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Theorem ucnval 21370
Description: The set of all uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ucnval  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
Distinct variable groups:    f, r,
s, x, y, U   
f, V, r, s, x    f, X, r, s, x, y    f, Y, r, s, x
Allowed substitution hints:    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem ucnval
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrnust 21317 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  U  e.  U.
ran UnifOn )
21adantr 472 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  U  e.  U.
ran UnifOn )
3 elrnust 21317 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  V  e.  U.
ran UnifOn )
43adantl 473 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  V  e.  U.
ran UnifOn )
5 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  e.  _V
65rabex 4550 . . . 4  |-  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e.  dom  U. U
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) }  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) }  e.  _V )
8 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  v  =  V )
98unieqd 4200 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  U. v  =  U. V )
109dmeqd 5042 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  dom  U. v  =  dom  U. V )
11 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  u  =  U )
1211unieqd 4200 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  U. u  =  U. U )
1312dmeqd 5042 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  dom  U. u  =  dom  U. U )
1410, 13oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  =  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
) )
1513raleqdv 2979 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. y  e. 
dom  U. u ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) ) )
1613, 15raleqbidv 2987 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
1711, 16rexeqbidv 2988 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( E. r  e.  u  A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
188, 17raleqbidv 2987 . . . . 5  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
1914, 18rabeqbidv 3026 . . . 4  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  { f  e.  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  | 
A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e.  dom  U. u A. y  e. 
dom  U. u ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
20 df-ucn 21369 . . . 4  |- Cnu  =  (
u  e.  U. ran UnifOn ,  v  e.  U. ran UnifOn  |->  { f  e.  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  |  A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e.  dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } )
2119, 20ovmpt2ga 6445 . . 3  |-  ( ( U  e.  U. ran UnifOn  /\  V  e.  U. ran UnifOn  /\ 
{ f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  e.  _V )  -> 
( U Cnu V )  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) } )
222, 4, 7, 21syl3anc 1292 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e.  dom  U. U
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } )
23 ustbas2 21318 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  Y  =  dom  U. V )
24 ustbas2 21318 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  =  dom  U. U )
2523, 24oveqan12rd 6328 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( Y  ^m  X )  =  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U ) )
2624adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  X  =  dom  U. U )
2726raleqdv 2979 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  dom  U. U ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) ) )
2826, 27raleqbidv 2987 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
2928rexbidv 2892 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
3029ralbidv 2829 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
3125, 30rabeqbidv 3026 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
3222, 31eqtr4d 2508 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490  UnifOncust 21292   Cnucucn 21368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-ust 21293  df-ucn 21369
This theorem is referenced by:  isucn  21371
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