Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Structured version   Unicode version

Theorem ubth 25916
 Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector , the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1
ubth.2 CV
ubth.3
Assertion
Ref Expression
ubth
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . 5
21sseq2d 3527 . . . 4
3 ubth.1 . . . . . . 7
4 fveq2 5872 . . . . . . 7
53, 4syl5eq 2510 . . . . . 6
65raleqdv 3060 . . . . 5
7 ubth.3 . . . . . . . . 9
8 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
97, 8syl5eq 2510 . . . . . . . 8
109fveq1d 5874 . . . . . . 7
1110breq1d 4466 . . . . . 6
1211rexralbidv 2976 . . . . 5
136, 12bibi12d 321 . . . 4
142, 13imbi12d 320 . . 3
15 oveq2 6304 . . . . 5
1615sseq2d 3527 . . . 4
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10 CV
18 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10 CV CV
1917, 18syl5eq 2510 . . . . . . . . 9 CV
2019fveq1d 5874 . . . . . . . 8 CV
2120breq1d 4466 . . . . . . 7 CV
2221rexralbidv 2976 . . . . . 6 CV
2322ralbidv 2896 . . . . 5 CV
24 oveq2 6304 . . . . . . . 8
2524fveq1d 5874 . . . . . . 7
2625breq1d 4466 . . . . . 6
2726rexralbidv 2976 . . . . 5
2823, 27bibi12d 321 . . . 4 CV
2916, 28imbi12d 320 . . 3 CV
30 eqid 2457 . . . 4
31 eqid 2457 . . . 4 CV CV
32 eqid 2457 . . . 4
33 eqid 2457 . . . 4
34 eqid 2457 . . . . . 6
3534cnbn 25912 . . . . 5
3635elimel 4007 . . . 4
37 elimnvu 25717 . . . 4
38 id 22 . . . 4
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 25915 . . 3 CV
4014, 29, 39dedth2h 3997 . 2
41403impia 1193 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808   wss 3471  cif 3944  cop 4038   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508   caddc 9512   cmul 9514   cle 9646  cabs 13079  cmopn 18535  cnv 25604  cba 25606  CVcnmcv 25610  cims 25611  cnmoo 25783   cblo 25784  ccbn 25905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-dc 8843  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-lm 19857  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-fcls 20568  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-cfil 21820  df-cau 21821  df-cmet 21822  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621  df-lno 25786  df-nmoo 25787  df-blo 25788  df-0o 25789  df-cbn 25906 This theorem is referenced by:  htthlem  25961
 Copyright terms: Public domain W3C validator