  ->  ( ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  f  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  g ) ) )
114113impd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( ( F 
C_  f  <->  f  =  g )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  g )
)
115114rexlimdvw 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( E. f  e.  ( UFil `  X
) ( ( F 
C_  f  <->  f  =  g )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  g )
)
11695, 115syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g )  /\  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  g ) )
11794, 116mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  g ) )
118117imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  /\  A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  <->  f  =  g ) )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  g )
119118an32s 818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  g )
120 snidg 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  ( X  \  x )  e. 
{ ( X  \  x ) } )
12131, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  { ( X  \  x ) } )
122 elun2 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  \  x )  e.  { ( X 
\  x ) }  ->  ( X  \  x )  e.  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )
124105, 123sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
125124adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  ( X  \  x )  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
126119, 125sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  ( X  \  x )  e.  g )
127 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  g  e.  ( UFil `  X )
)
128 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  x  C_  X
)
129 ufilb 20976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  g  <->  ( X  \  x )  e.  g ) )
130127, 128, 129syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  ( -.  x  e.  g  <->  ( X  \  x )  e.  g ) )
131126, 130mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  -.  x  e.  g )
132131expr 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -.  x  e.  g ) )
133132con4d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  g  ->  x  e.  F )
)
134133ex 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  ( x  C_  X  ->  ( x  e.  g  ->  x  e.  F ) ) )
135134com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  ( x  e.  g  ->  ( x 
C_  X  ->  x  e.  F ) ) )
13624, 135mpdd 41 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  ( x  e.  g  ->  x  e.  F ) )
137136ssrdv 3450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  g  C_  F )
13819, 137eqssd 3461 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  F  =  g )
139 simplr 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  g  e.  ( UFil `  X )
)
140138, 139eqeltrd 2540 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  F  e.  ( UFil `  X )
)
141140ex 440 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  ( UFil `  X
) )  ->  ( A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F  C_  f  <->  f  =  g )  ->  F  e.  ( UFil `  X
) ) )
142141rexlimdva 2891 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( UFil `  X ) A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g )  ->  F  e.  (
UFil `  X )
) )
14313, 142syl5bi 225 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E! f  e.  ( UFil `  X ) F  C_  f  ->  F  e.  (
UFil `  X )
) )
14412, 143impbid2 209 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  E! f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   E!wreu 2751   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   ficfi 7955   fBascfbas 19013   filGencfg 19014   Filcfil 20915   UFilcufil 20969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-ac2 8924
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-rpss 6603  df-om 6725  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-fin 7604  df-fi 7956  df-card 8404  df-ac 8578  df-cda 8629  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-fil 20916  df-ufil 20971
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