Theorem ubthlem2 24191

Description: Lemma for ubth 24193. Given that there is a closed ball B ( P , R ) in A ` K, for any x e. B ( 0 , 1 ), we have P + R x. x e. B ( P , R ) and P e. B ( P , R ), so both of these have norm ( t ( z ) ) <_ K and so norm ( t ( x ) ) <_ ( norm ( t ( P ) ) + norm ( t ( P + R x. x ) ) ) / R <_ ( K + K ) / R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ubth.2	|- N = ( normCV ` W )
ubthlem.3	|- D = ( IndMet ` U )
ubthlem.4	|- J = ( MetOpen ` D )
ubthlem.5	|- U e. CBan
ubthlem.6	|- W e. NrmCVec
ubthlem.7	|- ( ph -> T C_ ( U BLnOp W ) )
ubthlem.8	|- ( ph -> A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c )
ubthlem.9	|- A = ( k e. NN |-> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
ubthlem.10	|- ( ph -> K e. NN )
ubthlem.11	|- ( ph -> P e. X )
ubthlem.12	|- ( ph -> R e. RR+ )
ubthlem.13	|- ( ph -> { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) )

Assertion

Ref	Expression
ubthlem2	|- ( ph -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )

Distinct variable groups:   k, c, x, z, A   t, c, D, k, x, z   k, J, t, x   k, d, t, x, z, K   c, d, N, k, t, x, z   t, P, z   ph, c, k, t, x   R, d, t, x, z   T, c, d, k, t, x, z   U, c, d, t, x, z   W, c, d, t, x   X, c, d, k, t, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z, d)   A( t, d)   D( d)   P( x, k, c, d)   R( k, c)   U( k)   J( z, c, d)   K( c)   W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ubthlem.10	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN )
2	1	nnrpd 11022	. . . . 5 |- ( ph -> K e. RR+ )
3	2, 2	rpaddcld 11038	. . . 4 |- ( ph -> ( K + K ) e. RR+ )
4		ubthlem.12	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
5	3, 4	rpdivcld 11040	. . 3 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR+ )
6	5	rpred 11023	. 2 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR )
7		ubthlem.13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) )
8		rabss 3426	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) <-> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
9	7, 8	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
10	9	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
11		ubthlem.5	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CBan
12		bnnv 24186	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. CBan -> U e. NrmCVec )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> U e. NrmCVec )
15		ubthlem.11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. X )
16	15	ad2antrr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> P e. X )
17	4	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. RR+ )
18	17	rpcnd 11025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. CC )
19		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> x e. X )
20		ubth.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( BaseSet ` U )
21		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
22	20, 21	nvscl 23925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ R e. CC /\ x e. X ) -> ( R ( .sOLD ` U ) x ) e. X )
23	14, 18, 19, 22	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R ( .sOLD ` U ) x ) e. X )
24		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
25	20, 24	nvgcl 23917	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( R ( .sOLD ` U ) x ) e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X )
26	14, 16, 23, 25	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X )
27		oveq2 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( P D z ) = ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) )
28	27	breq1d 4299	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( ( P D z ) <_ R <-> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R ) )
29		eleq1 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( z e. ( A ` K ) <-> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) )
30	28, 29	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) <-> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) ) )
31	30	rspccv 3067	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) ) )
32	10, 26, 31	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) )
33		ubthlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D = ( IndMet ` U )
34	20, 33	cbncms 24185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. CBan -> D e. ( CMet ` X ) )
35	11, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. ( CMet ` X )
36		cmetmet 20697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
37		metxmet 19809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
38	35, 36, 37	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. ( *Met ` X )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
40		xmetsym 19822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) = ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) D P ) )
41	39, 16, 26, 40	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) = ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) D P ) )
42		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
43		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
44	20, 42, 43, 33	imsdval 23996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ P e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) D P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
45	14, 26, 16, 44	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) D P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
46	20, 24, 42	nvpncan2 23955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( R ( .sOLD ` U ) x ) e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) = ( R ( .sOLD ` U ) x ) )
47	14, 16, 23, 46	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) = ( R ( .sOLD ` U ) x ) )
48	47	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) )
49	41, 45, 48	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) )
50	17	rprege0d 11030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
51	20, 21, 43	nvsge0 23970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( R e. RR /\ 0 <_ R ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
52	14, 50, 19, 51	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
53	49, 52	eqtrd 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
54	18	mulid1d 9399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. 1 ) = R )
55	54	eqcomd 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R = ( R x. 1 ) )
56	53, 55	breq12d 4302	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R <-> ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) <_ ( R x. 1 ) ) )
57	20, 43	nvcl 23966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
58	13, 57	mpan 665	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
59	58	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
60		1red 9397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> 1 e. RR )
61	59, 60, 17	lemul2d 11063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 <-> ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) <_ ( R x. 1 ) ) )
62	56, 61	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R <-> ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 ) )
63		breq2 4293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = K -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ k <-> ( N ` ( t ` z ) ) <_ K ) )
64	63	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = K -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K ) )
65	64	rabbidv 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = K -> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
66		ubthlem.9	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( k e. NN |-> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
67		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( BaseSet ` U ) e. _V
68	20, 67	eqeltri 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- X e. _V
69	68	rabex 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } e. _V
70	65, 66, 69	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( A ` K ) = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
71	1, 70	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ` K ) = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
72	71	eleq2d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } ) )
73		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( t ` z ) = ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) )
74	73	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( N ` ( t ` z ) ) = ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) )
75	74	breq1d 4299	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
76	75	ralbidv 2733	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
77	76	elrab 3114	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
78	72, 77	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
79	78	ad2antrr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
80	32, 62, 79	3imtr3d 267	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
81		rsp 2774	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( t e. T -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
82	81	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( t e. T -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
83	82	ad2antlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
84		xmet0 19817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P D P ) = 0 )
85	38, 15, 84	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( P D P ) = 0 )
86	4	rpge0d 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ R )
87	85, 86	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P D P ) <_ R )
88		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = P -> ( P D z ) = ( P D P ) )
89	88	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = P -> ( ( P D z ) <_ R <-> ( P D P ) <_ R ) )
90	89	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. { z e. X | ( P D z ) <_ R } <-> ( P e. X /\ ( P D P ) <_ R ) )
91	15, 87, 90	sylanbrc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. { z e. X | ( P D z ) <_ R } )
92	7, 91	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ( A ` K ) )
93	92, 71	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
94		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = P -> ( t ` z ) = ( t ` P ) )
95	94	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = P -> ( N ` ( t ` z ) ) = ( N ` ( t ` P ) ) )
96	95	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = P -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
97	96	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = P -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
98	97	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } <-> ( P e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
99	93, 98	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
100	99	simprd 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
101	100	r19.21bi 2812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
102	101	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
103		ubthlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- W e. NrmCVec
104		ubthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T C_ ( U BLnOp W ) )
105	104	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. ( U BLnOp W ) )
106		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( IndMet ` W ) = ( IndMet ` W )
107		ubthlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J = ( MetOpen ` D )
108		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) = ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) )
109		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
110	33, 106, 107, 108, 109, 13, 103	blocn2 24127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) )
111	107	mopntopon 19914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
112	38, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J e. (TopOn ` X )
113		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
114	113, 106	imsxmet 24002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W e. NrmCVec -> ( IndMet ` W ) e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) )
115	108	mopntopon 19914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( IndMet ` W ) e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) -> ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) ) )
116	103, 114, 115	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) )
117		iscncl 18773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) ) ) -> ( t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) <-> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
118	112, 116, 117	mp2an 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) <-> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
119	110, 118	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
120	105, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
121	120	simpld 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
122	121	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
123	122, 26	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) )
124		ubth.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = ( normCV ` W )
125	113, 124	nvcl 23966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR )
126	103, 123, 125	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR )
127	122, 16	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) )
128	113, 124	nvcl 23966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` P ) ) e. RR )
129	103, 127, 128	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` P ) ) e. RR )
130	1	nnred 10333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR )
131	130	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> K e. RR )
132		le2add 9817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR /\ ( N ` ( t ` P ) ) e. RR ) /\ ( K e. RR /\ K e. RR ) ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K /\ ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
133	126, 129, 131, 131, 132	syl22anc 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K /\ ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
134	102, 133	mpan2d 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
135	47	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( t ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) )
136	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> W e. NrmCVec )
137		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( U LnOp W ) = ( U LnOp W )
138	137, 109	bloln 24103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U BLnOp W ) ) -> t e. ( U LnOp W ) )
139	13, 103, 138	mp3an12 1299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> t e. ( U LnOp W ) )
140	105, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. ( U LnOp W ) )
141	140	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> t e. ( U LnOp W ) )
142		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -v ` W ) = ( -v ` W )
143	20, 42, 142, 137	lnosub 24078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U LnOp W ) ) /\ ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ P e. X ) ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) )
144	14, 136, 141, 26, 16, 143	syl32anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) )
145		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
146	20, 21, 145, 137	lnomul 24079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U LnOp W ) ) /\ ( R e. CC /\ x e. X ) ) -> ( t ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) = ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) )
147	14, 136, 141, 18, 19, 146	syl32anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) = ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) )
148	135, 144, 147	3eqtr3d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) = ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) )
149	148	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) = ( N ` ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) ) )
150	121	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) )
151	113, 145, 124	nvsge0 23970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( R e. RR /\ 0 <_ R ) /\ ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
152	136, 50, 150, 151	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
153	149, 152	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
154	113, 142, 124	nvmtri 23978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
155	136, 123, 127, 154	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
156	153, 155	eqbrtrrd 4311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
157	17	rpred 11023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. RR )
158	113, 124	nvcl 23966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
159	103, 150, 158	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
160	157, 159	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) e. RR )
161	126, 129	readdcld 9409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) e. RR )
162	3	rpred 11023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K + K ) e. RR )
163	162	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( K + K ) e. RR )
164		letr 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) e. RR /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) e. RR /\ ( K + K ) e. RR ) -> ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
165	160, 161, 163, 164	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
166	156, 165	mpand 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
167	134, 166	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
168	159, 163, 17	lemuldiv2d 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) <-> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
169	167, 168	sylibd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
170	83, 169	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
171	170	adantld 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
172	80, 171	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
173	172	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
174	5	rpxrd 11024	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR* )
175	174	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( K + K ) / R ) e. RR* )
176		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( U normOpOLD W ) = ( U normOpOLD W )
177	20, 113, 43, 124, 176, 13, 103	nmoubi 24091	. . . . 5 |- ( ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ ( ( K + K ) / R ) e. RR* ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) ) )
178	121, 175, 177	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) ) )
179	173, 178	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) )
180	179	ralrimiva 2797	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) )
181		breq2 4293	. . . 4 |- ( d = ( ( K + K ) / R ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d <-> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
182	181	ralbidv 2733	. . 3 |- ( d = ( ( K + K ) / R ) -> ( A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d <-> A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
183	182	rspcev 3070	. 2 |- ( ( ( ( K + K ) / R ) e. RR /\ A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )
184	6, 180, 183	syl2anc 656	1 |- ( ph -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   RR*cxr 9413   <_ cle 9415   / cdiv 9989   NNcn 10318   RR+crp 10987   *Metcxmt 17701   Metcme 17702   MetOpencmopn 17706  TopOnctopon 18399   Clsdccld 18520   Cn ccn 18728   CMetcms 20665   NrmCVeccnv 23881   +vcpv 23882   BaseSetcba 23883   .sOLDcns 23884   -vcnsb 23886   norm_CVcnmcv 23887   IndMetcims 23888   LnOp clno 24059   normOpOLDcnmoo 24060   BLnOp cblo 24061   CBanccbn 24182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cld 18523  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmet 20668  df-grpo 23597  df-gid 23598  df-ginv 23599  df-gdiv 23600  df-ablo 23688  df-vc 23843  df-nv 23889  df-va 23892  df-ba 23893  df-sm 23894  df-0v 23895  df-vs 23896  df-nmcv 23897  df-ims 23898  df-lno 24063  df-nmoo 24064  df-blo 24065  df-0o 24066  df-cbn 24183

This theorem is referenced by:  ubthlem3  24192