MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Structured version   Unicode version

Theorem uffix 20588
Description: Lemma for fixufil 20589 and uffixfr 20590. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X    x, V

Proof of Theorem uffix
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4160 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
21adantl 464 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snnzg 4133 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
43adantl 464 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  =/=  (/) )
5 simpl 455 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  V )
6 snfbas 20533 . . 3  |-  ( ( { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/)  /\  X  e.  V )  ->  { { A } }  e.  (
fBas `  X )
)
72, 4, 5, 6syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { { A } }  e.  ( fBas `  X ) )
8 selpw 4006 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ~P X 
<->  y  C_  X )
)
10 snex 4678 . . . . . . . 8  |-  { A }  e.  _V
1110snid 4044 . . . . . . 7  |-  { A }  e.  { { A } }
12 snssi 4160 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  y  ->  { A }  C_  y )
13 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( x  C_  y  <->  { A }  C_  y
) )
1413rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  { { A } }  /\  { A }  C_  y )  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
1511, 12, 14sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
16 intss1 4286 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  |^| { { A } }  C_  x
)
17 sstr2 3496 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  x  ->  ( x  C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  ( x 
C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
19 snidg 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
2019adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
2110intsn 4308 . . . . . . . . . 10  |-  |^| { { A } }  =  { A }
2220, 21syl6eleqr 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  |^| { { A } } )
23 ssel 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  ( A  e.  |^| { { A } }  ->  A  e.  y ) )
2422, 23syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2518, 24sylan9r 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  { { A } }
)  ->  ( x  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2625rexlimdva 2946 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( E. x  e. 
{ { A } } x  C_  y  ->  A  e.  y )
)
2715, 26impbid2 204 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  y  <->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) )
289, 27anbi12d 708 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( ( y  e. 
~P X  /\  A  e.  y )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
29 eleq2 2527 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
3029elrab 3254 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) )
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
32 elfg 20538 . . . . 5  |-  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
337, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
3428, 31, 333bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  y  e.  ( X
filGen { { A } } ) ) )
3534eqrdv 2451 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) )
367, 35jca 530 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   |^|cint 4271   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   fBascfbas 18601   filGencfg 18602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-fil 20513
This theorem is referenced by:  fixufil  20589  uffixfr  20590
  Copyright terms: Public domain W3C validator