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Theorem ucnval 20510
Description: The set of all uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ucnval  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
Distinct variable groups:    f, r,
s, x, y, U   
f, V, r, s, x    f, X, r, s, x, y    f, Y, r, s, x
Allowed substitution hints:    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem ucnval
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrnust 20457 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  U  e.  U.
ran UnifOn )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  U  e.  U.
ran UnifOn )
3 elrnust 20457 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  V  e.  U.
ran UnifOn )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  V  e.  U.
ran UnifOn )
5 ovex 6302 . . . . 5  |-  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  e.  _V
65rabex 4593 . . . 4  |-  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e.  dom  U. U
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) }  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) }  e.  _V )
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  v  =  V )
98unieqd 4250 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  U. v  =  U. V )
109dmeqd 5198 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  dom  U. v  =  dom  U. V )
11 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  u  =  U )
1211unieqd 4250 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  U. u  =  U. U )
1312dmeqd 5198 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  dom  U. u  =  dom  U. U )
1410, 13oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  =  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
) )
1513raleqdv 3059 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. y  e. 
dom  U. u ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) ) )
1613, 15raleqbidv 3067 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
1711, 16rexeqbidv 3068 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( E. r  e.  u  A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
188, 17raleqbidv 3067 . . . . 5  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  ( A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e. 
dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
1914, 18rabeqbidv 3103 . . . 4  |-  ( ( u  =  U  /\  v  =  V )  ->  { f  e.  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  | 
A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e.  dom  U. u A. y  e. 
dom  U. u ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
20 df-ucn 20509 . . . 4  |- Cnu  =  (
u  e.  U. ran UnifOn ,  v  e.  U. ran UnifOn  |->  { f  e.  ( dom  U. v  ^m  dom  U. u )  |  A. s  e.  v  E. r  e.  u  A. x  e.  dom  U. u A. y  e.  dom  U. u ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } )
2119, 20ovmpt2ga 6409 . . 3  |-  ( ( U  e.  U. ran UnifOn  /\  V  e.  U. ran UnifOn  /\ 
{ f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  e.  _V )  -> 
( U Cnu V )  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) } )
222, 4, 7, 21syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e.  dom  U. U
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } )
23 ustbas2 20458 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  Y  =  dom  U. V )
24 ustbas2 20458 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  =  dom  U. U )
2523, 24oveqan12rd 6297 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( Y  ^m  X )  =  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U ) )
2624adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  X  =  dom  U. U )
2726raleqdv 3059 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  dom  U. U ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) ) )
2826, 27raleqbidv 3067 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
2928rexbidv 2968 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
3029ralbidv 2898 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  dom  U. U A. y  e. 
dom  U. U ( x r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) ) )
3125, 30rabeqbidv 3103 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  =  { f  e.  ( dom  U. V  ^m  dom  U. U )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e. 
dom  U. U A. y  e.  dom  U. U ( x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
3222, 31eqtr4d 2506 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   _Vcvv 3108   U.cuni 4240   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   ran crn 4995   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    ^m cmap 7412  UnifOncust 20432   Cnucucn 20508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-ust 20433  df-ucn 20509
This theorem is referenced by:  isucn  20511
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