Theorem ufildr 20557

Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ufildr.1	|- J = ( F u. { (/) } )

Assertion

Ref	Expression
ufildr	|- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( J u. ( Clsd ` J ) ) = ~P X )

Proof of Theorem ufildr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4281	. . . . . 6 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
2		ufildr.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( F u. { (/) } )
3	2	unieqi 4260	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. ( F u. { (/) } )
4		uniun 4270	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F u. { (/) } ) = ( U. F u. U. { (/) } )
5		0ex 4587	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
6	5	unisn 4266	. . . . . . . . . . 11 |- U. { (/) } = (/)
7	6	uneq2i 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( U. F u. U. { (/) } ) = ( U. F u. (/) )
8		un0 3819	. . . . . . . . . 10 |- ( U. F u. (/) ) = U. F
9	4, 7, 8	3eqtri 2490	. . . . . . . . 9 |- U. ( F u. { (/) } ) = U. F
10	3, 9	eqtr2i 2487	. . . . . . . 8 |- U. F = U. J
11		ufilfil 20530	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12		filunibas 20507	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> U. F = X )
14	10, 13	syl5reqr 2513	. . . . . . 7 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> X = U. J )
15	14	sseq2d 3527	. . . . . 6 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x C_ X <-> x C_ U. J ) )
16	1, 15	syl5ibr 221	. . . . 5 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. J -> x C_ X ) )
17		eqid 2457	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
18	17	cldss 19656	. . . . . 6 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
19	18, 15	syl5ibr 221	. . . . 5 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ X ) )
20	16, 19	jaod 380	. . . 4 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ X ) )
21		ufilss 20531	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) )
22		ssun1 3663	. . . . . . . . . 10 |- F C_ ( F u. { (/) } )
23	22, 2	sseqtr4i 3532	. . . . . . . . 9 |- F C_ J
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> F C_ J )
25	24	sseld 3498	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. F -> x e. J ) )
26	24	sseld 3498	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> ( X \ x ) e. J ) )
27		filcon 20509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Con )
28		contop 20043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F u. { (/) } ) e. Con -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
29	11, 27, 28	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( F u. { (/) } ) e. Top )
30	2, 29	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> J e. Top )
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> J e. Top )
32	15	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> x C_ U. J )
33	17	iscld2 19655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
35	14	difeq1d 3617	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( X \ x ) = ( U. J \ x ) )
36	35	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. J <-> ( U. J \ x ) e. J ) )
38	34, 37	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. J ) )
39	26, 38	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( X \ x ) e. F -> x e. ( Clsd ` J ) ) )
40	25, 39	orim12d 838	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( ( x e. F \/ ( X \ x ) e. F ) -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) ) )
41	21, 40	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( F e. ( UFil ` X ) /\ x C_ X ) -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) )
42	41	ex 434	. . . 4 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x C_ X -> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) ) )
43	20, 42	impbid 191	. . 3 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) <-> x C_ X ) )
44		elun 3641	. . 3 |- ( x e. ( J u. ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J \/ x e. ( Clsd ` J ) ) )
45		selpw 4022	. . 3 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
46	43, 44, 45	3bitr4g 288	. 2 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( x e. ( J u. ( Clsd ` J ) ) <-> x e. ~P X ) )
47	46	eqrdv 2454	1 |- ( F e. ( UFil ` X ) -> ( J u. ( Clsd ` J ) ) = ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19520   Clsdccld 19643   Conccon 20037   Filcfil 20471   UFilcufil 20525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-fbas 18542  df-top 19525  df-cld 19646  df-con 20038  df-fil 20472  df-ufil 20527

This theorem is referenced by: (None)