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Theorem ubthlem1 22325
Description: Lemma for ubth 22328. The function  A exhibits a countable collection of sets that are closed, being the inverse image under  t of the closed ball of radius  k, and by assumption they cover  X. Thus, by the Baire Category theorem bcth2 19236, for some  n the set  A `  n has an interior, meaning that there is a closed ball  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r } in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
Assertion
Ref Expression
ubthlem1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
Distinct variable groups:    k, c, n, r, x, y, z, A    t, c, D, k, n, r, x, z    k, J, n   
y, t, J, x    N, c, k, n, r, t, x, y, z    ph, c, k, n, r, t, x, y    T, c, k, n, r, t, x, y, z    U, c, n, r, t, x, y, z    W, c, n, r, t, x, y    X, c, k, n, r, t, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( t)    D( y)    U( k)    J( z, r, c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem1
StepHypRef Expression
1 rzal 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  (/)  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
)
21ralrimivw 2750 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  (/)  ->  A. z  e.  X  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
)
3 rabid2 2845 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k } 
<-> 
A. z  e.  X  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k )
42, 3sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( T  =  (/)  ->  X  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
54eqcomd 2409 . . . . . 6  |-  ( T  =  (/)  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  X )
65eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( T  =  (/)  ->  ( { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  ( Clsd `  J )  <->  X  e.  ( Clsd `  J
) ) )
7 iinrab 4113 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  (/)  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `
 ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
9 id 20 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  (/)  ->  T  =/=  (/) )
10 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
1110sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
12 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  =  ( IndMet `  U )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
14 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
16 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
17 ubthlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U  e. 
CBan
18 bnnv 22321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U  e.  NrmCVec
20 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  W  e.  NrmCVec
2112, 13, 14, 15, 16, 19, 20blocn2 22262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
22 ubth.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2322, 12cbncms 22320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
2417, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
25 cmetmet 19192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
26 metxmet 18317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  D  e.  ( * Met `  X
)
2814mopntopon 18422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  e.  (TopOn `  X )
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
3130, 13imsxmet 22137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
3220, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )
3315mopntopon 18422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet
`  W ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
35 iscncl 17287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
3629, 34, 35mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3721, 36sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
3811, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
3938simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
4039adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
4140ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
4241biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  x )
)  <_  k  <->  ( (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )
) )
43 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( t `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( t `  x
) ) )
4443breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( t `  x )  ->  (
( N `  y
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
4544elrab 3052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  x )  e.  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } 
<->  ( ( t `  x )  e.  (
BaseSet `  W )  /\  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
4642, 45syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  x )
)  <_  k  <->  ( t `  x )  e.  {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) )
4746pm5.32da 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )  <->  ( x  e.  X  /\  ( t `  x
)  e.  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } ) ) )
48 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
t `  z )  =  ( t `  x ) )
4948fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  x )
) )
5049breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
5150elrab 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 ( t `  z ) )  <_ 
k }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
k ) )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
k ) ) )
53 ffn 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : X --> ( BaseSet `  W )  ->  t  Fn  X )
54 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' t " { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } )  <->  ( x  e.  X  /\  (
t `  x )  e.  { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) ) )
5540, 53, 543syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  ( `' t " { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } )  <->  ( x  e.  X  /\  (
t `  x )  e.  { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) ) )
5647, 52, 553bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  <->  x  e.  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) ) )
5756eqrdv 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  =  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) )
58 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
5958ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR )
6059rexrd 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR* )
61 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
6230, 61nvzcl 22068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
6320, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
64 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  W )
6530, 61, 64, 13nvnd 22133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  y )  =  ( y ( IndMet `  W
) ( 0vec `  W
) ) )
6620, 65mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  y )  =  ( y ( IndMet `  W
) ( 0vec `  W
) ) )
67 xmetsym 18330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( 0vec `  W ) (
IndMet `  W ) y )  =  ( y ( IndMet `  W )
( 0vec `  W )
) )
6832, 63, 67mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( ( 0vec `  W ) (
IndMet `  W ) y )  =  ( y ( IndMet `  W )
( 0vec `  W )
) )
6966, 68eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( 0vec `  W
) ( IndMet `  W
) y ) )
7069breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( ( N `  y )  <_  k  <->  ( ( 0vec `  W ) ( IndMet `  W ) y )  <_  k ) )
7170rabbiia 2906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  =  {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( ( 0vec `  W
) ( IndMet `  W
) y )  <_ 
k }
7215, 71blcld 18488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  k  e.  RR* )  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7332, 63, 72mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  RR*  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7460, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7538simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
7675adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
77 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  ->  ( `' t
" x )  =  ( `' t " { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) )
7877eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  ->  ( ( `' t " x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( `' t
" { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } )  e.  (
Clsd `  J )
) )
7978rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( `' t " { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
8074, 76, 79sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } )  e.  ( Clsd `  J
) )
8157, 80eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  ( Clsd `  J )
)
8281ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
83 iincld 17058 . . . . . . 7  |-  ( ( T  =/=  (/)  /\  A. t  e.  T  {
z  e.  X  | 
( N `  (
t `  z )
)  <_  k }  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
849, 82, 83syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
858, 84eqeltrrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
8614mopntop 18423 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
8727, 86ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  J  e. 
Top
8829toponunii 16952 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
8988topcld 17054 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
9087, 89ax-mp 8 . . . . . 6  |-  X  e.  ( Clsd `  J
)
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
926, 85, 91pm2.61ne 2642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
93 ubthlem.9 . . . 4  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
9492, 93fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN --> ( Clsd `  J ) )
95 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  ->  ran  A 
C_  ( Clsd `  J
) )
9694, 95syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  ( Clsd `  J ) )
9788cldss2 17049 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  J )  C_  ~P X
9896, 97syl6ss 3320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  ~P X )
99 sspwuni 4136 . . . . 5  |-  ( ran 
A  C_  ~P X  <->  U.
ran  A  C_  X )
10098, 99sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  A  C_  X )
101 ubthlem.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
102 arch 10174 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  c  <  k
)
103102adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  c  <  k
)
104 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  c  e.  RR )
105 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( c  <  k  ->  c  <_  k )
)
106104, 58, 105syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  c  <_  k ) )
107106impr 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  -> 
c  <_  k )
108107adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  c  <_  k )
10939ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
110109an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  t  e.  T )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
11130, 64nvcl 22101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
11220, 110, 111sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
113112adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  t  e.  T
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
114113adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  (
t `  x )
)  e.  RR )
115 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  c  e.  RR )
116 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  NN )
117116, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR )
118 letr 9123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N `  (
t `  x )
)  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  /\  c  <_  k )  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( ( N `
 ( t `  x ) )  <_ 
c  /\  c  <_  k )  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
120108, 119mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )
)
121120ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
122121expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
123 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
12422, 123eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  e. 
_V
125124rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  _V
12693fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  _V )  ->  ( A `
 k )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
127125, 126mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
128127eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  x  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } ) )
12950ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
130129elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k } 
<->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
131128, 130syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
132 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
133132biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k  <->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
134133bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k )  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
135131, 134sylan9bbr 682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
136 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  ->  A  Fn  NN )
13794, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN )
138137adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  Fn  NN )
139 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  e.  ran  A
)
140 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A `  k )  e.  ran  A  -> 
( A `  k
)  C_  U. ran  A
)
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  C_  U. ran  A
)
142141sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( A `  k )  ->  x  e.  U. ran  A ) )
143138, 142sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  ->  x  e.  U. ran  A
) )
144135, 143sylbird 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k  ->  x  e.  U. ran  A ) )
145144adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k  ->  x  e.  U. ran  A ) )
146122, 145syl6d 66 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  ->  x  e.  U.
ran  A ) ) )
147146rexlimdva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  ( E. k  e.  NN  c  <  k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) ) )
148103, 147mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) )
149148rexlimdva 2790 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) )
150149ralimdva 2744 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  A. x  e.  X  x  e.  U. ran  A
) )
151101, 150mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  x  e.  U. ran  A
)
152 dfss3 3298 . . . . 5  |-  ( X 
C_  U. ran  A  <->  A. x  e.  X  x  e.  U.
ran  A )
153151, 152sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ran  A
)
154100, 153eqssd 3325 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  X )
155 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
15622, 155nvzcl 22068 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
157 ne0i 3594 . . . . 5  |-  ( (
0vec `  U )  e.  X  ->  X  =/=  (/) )
15819, 156, 157mp2b 10 . . . 4  |-  X  =/=  (/)
15914bcth2 19236 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  A  =  X ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  =/=  (/) )
16024, 158, 159mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  A  =  X )  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) )
16194, 154, 160syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) )
162 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  ( Clsd `  J
) )
16397, 162sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  ~P X )
164163elpwid 3768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  C_  X )
16594, 164sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  X )
16688ntrss3 17079 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  C_  X )
16787, 165, 166sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  X )
168167sseld 3307 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  X ) )
16988ntropn 17068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J )
17087, 165, 169sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  e.  J )
17114mopni2 18476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  e.  J  /\  y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
x )  C_  (
( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )
17227, 171mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
) )
173170, 172sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
) )
174 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  ->  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) )  C_  U. J )
175174, 88syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  ->  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) )  C_  X )
176170, 175syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  X )
177176sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  y  e.  X
)
17888ntrss2 17076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  C_  ( A `  n ) )
17987, 165, 178sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  ( A `  n ) )
180 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  C_  ( A `  n )  ->  (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( A `  n ) ) )
181179, 180syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n ) ) )
182181ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n ) ) )
183 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
184183, 27jctil 524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X )
)
185 rphalfcl 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
186185rpxrd 10605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e. 
RR* )
187 rpxr 10575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
188 rphalflt 10594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  < 
x )
189186, 187, 1883jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  /  2 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( x  /  2 )  < 
x ) )
190 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  =  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) }
19114, 190blsscls2 18487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( x  /  2
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( x  /  2 )  < 
x ) )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) }  C_  ( y
( ball `  D )
x ) )
192184, 189, 191syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  { z  e.  X  |  (
y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( y ( ball `  D ) x ) )
193 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( y (
ball `  D )
x )  ->  (
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( A `  n ) ) )
194192, 193syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( A `  n )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
( x  /  2
) }  C_  ( A `  n )
) )
195185adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
196 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( y D z )  <_  r  <->  ( y D z )  <_ 
( x  /  2
) ) )
197196rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  =  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) } )
198197sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  ( { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n )  <->  { z  e.  X  |  (
y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( A `  n ) ) )
199198rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR+  /\  {
z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
200199ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
201195, 200syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( {
z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
202182, 194, 2013syld 53 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
203202rexlimdva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
204177, 203syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
x )  C_  (
( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
205173, 204mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n
) )
206205ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
207168, 206jcad 520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) ) )
208207eximdv 1629 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. y ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) ) )
209 n0 3597 . . . 4  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) 
<->  E. y  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )
210 df-rex 2672 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n )  <->  E. y ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
211208, 209, 2103imtr4g 262 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
212211reximdva 2778 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  =/=  (/)  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
213161, 212mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   |^|_ciin 4054   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   ballcbl 16643   MetOpencmopn 16646   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035   intcnt 17036    Cn ccn 17242   CMetcms 19160   NrmCVeccnv 22016   BaseSetcba 22018   0veccn0v 22020   normCVcnmcv 22022   IndMetcims 22023    BLnOp cblo 22196   CBanccbn 22317
This theorem is referenced by:  ubthlem3  22327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-dc 8282  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-lno 22198  df-nmoo 22199  df-blo 22200  df-0o 22201  df-cbn 22318
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