MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubth Structured version   Unicode version

Theorem ubth 24274
Description: Uniform Boundedness Theorem, also called the Banach-Steinhaus Theorem. Let  T be a collection of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector 
x, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubth.3  |-  M  =  ( U normOpOLD W
)
Assertion
Ref Expression
ubth  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )
Distinct variable groups:    x, c,
t, d, N    T, c, d, t, x    U, c, d, t, x    W, c, d, t, x    X, c, d, t, x
Allowed substitution hints:    M( x, t, c, d)

Proof of Theorem ubth
StepHypRef Expression
1 oveq1 6098 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  BLnOp  W )  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W ) )
21sseq2d 3384 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  <->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  W ) ) )
3 ubth.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
53, 4syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
65raleqdv 2923 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
7 ubth.3 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( U normOpOLD W
)
8 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U normOpOLD W
)  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD W ) )
97, 8syl5eq 2487 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  M  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD W ) )
109fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( M `  t
)  =  ( ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  t ) )
1110breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( M `  t )  <_  d  <->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  t )  <_  d
) )
1211rexralbidv 2759 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  t )  <_  d
) )
136, 12bibi12d 321 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d )  <->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  t )  <_  d
) ) )
142, 13imbi12d 320 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )  <->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  t )  <_  d
) ) ) )
15 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  =  ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
1615sseq2d 3384 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  W )  <->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
17 ubth.2 . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( normCV `  W )
18 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( normCV `  W )  =  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1917, 18syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  N  =  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
2019fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( N `  (
t `  x )
)  =  ( (
normCV
`  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) ) )
2120breq1d 4302 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
2221rexralbidv 2759 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  (
( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
2322ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c )
)
24 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W )  =  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2524fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  t )  =  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )
)
2625breq1d 4302 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD W ) `  t )  <_  d  <->  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
2726rexralbidv 2759 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD W ) `  t )  <_  d  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
2823, 27bibi12d 321 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  t )  <_  d
)  <->  ( A. x  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) ) )
2916, 28imbi12d 320 . . 3  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  C_  ( if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOpOLD W ) `  t )  <_  d
) )  <->  ( T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) ) ) )
30 eqid 2443 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
31 eqid 2443 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
normCV
`  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
32 eqid 2443 . . . 4  |-  ( IndMet `  if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( IndMet `  if ( U  e. 
CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
33 eqid 2443 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )  =  (
MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
34 eqid 2443 . . . . . 6  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
3534cnbn 24270 . . . . 5  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e. 
CBan
3635elimel 3852 . . . 4  |-  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CBan
37 elimnvu 24075 . . . 4  |-  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
38 id 22 . . . 4  |-  ( T 
C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  T  C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
3930, 31, 32, 33, 36, 37, 38ubthlem3 24273 . . 3  |-  ( T 
C_  ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  BLnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  ( A. x  e.  ( BaseSet
`  if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( normCV `  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) `  (
t `  x )
)  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( if ( U  e.  CBan ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOpOLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  t )  <_  d ) )
4014, 29, 39dedth2h 3842 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  C_  ( U  BLnOp  W )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) ) )
41403impia 1184 1  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( M `  t )  <_  d ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716    C_ wss 3328   ifcif 3791   <.cop 3883   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281    + caddc 9285    x. cmul 9287    <_ cle 9419   abscabs 12723   MetOpencmopn 17806   NrmCVeccnv 23962   BaseSetcba 23964   normCVcnmcv 23968   IndMetcims 23969   normOpOLDcnmoo 24141    BLnOp cblo 24142   CBanccbn 24263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-dc 8615  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-lm 18833  df-haus 18919  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-fcls 19514  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-cfil 20766  df-cau 20767  df-cmet 20768  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681  df-ablo 23769  df-vc 23924  df-nv 23970  df-va 23973  df-ba 23974  df-sm 23975  df-0v 23976  df-vs 23977  df-nmcv 23978  df-ims 23979  df-lno 24144  df-nmoo 24145  df-blo 24146  df-0o 24147  df-cbn 24264
This theorem is referenced by:  htthlem  24319
  Copyright terms: Public domain W3C validator