Theorem ubthlem2 22326

Description: Lemma for ubth 22328. Given that there is a closed ball B ( P , R ) in A ` K, for any x e. B ( 0 , 1 ), we have P + R x. x e. B ( P , R ) and P e. B ( P , R ), so both of these have norm ( t ( z ) ) <_ K and so norm ( t ( x ) ) <_ ( norm ( t ( P ) ) + norm ( t ( P + R x. x ) ) ) / R <_ ( K + K ) / R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ubth.2	|- N = ( normCV ` W )
ubthlem.3	|- D = ( IndMet ` U )
ubthlem.4	|- J = ( MetOpen ` D )
ubthlem.5	|- U e. CBan
ubthlem.6	|- W e. NrmCVec
ubthlem.7	|- ( ph -> T C_ ( U BLnOp W ) )
ubthlem.8	|- ( ph -> A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c )
ubthlem.9	|- A = ( k e. NN |-> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
ubthlem.10	|- ( ph -> K e. NN )
ubthlem.11	|- ( ph -> P e. X )
ubthlem.12	|- ( ph -> R e. RR+ )
ubthlem.13	|- ( ph -> { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) )

Assertion

Ref	Expression
ubthlem2	|- ( ph -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ d )

Distinct variable groups:   k, c, x, z, A   t, c, D, k, x, z   k, J, t, x   k, d, t, x, z, K   c, d, N, k, t, x, z   t, P, z   ph, c, k, t, x   R, d, t, x, z   T, c, d, k, t, x, z   U, c, d, t, x, z   W, c, d, t, x   X, c, d, k, t, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z, d)   A( t, d)   D( d)   P( x, k, c, d)   R( k, c)   U( k)   J( z, c, d)   K( c)   W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ubthlem.10	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN )
2	1	nnrpd 10603	. . . . 5 |- ( ph -> K e. RR+ )
3	2, 2	rpaddcld 10619	. . . 4 |- ( ph -> ( K + K ) e. RR+ )
4		ubthlem.12	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
5	3, 4	rpdivcld 10621	. . 3 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR+ )
6	5	rpred 10604	. 2 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR )
7		ubthlem.13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) )
8		rabss 3380	. . . . . . . . . 10 |- ( { z e. X | ( P D z ) <_ R } C_ ( A ` K ) <-> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
9	7, 8	sylib 189	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
10	9	ad2antrr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) )
11		ubthlem.5	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CBan
12		bnnv 22321	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. CBan -> U e. NrmCVec )
13	11, 12	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> U e. NrmCVec )
15		ubthlem.11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. X )
16	15	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> P e. X )
17	4	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. RR+ )
18	17	rpcnd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. CC )
19		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> x e. X )
20		ubth.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( BaseSet ` U )
21		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( .s OLD ` U ) = ( .s OLD ` U )
22	20, 21	nvscl 22060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ R e. CC /\ x e. X ) -> ( R ( .s OLD ` U ) x ) e. X )
23	14, 18, 19, 22	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R ( .s OLD ` U ) x ) e. X )
24		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
25	20, 24	nvgcl 22052	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( R ( .s OLD ` U ) x ) e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X )
26	14, 16, 23, 25	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X )
27		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) -> ( P D z ) = ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) )
28	27	breq1d 4182	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) -> ( ( P D z ) <_ R <-> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) <_ R ) )
29		eleq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) -> ( z e. ( A ` K ) <-> ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) )
30	28, 29	imbi12d 312	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) -> ( ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) <-> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) ) )
31	30	rspccv 3009	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( ( P D z ) <_ R -> z e. ( A ` K ) ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) ) )
32	10, 26, 31	sylc 58	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) <_ R -> ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) ) )
33		ubthlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D = ( IndMet ` U )
34	20, 33	cbncms 22320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. CBan -> D e. ( CMet ` X ) )
35	11, 34	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. ( CMet ` X )
36		cmetmet 19192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
37		metxmet 18317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( * Met ` X ) )
38	35, 36, 37	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. ( * Met ` X )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> D e. ( * Met ` X ) )
40		xmetsym 18330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X /\ ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) = ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) D P ) )
41	39, 16, 26, 40	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) = ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) D P ) )
42		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
43		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
44	20, 42, 43, 33	imsdval 22131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X /\ P e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) D P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
45	14, 26, 16, 44	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) D P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
46	20, 24, 42	nvpncan2 22090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( R ( .s OLD ` U ) x ) e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) = ( R ( .s OLD ` U ) x ) )
47	14, 16, 23, 46	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) = ( R ( .s OLD ` U ) x ) )
48	47	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) )
49	41, 45, 48	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) )
50	17	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
51	20, 21, 43	nvsge0 22105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( R e. RR /\ 0 <_ R ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
52	14, 50, 19, 51	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
53	49, 52	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) = ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
54	18	mulid1d 9061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. 1 ) = R )
55	54	eqcomd 2409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R = ( R x. 1 ) )
56	53, 55	breq12d 4185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) <_ R <-> ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) <_ ( R x. 1 ) ) )
57	20, 43	nvcl 22101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
58	13, 57	mpan 652	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
59	58	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
60		1re 9046	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
61	60	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> 1 e. RR )
62	59, 61, 17	lemul2d 10644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 <-> ( R x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) <_ ( R x. 1 ) ) )
63	56, 62	bitr4d 248	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P D ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) <_ R <-> ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 ) )
64		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = K -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ k <-> ( N ` ( t ` z ) ) <_ K ) )
65	64	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = K -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K ) )
66	65	rabbidv 2908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = K -> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
67		ubthlem.9	. . . . . . . . . . . 12 |- A = ( k e. NN |-> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
68		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( BaseSet ` U ) e. _V
69	20, 68	eqeltri 2474	. . . . . . . . . . . . 13 |- X e. _V
70	69	rabex 4314	. . . . . . . . . . . 12 |- { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } e. _V
71	66, 67, 70	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> ( A ` K ) = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
72	1, 71	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ` K ) = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
73	72	eleq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } ) )
74		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) -> ( t ` z ) = ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) )
75	74	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) -> ( N ` ( t ` z ) ) = ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) )
76	75	breq1d 4182	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
77	76	ralbidv 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
78	77	elrab 3052	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
79	73, 78	syl6bb 253	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
80	79	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. ( A ` K ) <-> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
81	32, 63, 80	3imtr3d 259	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) ) )
82		rsp 2726	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( t e. T -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
83	82	com12 29	. . . . . . . . 9 |- ( t e. T -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
84	83	ad2antlr 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) )
85		xmet0 18325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P D P ) = 0 )
86	38, 15, 85	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( P D P ) = 0 )
87	4	rpge0d 10608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ R )
88	86, 87	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P D P ) <_ R )
89		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = P -> ( P D z ) = ( P D P ) )
90	89	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = P -> ( ( P D z ) <_ R <-> ( P D P ) <_ R ) )
91	90	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. { z e. X | ( P D z ) <_ R } <-> ( P e. X /\ ( P D P ) <_ R ) )
92	15, 88, 91	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. { z e. X | ( P D z ) <_ R } )
93	7, 92	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ( A ` K ) )
94	93, 72	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } )
95		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = P -> ( t ` z ) = ( t ` P ) )
96	95	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = P -> ( N ` ( t ` z ) ) = ( N ` ( t ` P ) ) )
97	96	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = P -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
98	97	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = P -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K <-> A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
99	98	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ K } <-> ( P e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
100	94, 99	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) )
101	100	simprd 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. t e. T ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
102	101	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
103	102	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` P ) ) <_ K )
104		ubthlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- W e. NrmCVec
105		ubthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T C_ ( U BLnOp W ) )
106	105	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. ( U BLnOp W ) )
107		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( IndMet ` W ) = ( IndMet ` W )
108		ubthlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J = ( MetOpen ` D )
109		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) = ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) )
110		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
111	33, 107, 108, 109, 110, 13, 104	blocn2 22262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) )
112	108	mopntopon 18422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. ( * Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
113	38, 112	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- J e. (TopOn ` X )
114		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
115	114, 107	imsxmet 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W e. NrmCVec -> ( IndMet ` W ) e. ( * Met ` ( BaseSet ` W ) ) )
116	109	mopntopon 18422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( IndMet ` W ) e. ( * Met ` ( BaseSet ` W ) ) -> ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) ) )
117	104, 115, 116	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) )
118		iscncl 17287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) e. (TopOn ` ( BaseSet ` W ) ) ) -> ( t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) <-> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) ) )
119	113, 117, 118	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( J Cn ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) <-> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
120	111, 119	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
121	106, 120	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ A. x e. ( Clsd ` ( MetOpen ` ( IndMet ` W ) ) ) ( `' t " x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
122	121	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
123	122	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
124	123, 26	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) )
125		ubth.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = ( normCV ` W )
126	114, 125	nvcl 22101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR )
127	104, 124, 126	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR )
128	123, 16	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) )
129	114, 125	nvcl 22101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` P ) ) e. RR )
130	104, 128, 129	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` P ) ) e. RR )
131	1	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR )
132	131	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> K e. RR )
133		le2add 9466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) e. RR /\ ( N ` ( t ` P ) ) e. RR ) /\ ( K e. RR /\ K e. RR ) ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K /\ ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
134	127, 130, 132, 132, 133	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K /\ ( N ` ( t ` P ) ) <_ K ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
135	103, 134	mpan2d 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
136	47	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( t ` ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) )
137	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> W e. NrmCVec )
138		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( U LnOp W ) = ( U LnOp W )
139	138, 110	bloln 22238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U BLnOp W ) ) -> t e. ( U LnOp W ) )
140	13, 104, 139	mp3an12 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> t e. ( U LnOp W ) )
141	106, 140	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. ( U LnOp W ) )
142	141	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> t e. ( U LnOp W ) )
143		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -v ` W ) = ( -v ` W )
144	20, 42, 143, 138	lnosub 22213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U LnOp W ) ) /\ ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X /\ P e. X ) ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) )
145	14, 137, 142, 26, 16, 144	syl32anc 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) )
146		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .s OLD ` W ) = ( .s OLD ` W )
147	20, 21, 146, 138	lnomul 22214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U LnOp W ) ) /\ ( R e. CC /\ x e. X ) ) -> ( t ` ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) = ( R ( .s OLD ` W ) ( t ` x ) ) )
148	14, 137, 142, 18, 19, 147	syl32anc 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) = ( R ( .s OLD ` W ) ( t ` x ) ) )
149	136, 145, 148	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) = ( R ( .s OLD ` W ) ( t ` x ) ) )
150	149	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) = ( N ` ( R ( .s OLD ` W ) ( t ` x ) ) ) )
151	122	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) )
152	114, 146, 125	nvsge0 22105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( R e. RR /\ 0 <_ R ) /\ ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( R ( .s OLD ` W ) ( t ` x ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
153	137, 50, 151, 152	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( R ( .s OLD ` W ) ( t ` x ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
154	150, 153	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) = ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) )
155	114, 143, 125	nvmtri 22113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( t ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
156	137, 124, 128, 155	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ( -v ` W ) ( t ` P ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
157	154, 156	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) )
158	17	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> R e. RR )
159	114, 125	nvcl 22101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
160	104, 151, 159	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
161	158, 160	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) e. RR )
162	127, 130	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) e. RR )
163	3	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K + K ) e. RR )
164	163	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( K + K ) e. RR )
165		letr 9123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) e. RR /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) e. RR /\ ( K + K ) e. RR ) -> ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
166	161, 162, 164, 165	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) /\ ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
167	157, 166	mpand 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) + ( N ` ( t ` P ) ) ) <_ ( K + K ) -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
168	135, 167	syld 42	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) ) )
169	160, 164, 17	lemuldiv2d 10650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( R x. ( N ` ( t ` x ) ) ) <_ ( K + K ) <-> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
170	168, 169	sylibd 206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
171	84, 170	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
172	171	adantld 454	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) e. X /\ A. t e. T ( N ` ( t ` ( P ( +v ` U ) ( R ( .s OLD ` U ) x ) ) ) ) <_ K ) -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
173	81, 172	syld 42	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ x e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
174	173	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
175	5	rpxrd 10605	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K + K ) / R ) e. RR* )
176	175	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( K + K ) / R ) e. RR* )
177		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( U normOp OLD W ) = ( U normOp OLD W )
178	20, 114, 43, 125, 177, 13, 104	nmoubi 22226	. . . . 5 |- ( ( t : X --> ( BaseSet ` W ) /\ ( ( K + K ) / R ) e. RR* ) -> ( ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) ) )
179	122, 176, 178	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` x ) <_ 1 -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) ) )
180	174, 179	mpbird 224	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) )
181	180	ralrimiva 2749	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) )
182		breq2 4176	. . . 4 |- ( d = ( ( K + K ) / R ) -> ( ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ d <-> ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
183	182	ralbidv 2686	. . 3 |- ( d = ( ( K + K ) / R ) -> ( A. t e. T ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ d <-> A. t e. T ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) )
184	183	rspcev 3012	. 2 |- ( ( ( ( K + K ) / R ) e. RR /\ A. t e. T ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ ( ( K + K ) / R ) ) -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ d )
185	6, 181, 184	syl2anc 643	1 |- ( ph -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOp OLD W ) ` t ) <_ d )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   <_ cle 9077   / cdiv 9633   NNcn 9956   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   MetOpencmopn 16646  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035   Cn ccn 17242   CMetcms 19160   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s OLDcns 22019   -vcnsb 22021   norm_CVcnmcv 22022   IndMetcims 22023   LnOp clno 22194   normOp OLDcnmoo 22195   BLnOp cblo 22196   CBanccbn 22317

This theorem is referenced by:  ubthlem3  22327

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-lno 22198  df-nmoo 22199  df-blo 22200  df-0o 22201  df-cbn 22318