MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Structured version   Unicode version

Theorem uffix 19627
Description: Lemma for fixufil 19628 and uffixfr 19629. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X    x, V

Proof of Theorem uffix
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4126 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
21adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snnzg 4101 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  =/=  (/) )
5 simpl 457 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  V )
6 snfbas 19572 . . 3  |-  ( ( { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/)  /\  X  e.  V )  ->  { { A } }  e.  (
fBas `  X )
)
72, 4, 5, 6syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { { A } }  e.  ( fBas `  X ) )
8 selpw 3976 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ~P X 
<->  y  C_  X )
)
10 snex 4642 . . . . . . . 8  |-  { A }  e.  _V
1110snid 4014 . . . . . . 7  |-  { A }  e.  { { A } }
12 snssi 4126 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  y  ->  { A }  C_  y )
13 sseq1 3486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( x  C_  y  <->  { A }  C_  y
) )
1413rspcev 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  { { A } }  /\  { A }  C_  y )  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
1511, 12, 14sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
16 intss1 4252 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  |^| { { A } }  C_  x
)
17 sstr2 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  x  ->  ( x  C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  ( x 
C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
19 snidg 4012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
2019adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
2110intsn 4273 . . . . . . . . . 10  |-  |^| { { A } }  =  { A }
2220, 21syl6eleqr 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  |^| { { A } } )
23 ssel 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  ( A  e.  |^| { { A } }  ->  A  e.  y ) )
2422, 23syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2518, 24sylan9r 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  { { A } }
)  ->  ( x  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2625rexlimdva 2947 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( E. x  e. 
{ { A } } x  C_  y  ->  A  e.  y )
)
2715, 26impbid2 204 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  y  <->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) )
289, 27anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( ( y  e. 
~P X  /\  A  e.  y )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
29 eleq2 2527 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
3029elrab 3224 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) )
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
32 elfg 19577 . . . . 5  |-  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
337, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
3428, 31, 333bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  y  e.  ( X
filGen { { A } } ) ) )
3534eqrdv 2451 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) )
367, 35jca 532 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800   {crab 2803    C_ wss 3437   (/)c0 3746   ~Pcpw 3969   {csn 3986   |^|cint 4237   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   fBascfbas 17930   filGencfg 17931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-fil 19552
This theorem is referenced by:  fixufil  19628  uffixfr  19629
  Copyright terms: Public domain W3C validator