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Theorem ubthlem3 22327
Description: Lemma for ubth 22328. Prove the reverse implication, using nmblolbi 22254. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
Assertion
Ref Expression
ubthlem3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
Distinct variable groups:    x, c,
t, D    t, J, x    t, d, x, c, N    ph, c, t, x    T, c, d, t, x    U, c, d, t, x    W, c, d, t, x    X, c, d, t, x    ph, d
Allowed substitution hints:    D( d)    J( c, d)

Proof of Theorem ubthlem3
Dummy variables  k  n  r  y  z  m  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  t  ->  (
u `  z )  =  ( t `  z ) )
21fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  t  ->  ( N `  ( u `  z ) )  =  ( N `  (
t `  z )
) )
32breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  t  ->  (
( N `  (
u `  z )
)  <_  d  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  d
) )
43cbvralv 2892 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z ) )  <_ 
d  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  d )
5 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  c  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  d  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  c
) )
65ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( d  =  c  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  c
) )
74, 6syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( d  =  c  ->  ( A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 z ) )  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  c
) )
87cbvrexv 2893 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z ) )  <_ 
d  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  c )
9 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
t `  z )  =  ( t `  x ) )
109fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  x )
) )
1110breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  c  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
1211rexralbidv 2710 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  c  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
138, 12syl5bb 249 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  ( E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 z ) )  <_  d  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
1413cbvralv 2892 . . 3  |-  ( A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d  <->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
)
15 ubth.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
16 ubth.2 . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  W )
17 ubthlem.3 . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
18 ubthlem.4 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
19 ubthlem.5 . . . . . 6  |-  U  e. 
CBan
20 ubthlem.6 . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
21 ubthlem.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
2221adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
23 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)
2423, 14sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
)
25 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  t  ->  (
u `  d )  =  ( t `  d ) )
2625fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  t  ->  ( N `  ( u `  d ) )  =  ( N `  (
t `  d )
) )
2726breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  t  ->  (
( N `  (
u `  d )
)  <_  m  <->  ( N `  ( t `  d
) )  <_  m
) )
2827cbvralv 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m 
<-> 
A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 d ) )  <_  m )
29 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  z  ->  (
t `  d )  =  ( t `  z ) )
3029fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  z  ->  ( N `  ( t `  d ) )  =  ( N `  (
t `  z )
) )
3130breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  z  ->  (
( N `  (
t `  d )
)  <_  m  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  m
) )
3231ralbidv 2686 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  z  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 d ) )  <_  m  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  m
) )
3328, 32syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  z  ->  ( A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 d ) )  <_  m  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  m
) )
3433cbvrabv 2915 . . . . . . . 8  |-  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  m }
35 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  m  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
) )
3635ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  m  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
) )
3736rabbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  m }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
3834, 37syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
3938cbvmptv 4260 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } )  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
4015, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 39ubthlem1 22325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) )
4121ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
4224ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
43 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  n  e.  NN )
44 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  -> 
y  e.  X )
45 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  -> 
r  e.  RR+ )
46 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) )
4715, 16, 17, 18, 19, 20, 41, 42, 39, 43, 44, 45, 46ubthlem2 22326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d )
4847expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  (
( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 d ) )  <_  m } ) `
 n )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
4948rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
)  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )
5049rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  ( E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  (
( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 d ) )  <_  m } ) `
 n )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
5140, 50mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d
)
5251ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
5314, 52syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
54 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR )  ->  d  e.  RR )
55 bnnv 22321 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
5619, 55ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  U  e.  NrmCVec
57 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5815, 57nvcl 22101 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5956, 58mpan 652 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
60 remulcl 9031 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  ( ( normCV `  U
) `  x )  e.  RR )  ->  (
d  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  e.  RR )
6154, 59, 60syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
d  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  e.  RR )
6221sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
6362adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
6463ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
t  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
65 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
66 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
6715, 65, 66blof 22239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )  ->  t : X
--> ( BaseSet `  W )
)
6856, 20, 67mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t : X
--> ( BaseSet `  W )
)
6964, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
t : X --> ( BaseSet `  W ) )
70 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  ->  x  e.  X )
7169, 70ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( t `  x
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
7265, 16nvcl 22101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
7320, 72mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t `  x )  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
7471, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( N `  (
t `  x )
)  e.  RR )
75 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
7615, 65, 75nmoxr 22220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t : X
--> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  e.  RR* )
7756, 20, 76mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : X --> ( BaseSet `  W )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  t )  e.  RR* )
7869, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  e.  RR* )
79 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
d  e.  RR )
8015, 65, 75nmogtmnf 22224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t : X
--> ( BaseSet `  W )
)  ->  -oo  <  (
( U normOp OLD W
) `  t )
)
8156, 20, 80mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : X --> ( BaseSet `  W )  ->  -oo  <  ( ( U normOp OLD W
) `  t )
)
8269, 81syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  ->  -oo  <  ( ( U
normOp OLD W ) `  t ) )
83 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d )
84 xrre 10713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  e.  RR*  /\  d  e.  RR )  /\  (  -oo  <  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  e.  RR )
8578, 79, 82, 83, 84syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  e.  RR )
8659ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( normCV `  U
) `  x )  e.  RR )
87 remulcl 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  e.  RR  /\  ( ( normCV `  U
) `  x )  e.  RR )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  e.  RR )
8885, 86, 87syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  e.  RR )
8961adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( d  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  e.  RR )
9015, 57, 16, 75, 66, 56, 20nmblolbi 22254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( U 
BLnOp  W )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) ) )
9164, 70, 90syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( N `  (
t `  x )
)  <_  ( (
( U normOp OLD W
) `  t )  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
9215, 57nvge0 22116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( ( normCV `  U
) `  x )
)
9356, 92mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  0  <_  ( ( normCV `  U
) `  x )
)
9459, 93jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( normCV `  U
) `  x )
) )
9594ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( ( normCV `  U ) `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
96 lemul1a 9820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  ( ( ( normCV `  U ) `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d )  ->  ( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  <_ 
( d  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) ) )
9785, 79, 95, 83, 96syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  <_ 
( d  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) ) )
9874, 88, 89, 91, 97letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( N `  (
t `  x )
)  <_  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
9998expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
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( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  ->  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( d  x.  ( ( normCV `  U
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) ) )
10099ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) ) )
101 breq2 4176 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  ->  ( ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
d  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) ) ) )
102101ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) ) )
103102rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( d  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
d  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) ) )  ->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
10461, 100, 103ee12an 1369 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  ->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
105104ralrimdva 2756 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR )  ->  ( A. t  e.  T  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
106105rexlimdva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c ) )
10753, 106impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   RR+crp 10568   MetOpencmopn 16646   NrmCVeccnv 22016   BaseSetcba 22018   normCVcnmcv 22022   IndMetcims 22023   normOp OLDcnmoo 22195    BLnOp cblo 22196   CBanccbn 22317
This theorem is referenced by:  ubth  22328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-dc 8282  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-lno 22198  df-nmoo 22199  df-blo 22200  df-0o 22201  df-cbn 22318
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