Theorem ufildr 20995

Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ufildr.1	|- J = ( F u. { (/) } )

Assertion

Ref	Expression
ufildr	|- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( J u. ( Clsd ` J ) ) = ~P X )

Proof of Theorem ufildr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4241	. . . . . 6 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
2		ufildr.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( F u. { (/) } )
3	2	unieqi 4221	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. ( F u. { (/) } )
4		uniun 4231	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F u. { (/) } ) = ( U. F u. U. { (/) } )
5		0ex 4549	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
6	5	unisn 4227	. . . . . . . . . . 11 |- U. { (/) } = (/)
7	6	uneq2i 3597	. . . . . . . . . 10 |- ( U. F u. U. { (/) } ) = ( U. F u. (/) )
8		un0 3771	. . . . . . . . . 10 |- ( U. F u. (/) ) = U. F
9	4, 7, 8	3eqtri 2488	. . . . . . . . 9 |- U. ( F u. { (/) } ) = U. F
10	3, 9	eqtr2i 2485	. . . . . . . 8 |- U. F = U. J
11		ufilfil 20968	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12		filunibas 20945	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> U. F = X )
14	10, 13	syl5reqr 2511	. . . . . . 7 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> X = U. J )
15	14	sseq2d 3472	. . . . . 6 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x C_ X <-> x C_ U. J ) )
16	1, 15	syl5ibr 229	. . . . 5 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. J -> x C_ X ) )
17		eqid 2462	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
18	17	cldss 20093	. . . . . 6 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
19	18, 15	syl5ibr 229	. . . . 5 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ X ) )
20	16, 19	jaod 386	. . . 4 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ X ) )
21		ufilss 20969	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
22		ssun1 3609	. . . . . . . . . 10 |- F C_ ( F u. { (/) } )
23	22, 2	sseqtr4i 3477	. . . . . . . . 9 |- F C_ J
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> F C_ J )
25	24	sseld 3443	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F -> x e. J ) )
26	24	sseld 3443	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> ( X \ x ) e. J ) )
27		filcon 20947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )
28		contop 20481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F u. { (/) } ) e. Con -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
29	11, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
30	2, 29	syl5eqel 2544	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> J e. Top )
31	30	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> J e. Top )
32	15	biimpa 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> x C_ U. J )
33	17	iscld2 20092	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
35	14	difeq1d 3562	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( X \ x ) = ( U. J \ x ) )
36	35	eleq1d 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
37	36	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
38	34, 37	bitr4d 264	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. J ) )
39	26, 38	sylibrd 242	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> x e. ( Clsd ` J ) ) )
40	25, 39	orim12d 854	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) ) )
41	21, 40	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) )
42	41	ex 440	. . . 4 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x C_ X -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) ) )
43	20, 42	impbid 195	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) <-> x C_ X ) )
44		elun 3586	. . 3 |- ( x e. ( J u. ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) )
45		selpw 3970	. . 3 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
46	43, 44, 45	3bitr4g 296	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. ( J u. ( Clsd ` J ) ) <-> x e. ~P X ) )
47	46	eqrdv 2460	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( J u. ( Clsd ` J ) ) = ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   \ cdif 3413   u. cun 3414   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212   ` cfv 5601   Topctop 19966   Clsdccld 20080   Conccon 20475   Filcfil 20909   UFilcufil 20963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-fv 5609  df-fbas 19016  df-top 19970  df-cld 20083  df-con 20476  df-fil 20910  df-ufil 20965

This theorem is referenced by: (None)