Theorem ubthlem2 24272

Description: Lemma for ubth 24274. Given that there is a closed ball B ( P , R ) in A ` K, for any x e. B ( 0 , 1 ), we have P + R x. x e. B ( P , R ) and P e. B ( P , R ), so both of these have norm ( t ( z ) ) <_ K and so norm ( t ( x ) ) <_ ( norm ( t ( P ) ) + norm ( t ( P + R x. x ) ) ) / R <_ ( K + K ) / R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ubth.2	|- N = ( normCV ` W )
ubthlem.3	|- D = ( IndMet ` U )
ubthlem.4	|- J = ( MetOpen ` D )
ubthlem.5	|- U e. CBan
ubthlem.6	|- W e. NrmCVec
ubthlem.7	|- ( ph -> T C_ ( U BLnOp W ) )
ubthlem.8	|- ( ph -> A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c )
ubthlem.9	|- A = ( k e. NN |-> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
ubthlem.10	|- ( ph -> K e. NN )
ubthlem.11	|- ( ph -> P e. X )
ubthlem.12	|- ( ph -> R e. RR+ )
ubthlem.13	|- ( ph -> { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) )

Assertion

Ref	Expression
ubthlem2	|- ( ph -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )

Distinct variable groups:   k, c, x, z, A   t, c, D, k, x, z   k, J, t, x   k, d, t, x, z, K   c, d, N, k, t, x, z   t, P, z   ph, c, k, t, x   R, d, t, x, z   T, c, d, k, t, x, z   U, c, d, t, x, z   W, c, d, t, x   X, c, d, k, t, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z, d)   A( t, d)   D( d)   P( x, k, c, d)   R( k, c)   U( k)   J( z, c, d)   K( c)   W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ubthlem.10	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN )
2	1	nnrpd 11026	. . . . 5 |- ( ph -> K e. RR+ )
3	2, 2	rpaddcld 11042	. . . 4 |- ( ph -> ( K + K ) e. RR+ )
4		ubthlem.12	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
5	3, 4	rpdivcld 11044	. . 3 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR+ )
6	5	rpred 11027	. 2 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR )
7		ubthlem.13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) )
8		rabss 3429	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) <-> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
9	7, 8	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
11		ubthlem.5	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CBan
12		bnnv 24267	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. CBan -> U e. NrmCVec )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> U e. NrmCVec )
15		ubthlem.11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. X )
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> P e. X )
17	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. RR+ )
18	17	rpcnd 11029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. CC )
19		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> x e. X )
20		ubth.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( BaseSet ` U )
21		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
22	20, 21	nvscl 24006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ R e. CC /\ x e. X ) -> ( R ( .sOLD ` U ) x ) e. X )
23	14, 18, 19, 22	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R ( .sOLD ` U ) x ) e. X )
24		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
25	20, 24	nvgcl 23998	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( R ( .sOLD ` U ) x ) e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X )
26	14, 16, 23, 25	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X )
27		oveq2 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( P D z ) = ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) )
28	27	breq1d 4302	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( ( P D z ) <_ R <-> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R ) )
29		eleq1 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( z e. ( A ` K ) <-> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) )
30	28, 29	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) <-> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) ) )
31	30	rspccv 3070	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) ) )
32	10, 26, 31	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) )
33		ubthlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D = ( IndMet ` U )
34	20, 33	cbncms 24266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. CBan -> D e. ( CMet ` X ) )
35	11, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. ( CMet ` X )
36		cmetmet 20797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
37		metxmet 19909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
38	35, 36, 37	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. ( *Met ` X )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
40		xmetsym 19922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) = ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) D P ) )
41	39, 16, 26, 40	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) = ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) D P ) )
42		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
43		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
44	20, 42, 43, 33	imsdval 24077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ P e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) D P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
45	14, 26, 16, 44	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) D P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
46	20, 24, 42	nvpncan2 24036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( R ( .sOLD ` U ) x ) e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) = ( R ( .sOLD ` U ) x ) )
47	14, 16, 23, 46	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) = ( R ( .sOLD ` U ) x ) )
48	47	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) )
49	41, 45, 48	3eqtrd 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) )
50	17	rprege0d 11034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
51	20, 21, 43	nvsge0 24051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( R e. RR /\ 0 <_ R ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
52	14, 50, 19, 51	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
53	49, 52	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
54	18	mulid1d 9403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. 1 ) = R )
55	54	eqcomd 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R = ( R x. 1 ) )
56	53, 55	breq12d 4305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R <-> ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) <_ ( R x. 1 ) ) )
57	20, 43	nvcl 24047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
58	13, 57	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
59	58	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
60		1red 9401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> 1 e. RR )
61	59, 60, 17	lemul2d 11067	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 <-> ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) <_ ( R x. 1 ) ) )
62	56, 61	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) <_ R <-> ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 ) )
63		breq2 4296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = K -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ k <-> ( N ` ( t ` z ) ) <_ K ) )
64	63	ralbidv 2735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = K -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K ) )
65	64	rabbidv 2964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = K -> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
66		ubthlem.9	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( k e. NN |-> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
67		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( BaseSet ` U ) e. _V
68	20, 67	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- X e. _V
69	68	rabex 4443	. . . . . . . . . . . 12 |- { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } e. _V
70	65, 66, 69	fvmpt 5774	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( A ` K ) = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
71	1, 70	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ` K ) = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
72	71	eleq2d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } ) )
73		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( t ` z ) = ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) )
74	73	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( N ` ( t ` z ) ) = ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) )
75	74	breq1d 4302	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
76	75	ralbidv 2735	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
77	76	elrab 3117	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
78	72, 77	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
79	78	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
80	32, 62, 79	3imtr3d 267	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
81		rsp 2776	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( t e. T -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
82	81	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( t e. T -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
83	82	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
84		xmet0 19917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P D P ) = 0 )
85	38, 15, 84	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( P D P ) = 0 )
86	4	rpge0d 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ R )
87	85, 86	eqbrtrd 4312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P D P ) <_ R )
88		oveq2 6099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = P -> ( P D z ) = ( P D P ) )
89	88	breq1d 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = P -> ( ( P D z ) <_ R <-> ( P D P ) <_ R ) )
90	89	elrab 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. { z e. X | ( P D z ) <_ R } <-> ( P e. X /\ ( P D P ) <_ R ) )
91	15, 87, 90	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. { z e. X | ( P D z ) <_ R } )
92	7, 91	sseldd 3357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ( A ` K ) )
93	92, 71	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
94		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = P -> ( t ` z ) = ( t ` P ) )
95	94	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = P -> ( N ` ( t ` z ) ) = ( N ` ( t ` P ) ) )
96	95	breq1d 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = P -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
97	96	ralbidv 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = P -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
98	97	elrab 3117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } <-> ( P e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
99	93, 98	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
100	99	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
101	100	r19.21bi 2814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
103		ubthlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- W e. NrmCVec
104		ubthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T C_ ( U BLnOp W ) )
105	104	sselda 3356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. ( U BLnOp W ) )
106		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( IndMet ` W ) = ( IndMet ` W )
107		ubthlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J = ( MetOpen ` D )
108		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) = ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) )
109		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
110	33, 106, 107, 108, 109, 13, 103	blocn2 24208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) )
111	107	mopntopon 20014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
112	38, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J e. (TopOn ` X )
113		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
114	113, 106	imsxmet 24083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W e. NrmCVec -> ( IndMet ` W ) e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) )
115	108	mopntopon 20014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( IndMet ` W ) e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) -> ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) ) )
116	103, 114, 115	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) )
117		iscncl 18873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) ) ) -> ( t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) <-> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
118	112, 116, 117	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) <-> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
119	110, 118	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
120	105, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
121	120	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
122	121	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
123	122, 26	ffvelrnd 5844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) )
124		ubth.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = ( normCV ` W )
125	113, 124	nvcl 24047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR )
126	103, 123, 125	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR )
127	122, 16	ffvelrnd 5844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) )
128	113, 124	nvcl 24047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` P ) ) e. RR )
129	103, 127, 128	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` P ) ) e. RR )
130	1	nnred 10337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR )
131	130	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> K e. RR )
132		le2add 9821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR /\ ( N ` ( t ` P ) ) e. RR ) /\ ( K e. RR /\ K e. RR ) ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K /\ ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
133	126, 129, 131, 131, 132	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K /\ ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
134	102, 133	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
135	47	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( t ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) )
136	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> W e. NrmCVec )
137		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( U LnOp W ) = ( U LnOp W )
138	137, 109	bloln 24184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U BLnOp W ) ) -> t e. ( U LnOp W ) )
139	13, 103, 138	mp3an12 1304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> t e. ( U LnOp W ) )
140	105, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. ( U LnOp W ) )
141	140	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> t e. ( U LnOp W ) )
142		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -v ` W ) = ( -v ` W )
143	20, 42, 142, 137	lnosub 24159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U LnOp W ) ) /\ ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ P e. X ) ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) )
144	14, 136, 141, 26, 16, 143	syl32anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) )
145		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
146	20, 21, 145, 137	lnomul 24160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U LnOp W ) ) /\ ( R e. CC /\ x e. X ) ) -> ( t ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) = ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) )
147	14, 136, 141, 18, 19, 146	syl32anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) = ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) )
148	135, 144, 147	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) = ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) )
149	148	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) = ( N ` ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) ) )
150	121	ffvelrnda 5843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) )
151	113, 145, 124	nvsge0 24051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( R e. RR /\ 0 <_ R ) /\ ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
152	136, 50, 150, 151	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( R ( .sOLD ` W ) ( t ` x ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
153	149, 152	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
154	113, 142, 124	nvmtri 24059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
155	136, 123, 127, 154	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
156	153, 155	eqbrtrrd 4314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
157	17	rpred 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. RR )
158	113, 124	nvcl 24047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
159	103, 150, 158	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
160	157, 159	remulcld 9414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) e. RR )
161	126, 129	readdcld 9413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) e. RR )
162	3	rpred 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K + K ) e. RR )
163	162	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( K + K ) e. RR )
164		letr 9468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) e. RR /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) e. RR /\ ( K + K ) e. RR ) -> ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
165	160, 161, 163, 164	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
166	156, 165	mpand 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
167	134, 166	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
168	159, 163, 17	lemuldiv2d 11073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) <-> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
169	167, 168	sylibd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
170	83, 169	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
171	170	adantld 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .sOLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
172	80, 171	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
173	172	ralrimiva 2799	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
174	5	rpxrd 11028	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR* )
175	174	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( K + K ) / R ) e. RR* )
176		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( U normOpOLD W ) = ( U normOpOLD W )
177	20, 113, 43, 124, 176, 13, 103	nmoubi 24172	. . . . 5 |- ( ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ ( ( K + K ) / R ) e. RR* ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) ) )
178	121, 175, 177	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) ) )
179	173, 178	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) )
180	179	ralrimiva 2799	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) )
181		breq2 4296	. . . 4 |- ( d = ( ( K + K ) / R ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d <-> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
182	181	ralbidv 2735	. . 3 |- ( d = ( ( K + K ) / R ) -> ( A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d <-> A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
183	182	rspcev 3073	. 2 |- ( ( ( ( K + K ) / R ) e. RR /\ A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )
184	6, 180, 183	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972   C_ wss 3328   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   RR*cxr 9417   <_ cle 9419   / cdiv 9993   NNcn 10322   RR+crp 10991   *Metcxmt 17801   Metcme 17802   MetOpencmopn 17806  TopOnctopon 18499   Clsdccld 18620   Cn ccn 18828   CMetcms 20765   NrmCVeccnv 23962   +vcpv 23963   BaseSetcba 23964   .sOLDcns 23965   -vcnsb 23967   norm_CVcnmcv 23968   IndMetcims 23969   LnOp clno 24140   normOpOLDcnmoo 24141   BLnOp cblo 24142   CBanccbn 24263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmet 20768  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979  df-lno 24144  df-nmoo 24145  df-blo 24146  df-0o 24147  df-cbn 24264

This theorem is referenced by:  ubthlem3  24273