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Theorem ubthlem2 24272
Description: Lemma for ubth 24274. Given that there is a closed ball  B ( P ,  R ) in  A `  K, for any  x  e.  B
( 0 ,  1 ), we have  P  +  R  x.  x  e.  B
( P ,  R
) and  P  e.  B
( P ,  R
), so both of these have 
norm ( t ( z ) )  <_  K and so  norm ( t ( x  ) )  <_ 
( norm ( t ( P ) )  + 
norm ( t ( P  +  R  x.  x ) ) )  /  R  <_  (  K  +  K
)  /  R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
ubthlem.10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
ubthlem.11  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
ubthlem.12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ubthlem.13  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
Assertion
Ref Expression
ubthlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  d )
Distinct variable groups:    k, c, x, z, A    t, c, D, k, x, z    k, J, t, x    k, d, t, x, z, K   
c, d, N, k, t, x, z    t, P, z    ph, c, k, t, x    R, d, t, x, z    T, c, d, k, t, x, z    U, c, d, t, x, z    W, c, d, t, x    X, c, d, k, t, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, d)    A( t, d)    D( d)    P( x, k, c, d)    R( k, c)    U( k)    J( z, c, d)    K( c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 11026 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
32, 2rpaddcld 11042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR+ )
4 ubthlem.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
53, 4rpdivcld 11044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR+ )
65rpred 11027 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR )
7 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
8 rabss 3429 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K
)  <->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
109ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) ) )
11 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e. 
CBan
12 bnnv 24267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
15 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
174ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR+ )
1817rpcnd 11029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  CC )
19 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
20 ubth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
2220, 21nvscl 24006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )
2314, 18, 19, 22syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2520, 24nvgcl 23998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )
2614, 16, 23, 25syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )
27 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( P D z )  =  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )
2827breq1d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( P D z )  <_  R  <->  ( P D ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  <_  R )
)
29 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( z  e.  ( A `  K )  <-> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
3028, 29imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  <->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) ) )
3130rspccv 3070 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  ->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) ) )
3210, 26, 31sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
33 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  =  ( IndMet `  U )
3420, 33cbncms 24266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
3511, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
36 cmetmet 20797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
37 metxmet 19909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e.  ( *Met `  X )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
40 xmetsym 19922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P ) )
4139, 16, 26, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) D P ) )
42 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
4420, 42, 43, 33imsdval 24077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4514, 26, 16, 44syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4620, 24, 42nvpncan2 24036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .sOLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )
4714, 16, 23, 46syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .sOLD `  U
) x ) )
4847fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( R
( .sOLD `  U ) x ) ) )
4941, 45, 483eqtrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )
5017rprege0d 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
5120, 21, 43nvsge0 24051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5214, 50, 19, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5349, 52eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
5418mulid1d 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
5554eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  =  ( R  x.  1 ) )
5653, 55breq12d 4305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  <->  ( R  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  <_ 
( R  x.  1 ) ) )
5720, 43nvcl 24047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5813, 57mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5958adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
60 1red 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
6159, 60, 17lemul2d 11067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
6256, 61bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) )  <_  R  <->  ( ( normCV `  U ) `  x )  <_  1
) )
63 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6463ralbidv 2735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6564rabbidv 2964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
66 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
67 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
6820, 67eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  e. 
_V
6968rabex 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  e.  _V
7065, 66, 69fvmpt 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  ( A `  K )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
711, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
7271eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e. 
{ z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } ) )
73 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( t `  z
)  =  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )
7473fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( N `  (
t `  z )
)  =  ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ) )
7574breq1d 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
7675ralbidv 2735 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
7776elrab 3117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) )
7872, 77syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
7978ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K )  <->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
) )
8032, 62, 793imtr3d 267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
) )
81 rsp 2776 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( t  e.  T  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) )
8281com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
8382ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )
)
84 xmet0 19917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P D P )  =  0 )
8538, 15, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P D P )  =  0 )
864rpge0d 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
8785, 86eqbrtrd 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P D P )  <_  R )
88 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  P  ->  ( P D z )  =  ( P D P ) )
8988breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D P )  <_  R
) )
9089elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  <->  ( P  e.  X  /\  ( P D P )  <_  R ) )
9115, 87, 90sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
927, 91sseldd 3357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ( A `
 K ) )
9392, 71eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
94 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
t `  z )  =  ( t `  P ) )
9594fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  P  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  P )
) )
9695breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  P  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  K  <->  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9796ralbidv 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9897elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
9993, 98sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
10099simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K )
101100r19.21bi 2814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
103 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  e.  NrmCVec
104 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
105104sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
106 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
107 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
108 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
109 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
11033, 106, 107, 108, 109, 13, 103blocn2 24208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
111107mopntopon 20014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
11238, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e.  (TopOn `  X )
113 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
114113, 106imsxmet 24083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
115108mopntopon 20014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )
116103, 114, 115mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
117 iscncl 18873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
118112, 116, 117mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
119110, 118sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
120105, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
121120simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
123122, 26ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
124 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( normCV `  W )
125113, 124nvcl 24047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR )
126103, 123, 125sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR )
127122, 16ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
128113, 124nvcl 24047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  P
) )  e.  RR )
129103, 127, 128sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  e.  RR )
1301nnred 10337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
131130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  RR )
132 le2add 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR  /\  ( N `
 ( t `  P ) )  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
)  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
133126, 129, 131, 131, 132syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
)  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
134102, 133mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )
) )
13547fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( t `
 ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )
136103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  W  e.  NrmCVec )
137 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
138137, 109bloln 24184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
13913, 103, 138mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
140105, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
141140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
142 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
14320, 42, 142, 137lnosub 24159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) ) )
14414, 136, 141, 26, 16, 143syl32anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )
145 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
14620, 21, 145, 137lnomul 24160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  ( R  e.  CC  /\  x  e.  X ) )  -> 
( t `  ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
14714, 136, 141, 18, 19, 146syl32anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( R
( .sOLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
148135, 144, 1473eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) )  =  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )
149148fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( N `
 ( R ( .sOLD `  W
) ( t `  x ) ) ) )
150121ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
151113, 145, 124nvsge0 24051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( R ( .sOLD `  W ) ( t `  x
) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) ) )
152136, 50, 150, 151syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( R
( .sOLD `  W ) ( t `
 x ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
153149, 152eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
154113, 142, 124nvmtri 24059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) ( -v
`  W ) ( t `  P ) ) )  <_  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) ) )
155136, 123, 127, 154syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
156153, 155eqbrtrrd 4314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
15717rpred 11027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
158113, 124nvcl 24047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
159103, 150, 158sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
160157, 159remulcld 9414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  e.  RR )
161126, 129readdcld 9413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR )
1623rpred 11027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR )
163162ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  +  K )  e.  RR )
164 letr 9468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  e.  RR  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR  /\  ( K  +  K
)  e.  RR )  ->  ( ( ( R  x.  ( N `
 ( t `  x ) ) )  <_  ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
165160, 161, 163, 164syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
166156, 165mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  <_  ( K  +  K )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
167134, 166syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
168159, 163, 17lemuldiv2d 11073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K )  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
169167, 168sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .sOLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
17083, 169syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
171170adantld 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .sOLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
( ( K  +  K )  /  R
) ) )
17280, 171syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
173172ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
1745rpxrd 11028 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR* )
175174adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )
176 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( U
normOpOLD W )  =  ( U normOpOLD W
)
17720, 113, 43, 124, 176, 13, 103nmoubi 24172 . . . . 5  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
178121, 175, 177syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
179173, 178mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )
180179ralrimiva 2799 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) )
181 breq2 4296 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  d  <->  ( ( U normOpOLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
182181ralbidv 2735 . . 3  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t
)  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
183182rspcev 3073 . 2  |-  ( ( ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOpOLD W ) `  t )  <_  d
)
1846, 180, 183syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOpOLD W
) `  t )  <_  d )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   RR*cxr 9417    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   RR+crp 10991   *Metcxmt 17801   Metcme 17802   MetOpencmopn 17806  TopOnctopon 18499   Clsdccld 18620    Cn ccn 18828   CMetcms 20765   NrmCVeccnv 23962   +vcpv 23963   BaseSetcba 23964   .sOLDcns 23965   -vcnsb 23967   normCVcnmcv 23968   IndMetcims 23969    LnOp clno 24140   normOpOLDcnmoo 24141    BLnOp cblo 24142   CBanccbn 24263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmet 20768  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979  df-lno 24144  df-nmoo 24145  df-blo 24146  df-0o 24147  df-cbn 24264
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