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Theorem ubthlem2 22326
Description: Lemma for ubth 22328. Given that there is a closed ball  B ( P ,  R ) in  A `  K, for any  x  e.  B
( 0 ,  1 ), we have  P  +  R  x.  x  e.  B
( P ,  R
) and  P  e.  B
( P ,  R
), so both of these have 
norm ( t ( z ) )  <_  K and so  norm ( t ( x  ) )  <_ 
( norm ( t ( P ) )  + 
norm ( t ( P  +  R  x.  x ) ) )  /  R  <_  (  K  +  K
)  /  R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
ubthlem.10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
ubthlem.11  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
ubthlem.12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ubthlem.13  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
Assertion
Ref Expression
ubthlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d )
Distinct variable groups:    k, c, x, z, A    t, c, D, k, x, z    k, J, t, x    k, d, t, x, z, K   
c, d, N, k, t, x, z    t, P, z    ph, c, k, t, x    R, d, t, x, z    T, c, d, k, t, x, z    U, c, d, t, x, z    W, c, d, t, x    X, c, d, k, t, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, d)    A( t, d)    D( d)    P( x, k, c, d)    R( k, c)    U( k)    J( z, c, d)    K( c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 10603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
32, 2rpaddcld 10619 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR+ )
4 ubthlem.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
53, 4rpdivcld 10621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR+ )
65rpred 10604 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR )
7 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
8 rabss 3380 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K
)  <->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
97, 8sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
109ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) ) )
11 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e. 
CBan
12 bnnv 22321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
15 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
174ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR+ )
1817rpcnd 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  CC )
19 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
20 ubth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
21 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
2220, 21nvscl 22060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )
2314, 18, 19, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )
24 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2520, 24nvgcl 22052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X )
2614, 16, 23, 25syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X )
27 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( P D z )  =  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )
2827breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( P D z )  <_  R  <->  ( P D ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R )
)
29 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( z  e.  ( A `  K )  <-> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
3028, 29imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  <->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) ) )
3130rspccv 3009 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  ->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) ) )
3210, 26, 31sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) )
33 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  =  ( IndMet `  U )
3420, 33cbncms 22320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
3511, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
36 cmetmet 19192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
37 metxmet 18317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e.  ( * Met `  X
)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
40 xmetsym 18330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P ) )
4139, 16, 26, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) D P ) )
42 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
43 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
4420, 42, 43, 33imsdval 22131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4514, 26, 16, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4620, 24, 42nvpncan2 22090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )
4714, 16, 23, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .s OLD `  U
) x ) )
4847fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( R
( .s OLD `  U
) x ) ) )
4941, 45, 483eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )
5017rprege0d 10611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
5120, 21, 43nvsge0 22105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5214, 50, 19, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5349, 52eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
5418mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
5554eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  =  ( R  x.  1 ) )
5653, 55breq12d 4185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
5720, 43nvcl 22101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5813, 57mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5958adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
60 1re 9046 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
6160a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
6259, 61, 17lemul2d 10644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
6356, 62bitr4d 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  <->  ( ( normCV `  U ) `  x
)  <_  1 ) )
64 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6564ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6665rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
67 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
68 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
6920, 68eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  e. 
_V
7069rabex 4314 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  e.  _V
7166, 67, 70fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  ( A `  K )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
721, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
7372eleq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e. 
{ z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } ) )
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( t `  z
)  =  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )
7574fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( N `  (
t `  z )
)  =  ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ) )
7675breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
7776ralbidv 2686 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
7877elrab 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
) )
7973, 78syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
8079ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K )  <->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
8132, 63, 803imtr3d 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
82 rsp 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( t  e.  T  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
) )
8382com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
8483ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
85 xmet0 18325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P D P )  =  0 )
8638, 15, 85sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P D P )  =  0 )
874rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
8886, 87eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P D P )  <_  R )
89 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  P  ->  ( P D z )  =  ( P D P ) )
9089breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D P )  <_  R
) )
9190elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  <->  ( P  e.  X  /\  ( P D P )  <_  R ) )
9215, 88, 91sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
937, 92sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ( A `
 K ) )
9493, 72eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
95 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
t `  z )  =  ( t `  P ) )
9695fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  P  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  P )
) )
9796breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  P  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  K  <->  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9897ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9998elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
10094, 99sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
101100simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K )
102101r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
103102adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
104 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  e.  NrmCVec
105 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
106105sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
107 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
108 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
109 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
110 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
11133, 107, 108, 109, 110, 13, 104blocn2 22262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
112108mopntopon 18422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
11338, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e.  (TopOn `  X )
114 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
115114, 107imsxmet 22137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
116109mopntopon 18422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet
`  W ) ) )
117104, 115, 116mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
118 iscncl 17287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
119113, 117, 118mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
120111, 119sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
121106, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
122121simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
123122adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
124123, 26ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
125 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( normCV `  W )
126114, 125nvcl 22101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR )
127104, 124, 126sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR )
128123, 16ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
129114, 125nvcl 22101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  P
) )  e.  RR )
130104, 128, 129sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  e.  RR )
1311nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
132131ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  RR )
133 le2add 9466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR  /\  ( N `  (
t `  P )
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  (
t `  P )
)  <_  K )  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
134127, 130, 132, 132, 133syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  (
t `  P )
)  <_  K )  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
135103, 134mpan2d 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
13647fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( t `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )
137104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  W  e.  NrmCVec )
138 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
139138, 110bloln 22238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
14013, 104, 139mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
141106, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
142141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
143 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
14420, 42, 143, 138lnosub 22213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )
14514, 137, 142, 26, 16, 144syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) ( -v `  W
) ( t `  P ) ) )
146 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
14720, 21, 146, 138lnomul 22214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  ( R  e.  CC  /\  x  e.  X ) )  -> 
( t `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
14814, 137, 142, 18, 19, 147syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( R
( .s OLD `  U
) x ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
149136, 145, 1483eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
150149fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( N `
 ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) ) )
151122ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
152114, 146, 125nvsge0 22105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( R ( .s
OLD `  W )
( t `  x
) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) ) )
153137, 50, 151, 152syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( R
( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) ) )
154150, 153eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
155114, 143, 125nvmtri 22113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
156137, 124, 128, 155syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
157154, 156eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) ) )
15817rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
159114, 125nvcl 22101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
160104, 151, 159sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
161158, 160remulcld 9072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  e.  RR )
162127, 130readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR )
1633rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR )
164163ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  +  K )  e.  RR )
165 letr 9123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  e.  RR  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR  /\  ( K  +  K
)  e.  RR )  ->  ( ( ( R  x.  ( N `
 ( t `  x ) ) )  <_  ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  /\  ( ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  +  ( N `
 ( t `  P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
166161, 162, 164, 165syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
167157, 166mpand 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( K  +  K
) ) )
168135, 167syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
169160, 164, 17lemuldiv2d 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K )  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
170168, 169sylibd 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
17184, 170syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
172171adantld 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
17381, 172syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
174173ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
1755rpxrd 10605 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR* )
176175adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )
177 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
17820, 114, 43, 125, 177, 13, 104nmoubi 22226 . . . . 5  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
179122, 176, 178syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
180174, 179mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )
181180ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) )
182 breq2 4176 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  <->  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
183182ralbidv 2686 . . 3  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
184183rspcev 3012 . 2  |-  ( ( ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d
)
1856, 181, 184syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   MetOpencmopn 16646  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035    Cn ccn 17242   CMetcms 19160   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s OLDcns 22019   -vcnsb 22021   normCVcnmcv 22022   IndMetcims 22023    LnOp clno 22194   normOp OLDcnmoo 22195    BLnOp cblo 22196   CBanccbn 22317
This theorem is referenced by:  ubthlem3  22327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-lno 22198  df-nmoo 22199  df-blo 22200  df-0o 22201  df-cbn 22318
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