Theorem uffix 19627

Description: Lemma for fixufil 19628 and uffixfr 19629. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix	|- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X   x, V

Proof of Theorem uffix

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4126	. . . 4 |- ( A e. X -> { A } C_ X )
2	1	adantl 466	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { A } C_ X )
3		snnzg 4101	. . . 4 |- ( A e. X -> { A } =/= (/) )
4	3	adantl 466	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { A } =/= (/) )
5		simpl 457	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> X e. V )
6		snfbas 19572	. . 3 |- ( ( { A } C_ X /\ { A } =/= (/) /\ X e. V ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
8		selpw 3976	. . . . . 6 |- ( y e. ~P X <-> y C_ X )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( y e. ~P X <-> y C_ X ) )
10		snex 4642	. . . . . . . 8 |- { A } e. _V
11	10	snid 4014	. . . . . . 7 |- { A } e. { { A } }
12		snssi 4126	. . . . . . 7 |- ( A e. y -> { A } C_ y )
13		sseq1 3486	. . . . . . . 8 |- ( x = { A } -> ( x C_ y <-> { A } C_ y ) )
14	13	rspcev 3179	. . . . . . 7 |- ( ( { A } e. { { A } } /\ { A } C_ y ) -> E. x e. { { A } } x C_ y )
15	11, 12, 14	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( A e. y -> E. x e. { { A } } x C_ y )
16		intss1 4252	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { { A } } -> |^| { { A } } C_ x )
17		sstr2 3472	. . . . . . . . 9 |- ( |^| { { A } } C_ x -> ( x C_ y -> |^| { { A } } C_ y ) )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x e. { { A } } -> ( x C_ y -> |^| { { A } } C_ y ) )
19		snidg 4012	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. X -> A e. { A } )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A e. { A } )
21	10	intsn 4273	. . . . . . . . . 10 |- |^| { { A } } = { A }
22	20, 21	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A e. |^| { { A } } )
23		ssel 3459	. . . . . . . . 9 |- ( |^| { { A } } C_ y -> ( A e. |^| { { A } } -> A e. y ) )
24	22, 23	syl5com 30	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( |^| { { A } } C_ y -> A e. y ) )
25	18, 24	sylan9r 658	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ x e. { { A } } ) -> ( x C_ y -> A e. y ) )
26	25	rexlimdva 2947	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( E. x e. { { A } } x C_ y -> A e. y ) )
27	15, 26	impbid2 204	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( A e. y <-> E. x e. { { A } } x C_ y ) )
28	9, 27	anbi12d 710	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) <-> ( y C_ X /\ E. x e. { { A } } x C_ y ) ) )
29		eleq2 2527	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
30	29	elrab 3224	. . . . 5 |- ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) )
31	30	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
32		elfg 19577	. . . . 5 |- ( { { A } } e. ( fBas ` X ) -> ( y e. ( X filGen { { A } } ) <-> ( y C_ X /\ E. x e. { { A } } x C_ y ) ) )
33	7, 32	syl 16	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( y e. ( X filGen { { A } } ) <-> ( y C_ X /\ E. x e. { { A } } x C_ y ) ) )
34	28, 31, 33	3bitr4d 285	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> y e. ( X filGen { { A } } ) ) )
35	34	eqrdv 2451	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) )
36	7, 35	jca 532	1 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   E.wrex 2800   {crab 2803   C_ wss 3437   (/)c0 3746   ~Pcpw 3969   {csn 3986   |^|cint 4237   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   fBascfbas 17930   filGencfg 17931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-fil 19552

This theorem is referenced by:  fixufil  19628  uffixfr  19629