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Theorem ucnval 21284
Description: The set of all uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ucnval  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
Distinct variable groups:    f, r,
s, x, y, U   
f, V, r, s, x    f, X, r, s, x, y    f, Y, r, s, x
Allowed substitution hints:    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem ucnval
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrnust 21231 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  U  e.  U.
ran UnifOn )
21adantr 467 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  U  e.  U.
ran UnifOn )
3 elrnust 21231 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  V  e.  U.
ran UnifOn )
43adantl 468 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  V  e.  U.
ran UnifOn )
5 ovex 6331 . . . . 5  |-  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  e.  _V
65rabex 4573 . . . 4  |-  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e.  dom  U. U
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) }  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) }  e.  _V )
8 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  v  =  V )
98unieqd 4227 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  U. v  =  U. V )
109dmeqd 5054 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  dom  U. v  =  dom  U. V )
11 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  u  =  U )
1211unieqd 4227 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  U. u  =  U. U )
1312dmeqd 5054 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  dom  U. u  =  dom  U. U )
1410, 13oveq12d 6321 . . . . 5  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  =  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
) )
1513raleqdv 3032 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. y  e. 
dom  U. u ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) ) )
1613, 15raleqbidv 3040 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
1711, 16rexeqbidv 3041 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( E. r  e.  u  A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
188, 17raleqbidv 3040 . . . . 5  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
1914, 18rabeqbidv 3077 . . . 4  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  { f  e.  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  | 
A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e.  dom  U. u A. y  e. 
dom  U. u ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
20 df-ucn 21283 . . . 4  |- Cnu  =  (
u  e.  U. ran UnifOn ,  v  e.  U. ran UnifOn  |->  { f  e.  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  |  A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e.  dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } )
2119, 20ovmpt2ga 6438 . . 3  |-  ( ( U  e.  U. ran UnifOn  /\  V  e.  U. ran UnifOn  /\ 
{ f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  e.  _V )  -> 
( U Cnu V )  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) } )
222, 4, 7, 21syl3anc 1265 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e.  dom  U. U
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } )
23 ustbas2 21232 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  Y  =  dom  U. V )
24 ustbas2 21232 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  =  dom  U. U )
2523, 24oveqan12rd 6323 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( Y  ^m  X )  =  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U ) )
2624adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  X  =  dom  U. U )
2726raleqdv 3032 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  dom  U. U ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) ) )
2826, 27raleqbidv 3040 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
2928rexbidv 2940 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
3029ralbidv 2865 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
3125, 30rabeqbidv 3077 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
3222, 31eqtr4d 2467 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   U.cuni 4217   class class class wbr 4421   dom cdm 4851   ran crn 4852   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    ^m cmap 7478  UnifOncust 21206   Cnucucn 21282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-ust 21207  df-ucn 21283
This theorem is referenced by:  isucn  21285
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