Theorem ubthlem1 9872

Description: Lemma for ubthi 9889. Membership in A` k, the set of all vectors (T` n)` z whose norm is less than k.

Hypotheses

Ref	Expression
ubthlem1.1	|- X = (BaseSet` U)
ubthlem1.11	|- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}

Assertion

Ref	Expression
ubthlem1	|- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)))

Distinct variable groups:   h,j,n,y,z,N   P,h,n,z   T,h,j,n,y,z   j,X,y,z   h,k,j,n,y,z

Proof of Theorem ubthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (j = k -> ((N` ((T` h)` z)) <_ j <-> (N` ((T` h)` z)) <_ k))
2	1	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (j = k -> (A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j <-> A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k))
3	2	rabbidv 2287	. . . . 5 |- (j = k -> {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j} = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k})
4		ubthlem1.11	. . . . 5 |- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}
5		ubthlem1.1	. . . . . . 7 |- X = (BaseSet` U)
6		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (BaseSet` U) e. _V
7	5, 6	eqeltri 1967	. . . . . 6 |- X e. _V
8	7	rabex 3461	. . . . 5 |- {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k} e. _V
9	3, 4, 8	fvopab4 4743	. . . 4 |- (k e. NN -> (A` k) = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k})
10	9	eleq2d 1964	. . 3 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> P e. {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k}))
11		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (z = P -> ((T` h)` z) = ((T` h)` P))
12	11	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (z = P -> (N` ((T` h)` z)) = (N` ((T` h)` P)))
13	12	breq1d 3348	. . . . 5 |- (z = P -> ((N` ((T` h)` z)) <_ k <-> (N` ((T` h)` P)) <_ k))
14	13	ralbidv 2123	. . . 4 |- (z = P -> (A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k <-> A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k))
15	14	elrab 2414	. . 3 |- (P e. {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k} <-> (P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k))
16	10, 15	syl6bb 595	. 2 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k)))
17		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (h = n -> (T` h) = (T` n))
18	17	fveq1d 4683	. . . . . 6 |- (h = n -> ((T` h)` P) = ((T` n)` P))
19	18	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (h = n -> (N` ((T` h)` P)) = (N` ((T` n)` P)))
20	19	breq1d 3348	. . . 4 |- (h = n -> ((N` ((T` h)` P)) <_ k <-> (N` ((T` n)` P)) <_ k))
21	20	cbvralv 2280	. . 3 |- (A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k <-> A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)
22	21	anbi2i 538	. 2 |- ((P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k))
23	16, 22	syl6bb 595	1 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998   <_ cle 6448  NNcn 6449  BaseSetcba 9537

This theorem is referenced by:  ubthlem2 9873  ubthlem3 9874  ubthlem4 9875  ubthlem5 9876  ubthlem10 9881  ubthlem11 9882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain