MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelm1fzo Structured version   Unicode version

Theorem ubmelm1fzo 11872
Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 11827 . 2  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
2 nnz 10882 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
4 nn0z 10883 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
54adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
63, 5zsubcld 10967 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  -  K
)  e.  ZZ )
76ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
8 peano2zm 10902 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ZZ )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ZZ )
1093adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ZZ )
11 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  K  <  N )
124, 2anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
13123adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 znnsub 10905 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  <  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN ) )
1611, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
17 nnm1ge0 10925 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  -  K )  -  1 ) )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  0  <_  ( ( N  -  K )  -  1 ) )
19 elnn0z 10873 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  -  K )  -  1 ) ) )
2010, 18, 19sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  NN0 )
21 simp2 997 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  N  e.  NN )
22 nncn 10540 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2322adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
24 nn0cn 10801 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
26 ax-1cn 9546 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
2823, 25, 27subsub4d 9957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  =  ( N  -  ( K  + 
1 ) ) )
29 nn0p1gt0 10821 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  < 
( K  +  1 ) )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( K  +  1 ) )
31 nn0re 10800 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
32 peano2re 9748 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
34 nnre 10539 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
35 ltsubpos 10040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( K  +  1 )  <-> 
( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N ) )
3633, 34, 35syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( K  +  1 )  <-> 
( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N ) )
3730, 36mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N )
3828, 37eqbrtrd 4467 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  <  N )
39383adant3 1016 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  <  N )
40 elfzo0 11827 . . 3  |-  ( ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( ( N  -  K )  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( ( N  -  K )  - 
1 )  <  N
) )
4120, 21, 39, 40syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
421, 41sylbi 195 1  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860  ..^cfzo 11788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789
This theorem is referenced by:  repswrevw  12717  cshwidxm1  12736
  Copyright terms: Public domain W3C validator