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Theorem ubthlem2 24191
Description: Lemma for ubth 24193. Given that there is a closed ball  B ( P ,  R ) in  A `  K, for any  x  e.  B
( 0 ,  1 ), we have  P  +  R  x.  x  e.  B
( P ,  R
) and  P  e.  B
( P ,  R
), so both of these have 
norm ( t ( z ) )  <_  K and so  norm ( t ( x  ) )  <_ 
( norm ( t ( P ) )  + 
norm ( t ( P  +  R  x.  x ) ) )  /  R  <_  (  K  +  K
)  /  R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
ubthlem.10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
ubthlem.11  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
ubthlem.12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ubthlem.13  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
Assertion
Ref Expression
ubthlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  d )
Distinct variable groups:    k, c, x, z, A    t, c, D, k, x, z    k, J, t, x    k, d, t, x, z, K   
c, d, N, k, t, x, z    t, P, z    ph, c, k, t, x    R, d, t, x, z    T, c, d, k, t, x, z    U, c, d, t, x, z    W, c, d, t, x    X, c, d, k, t, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, d)    A( t, d)    D( d)    P( x, k, c, d)    R( k, c)    U( k)    J( z, c, d)    K( c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 11022 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
32, 2rpaddcld 11038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR+ )
4 ubthlem.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
53, 4rpdivcld 11040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR+ )
65rpred 11023 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR )
7 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
8 rabss 3426 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K
)  <->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
109ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) ) )
11 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e. 
CBan
12 bnnv 24186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
15 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
1615ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
174ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR+ )
1817rpcnd 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  CC )
19 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
20 ubth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
21 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
2220, 21nvscl 23925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )
2314, 18, 19, 22syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )
24 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2520, 24nvgcl 23917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )
2614, 16, 23, 25syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )
27 oveq2 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( P D z )  =  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )
2827breq1d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( P D z )  <_  R  <->  ( P D ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  <_  R )
)
29 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( z  e.  ( A `  K )  <-> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
3028, 29imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  <->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) ) )
3130rspccv 3067 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  ->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) ) )
3210, 26, 31sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
33 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  =  ( IndMet `  U )
3420, 33cbncms 24185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
3511, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
36 cmetmet 20697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
37 metxmet 19809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e.  ( *Met `  X )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
40 xmetsym 19822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P ) )
4139, 16, 26, 40syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) D P ) )
42 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
43 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
4420, 42, 43, 33imsdval 23996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4514, 26, 16, 44syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4620, 24, 42nvpncan2 23955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )
4714, 16, 23, 46syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .sOLD `  U
) x ) )
4847fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( R
( .sOLD `  U ) x ) ) )
4941, 45, 483eqtrd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )
5017rprege0d 11030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
5120, 21, 43nvsge0 23970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5214, 50, 19, 51syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5349, 52eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
5418mulid1d 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
5554eqcomd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  =  ( R  x.  1 ) )
5653, 55breq12d 4302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  <->  ( R  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  <_ 
( R  x.  1 ) ) )
5720, 43nvcl 23966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5813, 57mpan 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5958adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
60 1red 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
6159, 60, 17lemul2d 11063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
6256, 61bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  <->  ( ( normCV `  U ) `  x )  <_  1
) )
63 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6463ralbidv 2733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6564rabbidv 2962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
66 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
67 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
6820, 67eqeltri 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  e. 
_V
6968rabex 4440 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  e.  _V
7065, 66, 69fvmpt 5771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  ( A `  K )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
711, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
7271eleq2d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e. 
{ z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } ) )
73 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( t `  z
)  =  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )
7473fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( N `  (
t `  z )
)  =  ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ) )
7574breq1d 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
7675ralbidv 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
7776elrab 3114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) )
7872, 77syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
7978ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K )  <->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
) )
8032, 62, 793imtr3d 267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
) )
81 rsp 2774 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( t  e.  T  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) )
8281com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
8382ad2antlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
84 xmet0 19817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P D P )  =  0 )
8538, 15, 84sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P D P )  =  0 )
864rpge0d 11027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
8785, 86eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P D P )  <_  R )
88 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  P  ->  ( P D z )  =  ( P D P ) )
8988breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D P )  <_  R
) )
9089elrab 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  <->  ( P  e.  X  /\  ( P D P )  <_  R ) )
9115, 87, 90sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
927, 91sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ( A `
 K ) )
9392, 71eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
94 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
t `  z )  =  ( t `  P ) )
9594fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  P  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  P )
) )
9695breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  P  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  K  <->  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9796ralbidv 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9897elrab 3114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
9993, 98sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
10099simprd 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K )
101100r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
102101adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
103 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  e.  NrmCVec
104 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
105104sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
106 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
107 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
108 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
109 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
11033, 106, 107, 108, 109, 13, 103blocn2 24127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
111107mopntopon 19914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
11238, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e.  (TopOn `  X )
113 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
114113, 106imsxmet 24002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
115108mopntopon 19914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )
116103, 114, 115mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
117 iscncl 18773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
118112, 116, 117mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
119110, 118sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
120105, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
121120simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
122121adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
123122, 26ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
124 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( normCV `  W )
125113, 124nvcl 23966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR )
126103, 123, 125sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR )
127122, 16ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
128113, 124nvcl 23966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  P
) )  e.  RR )
129103, 127, 128sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  e.  RR )
1301nnred 10333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
131130ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  RR )
132 le2add 9817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR  /\  ( N `
 ( t `  P ) )  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
)  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
133126, 129, 131, 131, 132syl22anc 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
)  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
134102, 133mpan2d 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
13547fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( t `
 ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )
136103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  W  e.  NrmCVec )
137 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
138137, 109bloln 24103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
13913, 103, 138mp3an12 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
140105, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
141140adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
142 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
14320, 42, 142, 137lnosub 24078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) ) )
14414, 136, 141, 26, 16, 143syl32anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )
145 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
14620, 21, 145, 137lnomul 24079 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  ( R  e.  CC  /\  x  e.  X ) )  -> 
( t `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
14714, 136, 141, 18, 19, 146syl32anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( R
( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
148135, 144, 1473eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
149148fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( N `
 ( R ( .sOLD `  W
) ( t `  x ) ) ) )
150121ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
151113, 145, 124nvsge0 23970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `  x
) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) ) )
152136, 50, 150, 151syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( R
( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
153149, 152eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
154113, 142, 124nvmtri 23978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) ) )  <_  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) ) )
155136, 123, 127, 154syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
156153, 155eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
15717rpred 11023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
158113, 124nvcl 23966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
159103, 150, 158sylancr 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
160157, 159remulcld 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  e.  RR )
161126, 129readdcld 9409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR )
1623rpred 11023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR )
163162ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  +  K )  e.  RR )
164 letr 9464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  e.  RR  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR  /\  ( K  +  K
)  e.  RR )  ->  ( ( ( R  x.  ( N `
 ( t `  x ) ) )  <_  ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
165160, 161, 163, 164syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
166156, 165mpand 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
167134, 166syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
168159, 163, 17lemuldiv2d 11069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K )  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
169167, 168sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
17083, 169syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
171170adantld 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
( ( K  +  K )  /  R
) ) )
17280, 171syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
173172ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
1745rpxrd 11024 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR* )
175174adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )
176 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( U
normOpOLD W )  =  ( U normOpOLD W
)
17720, 113, 43, 124, 176, 13, 103nmoubi 24091 . . . . 5  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
178121, 175, 177syl2anc 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
179173, 178mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )
180179ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) )
181 breq2 4293 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  d  <->  ( ( U normOpOLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
182181ralbidv 2733 . . 3  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
183182rspcev 3070 . 2  |-  ( ( ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOpOLD W ) `  t )  <_  d
)
1846, 180, 183syl2anc 656 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  d )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   RR*cxr 9413    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   RR+crp 10987   *Metcxmt 17701   Metcme 17702   MetOpencmopn 17706  TopOnctopon 18399   Clsdccld 18520    Cn ccn 18728   CMetcms 20665   NrmCVeccnv 23881   +vcpv 23882   BaseSetcba 23883   .sOLDcns 23884   -vcnsb 23886   normCVcnmcv 23887   IndMetcims 23888    LnOp clno 24059   normOpOLDcnmoo 24060    BLnOp cblo 24061   CBanccbn 24182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cld 18523  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmet 20668  df-grpo 23597  df-gid 23598  df-ginv 23599  df-gdiv 23600  df-ablo 23688  df-vc 23843  df-nv 23889  df-va 23892  df-ba 23893  df-sm 23894  df-0v 23895  df-vs 23896  df-nmcv 23897  df-ims 23898  df-lno 24063  df-nmoo 24064  df-blo 24065  df-0o 24066  df-cbn 24183
This theorem is referenced by:  ubthlem3  24192
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