Theorem ubos 14599

Description: The upper bounds of A.

Hypothesis

Ref	Expression
ubos.1	|- X = U.U.R

Assertion

Ref	Expression
ubos	|- ((R e. S /\ A e. B) -> (R ub A) = {a e. X | A.b e. A bRa})

Distinct variable groups:   A,a,b   R,a,b   X,a

Proof of Theorem ubos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. . 3 |- (R e. S -> R e. _V)
2		elisset 2299	. . 3 |- (A e. B -> A e. _V)
3	1, 2	anim12i 360	. 2 |- ((R e. S /\ A e. B) -> (R e. _V /\ A e. _V))
4		uniexg 3795	. . . . . 6 |- (R e. S -> U.R e. _V)
5		uniexg 3795	. . . . . 6 |- (U.R e. _V -> U.U.R e. _V)
6	4, 5	syl 12	. . . . 5 |- (R e. S -> U.U.R e. _V)
7		ubos.1	. . . . 5 |- X = U.U.R
8	6, 7	syl5eqel 1975	. . . 4 |- (R e. S -> X e. _V)
9	8	adantr 425	. . 3 |- ((R e. S /\ A e. B) -> X e. _V)
10		rabexg 3460	. . 3 |- (X e. _V -> {a e. X | A.b e. A bRa} e. _V)
11	9, 10	syl 12	. 2 |- ((R e. S /\ A e. B) -> {a e. X | A.b e. A bRa} e. _V)
12		unieq 3185	. . . . . . 7 |- (r = R -> U.r = U.R)
13	12	unieqd 3188	. . . . . 6 |- (r = R -> U.U.r = U.U.R)
14		rabeq 2289	. . . . . 6 |- (U.U.r = U.U.R -> {a e. U.U.r | A.b e. x bra} = {a e. U.U.R | A.b e. x bra})
15	13, 14	syl 12	. . . . 5 |- (r = R -> {a e. U.U.r | A.b e. x bra} = {a e. U.U.R | A.b e. x bra})
16		breq 3340	. . . . . . 7 |- (r = R -> (bra <-> bRa))
17	16	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (r = R -> (A.b e. x bra <-> A.b e. x bRa))
18	17	rabbidv 2287	. . . . 5 |- (r = R -> {a e. U.U.R | A.b e. x bra} = {a e. U.U.R | A.b e. x bRa})
19		rabeq 2289	. . . . . . . 8 |- (U.U.R = X -> {a e. U.U.R | A.b e. x bRa} = {a e. X | A.b e. x bRa})
20	19	eqcoms 1887	. . . . . . 7 |- (X = U.U.R -> {a e. U.U.R | A.b e. x bRa} = {a e. X | A.b e. x bRa})
21	7, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- {a e. U.U.R | A.b e. x bRa} = {a e. X | A.b e. x bRa}
22	21	a1i 8	. . . . 5 |- (r = R -> {a e. U.U.R | A.b e. x bRa} = {a e. X | A.b e. x bRa})
23	15, 18, 22	3eqtrd 1929	. . . 4 |- (r = R -> {a e. U.U.r | A.b e. x bra} = {a e. X | A.b e. x bRa})
24		raleq 2266	. . . . 5 |- (x = A -> (A.b e. x bRa <-> A.b e. A bRa))
25	24	rabbidv 2287	. . . 4 |- (x = A -> {a e. X | A.b e. x bRa} = {a e. X | A.b e. A bRa})
26		df-ub 14596	. . . . 5 |- ub = {<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}}
27		reloprab 4918	. . . . . 6 |- Rel {<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}}
28		reldmoprab 4934	. . . . . 6 |- Rel dom {<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}}
29		resid2 14425	. . . . . 6 |- ((Rel {<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}} /\ Rel dom {<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}}) -> ({<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}} |` (_V X. _V)) = {<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}})
30	27, 28, 29	mp2an 761	. . . . 5 |- ({<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}} |` (_V X. _V)) = {<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}}
31		resoprab 4938	. . . . 5 |- ({<.<.r, x>., y>. | y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra}} |` (_V X. _V)) = {<.<.r, x>., y>. | ((r e. _V /\ x e. _V) /\ y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra})}
32	26, 30, 31	3eqtr2i 1915	. . . 4 |- ub = {<.<.r, x>., y>. | ((r e. _V /\ x e. _V) /\ y = {a e. U.U.r | A.b e. x bra})}
33	23, 25, 32	oprabval2g 4956	. . 3 |- ((R e. _V /\ A e. _V /\ {a e. X | A.b e. A bRa} e. _V) -> (R ub A) = {a e. X | A.b e. A bRa})
34	33	3expia 1069	. 2 |- ((R e. _V /\ A e. _V) -> ({a e. X | A.b e. A bRa} e. _V -> (R ub A) = {a e. X | A.b e. A bRa}))
35	3, 11, 34	sylc 83	1 |- ((R e. S /\ A e. B) -> (R ub A) = {a e. X | A.b e. A bRa})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108  _Vcvv 2292  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  Rel wrel 3991  (class class class)co 4884  {copab2 4885   ub cub 14558

This theorem is referenced by:  puub 14601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-ub 14596

Copyright terms: Public domain