Theorem ufildr 20195

Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ufildr.1	|- J = ( F u. { (/) } )

Assertion

Ref	Expression
ufildr	|- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( J u. ( Clsd ` J ) ) = ~P X )

Proof of Theorem ufildr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4275	. . . . . 6 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
2		ufildr.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( F u. { (/) } )
3	2	unieqi 4254	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. ( F u. { (/) } )
4		uniun 4264	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F u. { (/) } ) = ( U. F u. U. { (/) } )
5		0ex 4577	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
6	5	unisn 4260	. . . . . . . . . . 11 |- U. { (/) } = (/)
7	6	uneq2i 3655	. . . . . . . . . 10 |- ( U. F u. U. { (/) } ) = ( U. F u. (/) )
8		un0 3810	. . . . . . . . . 10 |- ( U. F u. (/) ) = U. F
9	4, 7, 8	3eqtri 2500	. . . . . . . . 9 |- U. ( F u. { (/) } ) = U. F
10	3, 9	eqtr2i 2497	. . . . . . . 8 |- U. F = U. J
11		ufilfil 20168	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12		filunibas 20145	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> U. F = X )
14	10, 13	syl5reqr 2523	. . . . . . 7 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> X = U. J )
15	14	sseq2d 3532	. . . . . 6 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x C_ X <-> x C_ U. J ) )
16	1, 15	syl5ibr 221	. . . . 5 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. J -> x C_ X ) )
17		eqid 2467	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
18	17	cldss 19324	. . . . . 6 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
19	18, 15	syl5ibr 221	. . . . 5 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ X ) )
20	16, 19	jaod 380	. . . 4 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ X ) )
21		ufilss 20169	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
22		ssun1 3667	. . . . . . . . . 10 |- F C_ ( F u. { (/) } )
23	22, 2	sseqtr4i 3537	. . . . . . . . 9 |- F C_ J
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> F C_ J )
25	24	sseld 3503	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F -> x e. J ) )
26	24	sseld 3503	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> ( X \ x ) e. J ) )
27		filcon 20147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )
28		contop 19712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F u. { (/) } ) e. Con -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
29	11, 27, 28	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
30	2, 29	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> J e. Top )
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> J e. Top )
32	15	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> x C_ U. J )
33	17	iscld2 19323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
35	14	difeq1d 3621	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( X \ x ) = ( U. J \ x ) )
36	35	eleq1d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
38	34, 37	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. J ) )
39	26, 38	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> x e. ( Clsd ` J ) ) )
40	25, 39	orim12d 836	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) ) )
41	21, 40	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) )
42	41	ex 434	. . . 4 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x C_ X -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) ) )
43	20, 42	impbid 191	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) <-> x C_ X ) )
44		elun 3645	. . 3 |- ( x e. ( J u. ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) )
45		selpw 4017	. . 3 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
46	43, 44, 45	3bitr4g 288	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. ( J u. ( Clsd ` J ) ) <-> x e. ~P X ) )
47	46	eqrdv 2464	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( J u. ( Clsd ` J ) ) = ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   ` cfv 5588   Topctop 19189   Clsdccld 19311   Conccon 19706   Filcfil 20109   UFilcufil 20163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596  df-fbas 18215  df-top 19194  df-cld 19314  df-con 19707  df-fil 20110  df-ufil 20165

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