Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufilcmp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ufilcmp 21059
 Description: A space is compact iff every ultrafilter converges. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Dec-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufilcmp UFL TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ufilcmp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 20931 . . . . . 6
2 eqid 2453 . . . . . . 7
32fclscmpi 21056 . . . . . 6
41, 3sylan2 477 . . . . 5
54ralrimiva 2804 . . . 4
6 toponuni 19954 . . . . . . 7 TopOn
76fveq2d 5874 . . . . . 6 TopOn
87raleqdv 2995 . . . . 5 TopOn
98adantl 468 . . . 4 UFL TopOn
105, 9syl5ibr 225 . . 3 UFL TopOn
11 ufli 20941 . . . . . . 7 UFL
1211adantlr 722 . . . . . 6 UFL TopOn
13 r19.29 2927 . . . . . . 7
14 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . 13 UFL TopOn TopOn
15 simplr 763 . . . . . . . . . . . . 13 UFL TopOn
16 simprr 767 . . . . . . . . . . . . 13 UFL TopOn
17 fclsss2 21050 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
1814, 15, 16, 17syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12 UFL TopOn
19 ssn0 3769 . . . . . . . . . . . . 13
2019ex 436 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 UFL TopOn
2221expr 620 . . . . . . . . . 10 UFL TopOn
2322com23 81 . . . . . . . . 9 UFL TopOn
2423impd 433 . . . . . . . 8 UFL TopOn
2524rexlimdva 2881 . . . . . . 7 UFL TopOn
2613, 25syl5 33 . . . . . 6 UFL TopOn
2712, 26mpan2d 681 . . . . 5 UFL TopOn
2827ralrimdva 2808 . . . 4 UFL TopOn
29 fclscmp 21057 . . . . 5 TopOn
3029adantl 468 . . . 4 UFL TopOn
3128, 30sylibrd 238 . . 3 UFL TopOn
3210, 31impbid 194 . 2 UFL TopOn
33 uffclsflim 21058 . . . 4
3433neeq1d 2685 . . 3
3534ralbiia 2820 . 2
3632, 35syl6bb 265 1 UFL TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wcel 1889   wne 2624  wral 2739  wrex 2740   wss 3406  c0 3733  cuni 4201  cfv 5585  (class class class)co 6295  TopOnctopon 19930  ccmp 20413  cfil 20872  cufil 20926  UFLcufl 20927   cflim 20961   cfcls 20963 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-top 19933  df-topon 19935  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-cmp 20414  df-fil 20873  df-ufil 20928  df-ufl 20929  df-flim 20966  df-fcls 20968 This theorem is referenced by:  alexsub  21072
 Copyright terms: Public domain W3C validator