Theorem ubthi 9889

Description: Uniform Boundedness Theorem. Let T be a sequence of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector x, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle.

Hypotheses

Ref	Expression
ubthi.1	|- X = (BaseSet` U)
ubthi.3	|- M = (norm` W)
ubthi.4	|- N = (UnormOpW)
ubthi.5	|- B = (U BLnOp W)
ubthi.7	|- U e. CBan
ubthi.8	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
ubthi	|- ((T:NN-->B /\ A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c) -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d)

Distinct variable groups:   c,d,n,x,B   M,c,n,x   N,d   T,c,d,n,x   U,c,d,n,x   W,c,d,n,x   X,c,n,x

Proof of Theorem ubthi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 4680	. . . . . . . . 9 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (T` n) = (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n))
2	1	fveq1d 4683	. . . . . . . 8 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> ((T` n)` x) = ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x))
3	2	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (M` ((T` n)` x)) = (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)))
4	3	breq1d 3348	. . . . . 6 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> ((M` ((T` n)` x)) <_ c <-> (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c))
5	4	rexralbidv 2142	. . . . 5 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c <-> E.c e. RR A.n e. NN (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c))
6	5	ralbidv 2123	. . . 4 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c <-> A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c))
7	1	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (N` (T` n)) = (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)))
8	7	breq1d 3348	. . . . 5 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> ((N` (T` n)) <_ d <-> (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)) <_ d))
9	8	rexralbidv 2142	. . . 4 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d <-> E.d e. RR A.n e. NN (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)) <_ d))
10	6, 9	imbi12d 688	. . 3 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> ((A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d) <-> (A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)) <_ d)))
11		ubthi.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
12		ubthi.3	. . . 4 |- M = (norm` W)
13		ubthi.4	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
14		ubthi.5	. . . 4 |- B = (U BLnOp W)
15		ubthi.7	. . . 4 |- U e. CBan
16		ubthi.8	. . . 4 |- W e. NrmCVec
17		oprex 4907	. . . . . . 7 |- (U 0op W) e. _V
18	17	fconst 4602	. . . . . 6 |- (NN X. {(U 0op W)}):NN-->{(U 0op W)}
19		bnnv 9868	. . . . . . . . 9 |- (U e. CBan -> U e. NrmCVec)
20	15, 19	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- U e. NrmCVec
21		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (U 0op W) = (U 0op W)
22	21, 14	0blo 9792	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (U 0op W) e. B)
23	20, 16, 22	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (U 0op W) e. B
24		snssi 3129	. . . . . . 7 |- ((U 0op W) e. B -> {(U 0op W)} C_ B)
25	23, 24	ax-mp 7	. . . . . 6 |- {(U 0op W)} C_ B
26		fss 4571	. . . . . 6 |- (((NN X. {(U 0op W)}):NN-->{(U 0op W)} /\ {(U 0op W)} C_ B) -> (NN X. {(U 0op W)}):NN-->B)
27	18, 25, 26	mp2an 761	. . . . 5 |- (NN X. {(U 0op W)}):NN-->B
28	27	elimf 4561	. . . 4 |- if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})):NN-->B
29	11, 12, 13, 14, 15, 16, 28	ubthii 9888	. . 3 |- (A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)) <_ d)
30	10, 29	dedth 3011	. 2 |- (T:NN-->B -> (A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d))
31	30	imp 377	1 |- ((T:NN-->B /\ A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c) -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  ifcif 2982  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448  NNcn 6449  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  normcnm 9541  normOpcnmo 9741   BLnOp cblo 9742   0op c0o 9743  CBancbn 9864

This theorem is referenced by:  htthlem11 9977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-lp 9017  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-lno 9744  df-nmo 9745  df-blo 9746  df-0o 9747  df-bn 9865

Copyright terms: Public domain