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Theorem ubthlem2 26562
Description: Lemma for ubth 26564. Given that there is a closed ball  B ( P ,  R ) in  A `  K, for any  x  e.  B
( 0 ,  1 ), we have  P  +  R  x.  x  e.  B
( P ,  R
) and  P  e.  B
( P ,  R
), so both of these have 
norm ( t ( z ) )  <_  K and so  norm ( t ( x  ) )  <_ 
( norm ( t ( P ) )  + 
norm ( t ( P  +  R  x.  x ) ) )  /  R  <_  (  K  +  K
)  /  R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
ubthlem.10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
ubthlem.11  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
ubthlem.12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ubthlem.13  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
Assertion
Ref Expression
ubthlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  d )
Distinct variable groups:    k, c, x, z, A    t, c, D, k, x, z    k, J, t, x    k, d, t, x, z, K   
c, d, N, k, t, x, z    t, P, z    ph, c, k, t, x    R, d, t, x, z    T, c, d, k, t, x, z    U, c, d, t, x, z    W, c, d, t, x    X, c, d, k, t, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, d)    A( t, d)    D( d)    P( x, k, c, d)    R( k, c)    U( k)    J( z, c, d)    K( c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 11368 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
32, 2rpaddcld 11385 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR+ )
4 ubthlem.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
53, 4rpdivcld 11387 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR+ )
65rpred 11370 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR )
7 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
8 rabss 3518 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K
)  <->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
97, 8sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
109ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) ) )
11 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e. 
CBan
12 bnnv 26557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
15 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
1615ad2antrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
174ad2antrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR+ )
1817rpcnd 11372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  CC )
19 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
20 ubth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
21 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
2220, 21nvscl 26296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )
2314, 18, 19, 22syl3anc 1276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )
24 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2520, 24nvgcl 26288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )
2614, 16, 23, 25syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )
27 oveq2 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( P D z )  =  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )
2827breq1d 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( P D z )  <_  R  <->  ( P D ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  <_  R )
)
29 eleq1 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( z  e.  ( A `  K )  <-> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
3028, 29imbi12d 326 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  <->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) ) )
3130rspccv 3159 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  ->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) ) )
3210, 26, 31sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
33 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  =  ( IndMet `  U )
3420, 33cbncms 26556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
3511, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
36 cmetmet 22305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
37 metxmet 21398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e.  ( *Met `  X )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
40 xmetsym 21411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P ) )
4139, 16, 26, 40syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) D P ) )
42 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
43 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
4420, 42, 43, 33imsdval 26367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4514, 26, 16, 44syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4620, 24, 42nvpncan2 26326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )
4714, 16, 23, 46syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .sOLD `  U
) x ) )
4847fveq2d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( R
( .sOLD `  U ) x ) ) )
4941, 45, 483eqtrd 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )
5017rprege0d 11377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
5120, 21, 43nvsge0 26341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5214, 50, 19, 51syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5349, 52eqtrd 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
5418mulid1d 9686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
5554eqcomd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  =  ( R  x.  1 ) )
5653, 55breq12d 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  <->  ( R  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  <_ 
( R  x.  1 ) ) )
5720, 43nvcl 26337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5813, 57mpan 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5958adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
60 1red 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
6159, 60, 17lemul2d 11411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
6256, 61bitr4d 264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  <->  ( ( normCV `  U ) `  x )  <_  1
) )
63 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6463ralbidv 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6564rabbidv 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
66 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
67 fvex 5898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
6820, 67eqeltri 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  e. 
_V
6968rabex 4568 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  e.  _V
7065, 66, 69fvmpt 5971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  ( A `  K )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
711, 70syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
7271eleq2d 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e. 
{ z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } ) )
73 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( t `  z
)  =  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )
7473fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( N `  (
t `  z )
)  =  ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ) )
7574breq1d 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
7675ralbidv 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
7776elrab 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) )
7872, 77syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
7978ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K )  <->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
) )
8032, 62, 793imtr3d 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
) )
81 rsp 2766 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( t  e.  T  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) )
8281com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
8382ad2antlr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
84 xmet0 21406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P D P )  =  0 )
8538, 15, 84sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P D P )  =  0 )
864rpge0d 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
8785, 86eqbrtrd 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P D P )  <_  R )
88 oveq2 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  P  ->  ( P D z )  =  ( P D P ) )
8988breq1d 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D P )  <_  R
) )
9089elrab 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  <->  ( P  e.  X  /\  ( P D P )  <_  R ) )
9115, 87, 90sylanbrc 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
927, 91sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ( A `
 K ) )
9392, 71eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
94 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
t `  z )  =  ( t `  P ) )
9594fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  P  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  P )
) )
9695breq1d 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  P  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  K  <->  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9796ralbidv 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9897elrab 3208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
9993, 98sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
10099simprd 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K )
101100r19.21bi 2769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
102101adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
103 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  e.  NrmCVec
104 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
105104sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
106 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
107 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
108 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
109 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
11033, 106, 107, 108, 109, 13, 103blocn2 26498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
111107mopntopon 21503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
11238, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e.  (TopOn `  X )
113 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
114113, 106imsxmet 26373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
115108mopntopon 21503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )
116103, 114, 115mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
117 iscncl 20334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
118112, 116, 117mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
119110, 118sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
120105, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
121120simpld 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
122121adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
123122, 26ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
124 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( normCV `  W )
125113, 124nvcl 26337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR )
126103, 123, 125sylancr 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR )
127122, 16ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
128113, 124nvcl 26337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  P
) )  e.  RR )
129103, 127, 128sylancr 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  e.  RR )
1301nnred 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
131130ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  RR )
132 le2add 10124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR  /\  ( N `
 ( t `  P ) )  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
)  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
133126, 129, 131, 131, 132syl22anc 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
)  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
134102, 133mpan2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
13547fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( t `
 ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )
136103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  W  e.  NrmCVec )
137 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
138137, 109bloln 26474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
13913, 103, 138mp3an12 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
140105, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
141140adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
142 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
14320, 42, 142, 137lnosub 26449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) ) )
14414, 136, 141, 26, 16, 143syl32anc 1284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )
145 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
14620, 21, 145, 137lnomul 26450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  ( R  e.  CC  /\  x  e.  X ) )  -> 
( t `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
14714, 136, 141, 18, 19, 146syl32anc 1284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( R
( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
148135, 144, 1473eqtr3d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
149148fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( N `
 ( R ( .sOLD `  W
) ( t `  x ) ) ) )
150121ffvelrnda 6045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
151113, 145, 124nvsge0 26341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `  x
) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) ) )
152136, 50, 150, 151syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( R
( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
153149, 152eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
154113, 142, 124nvmtri 26349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) ) )  <_  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) ) )
155136, 123, 127, 154syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
156153, 155eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
15717rpred 11370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
158113, 124nvcl 26337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
159103, 150, 158sylancr 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
160157, 159remulcld 9697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  e.  RR )
161126, 129readdcld 9696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR )
1623rpred 11370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR )
163162ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  +  K )  e.  RR )
164 letr 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  e.  RR  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR  /\  ( K  +  K
)  e.  RR )  ->  ( ( ( R  x.  ( N `
 ( t `  x ) ) )  <_  ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
165160, 161, 163, 164syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
166156, 165mpand 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
167134, 166syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
168159, 163, 17lemuldiv2d 11417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K )  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
169167, 168sylibd 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
17083, 169syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
171170adantld 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
( ( K  +  K )  /  R
) ) )
17280, 171syld 45 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
173172ralrimiva 2814 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
1745rpxrd 11371 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR* )
175174adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )
176 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( U
normOpOLD W )  =  ( U normOpOLD W
)
17720, 113, 43, 124, 176, 13, 103nmoubi 26462 . . . . 5  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
178121, 175, 177syl2anc 671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
179173, 178mpbird 240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )
180179ralrimiva 2814 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) )
181 breq2 4420 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  d  <->  ( ( U normOpOLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
182181ralbidv 2839 . . 3  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
183182rspcev 3162 . 2  |-  ( ( ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOpOLD W ) `  t )  <_  d
)
1846, 180, 183syl2anc 671 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  d )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475   `'ccnv 4852   "cima 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566    + caddc 9568    x. cmul 9570   RR*cxr 9700    <_ cle 9702    / cdiv 10297   NNcn 10637   RR+crp 11331   *Metcxmt 19004   Metcme 19005   MetOpencmopn 19009  TopOnctopon 19967   Clsdccld 20080    Cn ccn 20289   CMetcms 22273   NrmCVeccnv 26252   +vcpv 26253   BaseSetcba 26254   .sOLDcns 26255   -vcnsb 26257   normCVcnmcv 26258   IndMetcims 26259    LnOp clno 26430   normOpOLDcnmoo 26431    BLnOp cblo 26432   CBanccbn 26553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-sup 7982  df-inf 7983  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-seq 12246  df-exp 12305  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-topgen 15391  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-cld 20083  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-cmet 22276  df-grpo 25968  df-gid 25969  df-ginv 25970  df-gdiv 25971  df-ablo 26059  df-vc 26214  df-nv 26260  df-va 26263  df-ba 26264  df-sm 26265  df-0v 26266  df-vs 26267  df-nmcv 26268  df-ims 26269  df-lno 26434  df-nmoo 26435  df-blo 26436  df-0o 26437  df-cbn 26554
This theorem is referenced by:  ubthlem3  26563
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