Theorem ufcondr 15581

Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology.

Hypotheses

Ref	Expression
ufcondr.1	|- J = (F u. {(/)})
ufcondr.2	|- X = U.F

Assertion

Ref	Expression
ufcondr	|- (F e. UFil -> (J e. Con /\ (J u. (Clsd` J)) = ~PX))

Proof of Theorem ufcondr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 15566	. . 3 |- (F e. UFil -> F e. Fil)
2		filcon 15580	. . . 4 |- (F e. Fil -> (F u. {(/)}) e. Con)
3		ufcondr.1	. . . 4 |- J = (F u. {(/)})
4	2, 3	syl5eqel 1975	. . 3 |- (F e. Fil -> J e. Con)
5	1, 4	syl 12	. 2 |- (F e. UFil -> J e. Con)
6		contop 10342	. . . . . . . . . . 11 |- Con C_ Top
7	6	sseli 2617	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Con -> J e. Top)
8		ufcondr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U.F
9		uniun 3196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.(F u. {(/)}) = (U.F u. U.{(/)})
10	3	unieqi 3187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.J = U.(F u. {(/)})
11		0ex 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) e. _V
12	11	unisn 3193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U.{(/)} = (/)
13	12	uneq2i 2752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (U.F u. U.{(/)}) = (U.F u. (/))
14		un0 2896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (U.F u. (/)) = U.F
15	13, 14	eqtr2i 1909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.F = (U.F u. U.{(/)})
16	9, 10, 15	3eqtr4ri 1923	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.F = U.J
17	8, 16	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . 12 |- X = U.J
18	17	eltopss 8872	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ x e. J) -> x C_ X)
19	18	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> (x e. J -> x C_ X))
20	7, 19	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (J e. Con -> (x e. J -> x C_ X))
21	20	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> (x e. J -> x C_ X))
22		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
23	22	elpw 3037	. . . . . . . 8 |- (x e. ~PX <-> x C_ X)
24	21, 23	syl6ibr 230	. . . . . . 7 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> (x e. J -> x e. ~PX))
25	24	ssrdv 2622	. . . . . 6 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> J C_ ~PX)
26	17	cldss 8947	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ x e. (Clsd` J)) -> x C_ X)
27	26, 23	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ x e. (Clsd` J)) -> x e. ~PX)
28	27	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> (x e. (Clsd` J) -> x e. ~PX))
29	7, 28	syl 12	. . . . . . . 8 |- (J e. Con -> (x e. (Clsd` J) -> x e. ~PX))
30	29	ssrdv 2622	. . . . . . 7 |- (J e. Con -> (Clsd` J) C_ ~PX)
31	30	adantl 424	. . . . . 6 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> (Clsd` J) C_ ~PX)
32	25, 31	jca 310	. . . . 5 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> (J C_ ~PX /\ (Clsd` J) C_ ~PX))
33		unss 2780	. . . . 5 |- ((J C_ ~PX /\ (Clsd` J) C_ ~PX) <-> (J u. (Clsd` J)) C_ ~PX)
34	32, 33	sylib 215	. . . 4 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> (J u. (Clsd` J)) C_ ~PX)
35	8	ufilss 15567	. . . . . . . . 9 |- ((F e. UFil /\ x C_ X) -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))
36	35	3adant2 895	. . . . . . . 8 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> (x e. F \/ (X \ x) e. F))
37		ssun1 2767	. . . . . . . . . . . . 13 |- F C_ (F u. {(/)})
38	37, 3	sseqtr4i 2650	. . . . . . . . . . . 12 |- F C_ J
39	38	sseli 2617	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. F -> x e. J)
40	39	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> (x e. F -> x e. J))
41	38	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((X \ x) e. F -> (X \ x) e. J)
42	41	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> ((X \ x) e. F -> (X \ x) e. J))
43		simp3 878	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> x C_ X)
44	42, 43	jctild 662	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> ((X \ x) e. F -> (x C_ X /\ (X \ x) e. J)))
45	17	iscld 8945	. . . . . . . . . . . . 13 |- (J e. Top -> (x e. (Clsd` J) <-> (x C_ X /\ (X \ x) e. J)))
46	7, 45	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (J e. Con -> (x e. (Clsd` J) <-> (x C_ X /\ (X \ x) e. J)))
47	46	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> (x e. (Clsd` J) <-> (x C_ X /\ (X \ x) e. J)))
48	44, 47	sylibrd 221	. . . . . . . . . 10 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> ((X \ x) e. F -> x e. (Clsd` J)))
49	40, 48	orim12d 624	. . . . . . . . 9 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> ((x e. F \/ (X \ x) e. F) -> (x e. J \/ x e. (Clsd` J))))
50		elun 2741	. . . . . . . . 9 |- (x e. (J u. (Clsd` J)) <-> (x e. J \/ x e. (Clsd` J)))
51	49, 50	syl6ibr 230	. . . . . . . 8 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> ((x e. F \/ (X \ x) e. F) -> x e. (J u. (Clsd` J))))
52	36, 51	mpd 29	. . . . . . 7 |- ((F e. UFil /\ J e. Con /\ x C_ X) -> x e. (J u. (Clsd` J)))
53	52	3expia 1069	. . . . . 6 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> (x C_ X -> x e. (J u. (Clsd` J))))
54	53, 23	syl5ib 223	. . . . 5 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> (x e. ~PX -> x e. (J u. (Clsd` J))))
55	54	ssrdv 2622	. . . 4 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> ~PX C_ (J u. (Clsd` J)))
56	34, 55	eqssd 2633	. . 3 |- ((F e. UFil /\ J e. Con) -> (J u. (Clsd` J)) = ~PX)
57	56	ex 402	. 2 |- (F e. UFil -> (J e. Con -> (J u. (Clsd` J)) = ~PX))
58	5, 57	jcai 313	1 |- (F e. UFil -> (J e. Con /\ (J u. (Clsd` J)) = ~PX))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   \ cdif 2590   u. cun 2591   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936  Filcfil 10264  Conccon 10337  UFilcufil 15562

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-fil 10265  df-con 10338  df-ufil 15563

Copyright terms: Public domain