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Theorem ufildr 20995
Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ufildr.1  |-  J  =  ( F  u.  { (/)
} )
Assertion
Ref Expression
ufildr  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( J  u.  ( Clsd `  J
) )  =  ~P X )

Proof of Theorem ufildr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4241 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
2 ufildr.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( F  u.  { (/)
} )
32unieqi 4221 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. ( F  u.  {
(/) } )
4 uniun 4231 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  ( U. F  u.  U. { (/) } )
5 0ex 4549 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
65unisn 4227 . . . . . . . . . . 11  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3597 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. F  u.  U. { (/) } )  =  ( U. F  u.  (/) )
8 un0 3771 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. F  u.  (/) )  = 
U. F
94, 7, 83eqtri 2488 . . . . . . . . 9  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  U. F
103, 9eqtr2i 2485 . . . . . . . 8  |-  U. F  =  U. J
11 ufilfil 20968 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
12 filunibas 20945 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1410, 13syl5reqr 2511 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  X  =  U. J )
1514sseq2d 3472 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  C_  X  <->  x  C_  U. J
) )
161, 15syl5ibr 229 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  J  ->  x  C_  X ) )
17 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
1817cldss 20093 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
1918, 15syl5ibr 229 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  X
) )
2016, 19jaod 386 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  X ) )
21 ufilss 20969 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
22 ssun1 3609 . . . . . . . . . 10  |-  F  C_  ( F  u.  { (/) } )
2322, 2sseqtr4i 3477 . . . . . . . . 9  |-  F  C_  J
2423a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  J )
2524sseld 3443 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  J )
)
2624sseld 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  -> 
( X  \  x
)  e.  J ) )
27 filcon 20947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )
28 contop 20481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Con  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Top )
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Top )
302, 29syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  J  e.  Top )
3130adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3215biimpa 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  x  C_ 
U. J )
3317iscld2 20092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  x )  e.  J
) )
3431, 32, 33syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  x )  e.  J ) )
3514difeq1d 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( X  \  x )  =  ( U. J  \  x
) )
3635eleq1d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  J
) )
3736adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  J ) )
3834, 37bitr4d 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  \  x )  e.  J
) )
3926, 38sylibrd 242 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4025, 39orim12d 854 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F )  ->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
4121, 40mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4241ex 440 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
4320, 42impbid 195 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) )  <->  x  C_  X
) )
44 elun 3586 . . 3  |-  ( x  e.  ( J  u.  ( Clsd `  J )
)  <->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
45 selpw 3970 . . 3  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
4643, 44, 453bitr4g 296 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  ( J  u.  ( Clsd `  J ) )  <-> 
x  e.  ~P X
) )
4746eqrdv 2460 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( J  u.  ( Clsd `  J
) )  =  ~P X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    \ cdif 3413    u. cun 3414    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212   ` cfv 5601   Topctop 19966   Clsdccld 20080   Conccon 20475   Filcfil 20909   UFilcufil 20963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-fv 5609  df-fbas 19016  df-top 19970  df-cld 20083  df-con 20476  df-fil 20910  df-ufil 20965
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