MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Unicode version

Theorem ubth 21282
Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let  T be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 
x, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubth.3  |-  M  =  ( U normOp OLD W
)
Assertion
Ref Expression
ubth  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )
Distinct variable groups:    x, c,
t, d, N    T, c, d, t, x    U, c, d, t, x    W, c, d, t, x    X, c, d, t, x
Allowed substitution hints:    M( x, t, c, d)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 5717 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  W )  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W ) )
21sseq2d 3127 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  <->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  W ) ) )
3 ubth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 fveq2 5377 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
53, 4syl5eq 2297 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
65raleqdv 2694 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
7 ubth.3 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( U normOp OLD W
)
8 oveq1 5717 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U normOp OLD W
)  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) )
97, 8syl5eq 2297 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  M  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) )
109fveq1d 5379 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( M `  t
)  =  ( ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t ) )
1110breq1d 3930 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( M `  t )  <_  d  <->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )
1211rexralbidv 2549 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )
136, 12bibi12d 314 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d )  <->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) ) )
142, 13imbi12d 313 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )  <->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) ) ) )
15 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  =  ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
1615sseq2d 3127 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  W )  <->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  W )
18 fveq2 5377 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( normCV `  W )  =  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1917, 18syl5eq 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  N  =  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
2019fveq1d 5379 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( N `  (
t `  x )
)  =  ( (
normCV
`  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) ) )
2120breq1d 3930 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
2221rexralbidv 2549 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  (
( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
2322ralbidv 2527 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c )
)
24 oveq2 5718 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W )  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2524fveq1d 5379 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  =  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )
)
2625breq1d 3930 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) `  t )  <_  d  <->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
2726rexralbidv 2549 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) `  t )  <_  d  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
2823, 27bibi12d 314 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
)  <->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) ) )
2916, 28imbi12d 313 . . 3  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  C_  ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )  <->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) ) ) )
30 eqid 2253 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
31 eqid 2253 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
normCV
`  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
32 eqid 2253 . . . 4  |-  ( IndMet `  if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( IndMet `  if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
33 eqid 2253 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )  =  (
MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
34 eqid 2253 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3534cnbn 21278 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CBan
3635elimel 3522 . . . 4  |-  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CBan
37 elimnvu 21083 . . . 4  |-  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
38 id 21 . . . 4  |-  ( T 
C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 21281 . . 3  |-  ( T 
C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
4014, 29, 39dedth2h 3512 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) ) )
41403impia 1153 1  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078   ifcif 3470   <.cop 3547   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616    + caddc 8620    x. cmul 8622    <_ cle 8748   abscabs 11596   MetOpencmopn 16204   NrmCVeccnv 20970   BaseSetcba 20972   normCVcnmcv 20976   IndMetcims 20977   normOp OLDcnmoo 21149    BLnOp cblo 21150   CBanccbn 21271
This theorem is referenced by:  htthlem  21327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-dc 7956  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-lm 16791  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-fcls 17468  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-lno 21152  df-nmoo 21153  df-blo 21154  df-0o 21155  df-cbn 21272
  Copyright terms: Public domain W3C validator