Theorem uffix 20947

Description: Lemma for fixufil 20948 and uffixfr 20949. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix	|- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X   x, V

Proof of Theorem uffix

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4085	. . . 4 |- ( A e. X -> { A } C_ X )
2	1	adantl 472	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { A } C_ X )
3		snnzg 4058	. . . 4 |- ( A e. X -> { A } =/= (/) )
4	3	adantl 472	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { A } =/= (/) )
5		simpl 463	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> X e. V )
6		snfbas 20892	. . 3 |- ( ( { A } C_ X /\ { A } =/= (/) /\ X e. V ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
8		selpw 3926	. . . . . 6 |- ( y e. ~P X <-> y C_ X )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( y e. ~P X <-> y C_ X ) )
10		snex 4614	. . . . . . . 8 |- { A } e. _V
11	10	snid 3964	. . . . . . 7 |- { A } e. { { A } }
12		snssi 4085	. . . . . . 7 |- ( A e. y -> { A } C_ y )
13		sseq1 3421	. . . . . . . 8 |- ( x = { A } -> ( x C_ y <-> { A } C_ y ) )
14	13	rspcev 3118	. . . . . . 7 |- ( ( { A } e. { { A } } /\ { A } C_ y ) -> E. x e. { { A } } x C_ y )
15	11, 12, 14	sylancr 674	. . . . . 6 |- ( A e. y -> E. x e. { { A } } x C_ y )
16		intss1 4219	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { { A } } -> |^| { { A } } C_ x )
17		sstr2 3407	. . . . . . . . 9 |- ( |^| { { A } } C_ x -> ( x C_ y -> |^| { { A } } C_ y ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. { { A } } -> ( x C_ y -> |^| { { A } } C_ y ) )
19		snidg 3962	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. X -> A e. { A } )
20	19	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A e. { A } )
21	10	intsn 4241	. . . . . . . . . 10 |- |^| { { A } } = { A }
22	20, 21	syl6eleqr 2541	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A e. |^| { { A } } )
23		ssel 3394	. . . . . . . . 9 |- ( |^| { { A } } C_ y -> ( A e. |^| { { A } } -> A e. y ) )
24	22, 23	syl5com 31	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( |^| { { A } } C_ y -> A e. y ) )
25	18, 24	sylan9r 668	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ x e. { { A } } ) -> ( x C_ y -> A e. y ) )
26	25	rexlimdva 2852	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( E. x e. { { A } } x C_ y -> A e. y ) )
27	15, 26	impbid2 209	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( A e. y <-> E. x e. { { A } } x C_ y ) )
28	9, 27	anbi12d 722	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) <-> ( y C_ X /\ E. x e. { { A } } x C_ y ) ) )
29		eleq2 2519	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
30	29	elrab 3164	. . . . 5 |- ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) )
31	30	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
32		elfg 20897	. . . . 5 |- ( { { A } } e. ( fBas ` X ) -> ( y e. ( X filGen { { A } } ) <-> ( y C_ X /\ E. x e. { { A } } x C_ y ) ) )
33	7, 32	syl 17	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( y e. ( X filGen { { A } } ) <-> ( y C_ X /\ E. x e. { { A } } x C_ y ) ) )
34	28, 31, 33	3bitr4d 293	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> y e. ( X filGen { { A } } ) ) )
35	34	eqrdv 2450	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) )
36	7, 35	jca 539	1 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1448   e. wcel 1891   =/= wne 2622   E.wrex 2738   {crab 2741   C_ wss 3372   (/)c0 3699   ~Pcpw 3919   {csn 3936   |^|cint 4204   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   fBascfbas 18969   filGencfg 18970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-id 4727  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fv 5569  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-fbas 18978  df-fg 18979  df-fil 20872

This theorem is referenced by:  fixufil  20948  uffixfr  20949