MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelm1fzo Structured version   Unicode version

Theorem ubmelm1fzo 11733
Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 11697 . 2  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
2 nnz 10772 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
4 nn0z 10773 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
54adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
63, 5zsubcld 10856 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  -  K
)  e.  ZZ )
76ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
8 peano2zm 10792 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ZZ )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ZZ )
1093adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ZZ )
11 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  K  <  N )
124, 2anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
13123adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 znnsub 10795 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  <  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN ) )
1611, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
17 nnm1ge0 10814 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  -  K )  -  1 ) )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  0  <_  ( ( N  -  K )  -  1 ) )
19 elnn0z 10763 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  -  K )  -  1 ) ) )
2010, 18, 19sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  NN0 )
21 simp2 989 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  N  e.  NN )
22 nncn 10434 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2322adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
24 nn0cn 10693 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
26 ax-1cn 9444 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
2823, 25, 27subsub4d 9854 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  =  ( N  -  ( K  + 
1 ) ) )
29 nn0p1gt0 10713 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  < 
( K  +  1 ) )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( K  +  1 ) )
31 nn0re 10692 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
32 peano2re 9646 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
34 nnre 10433 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
35 ltsubpos 9935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( K  +  1 )  <-> 
( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N ) )
3633, 34, 35syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( K  +  1 )  <-> 
( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N ) )
3730, 36mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N )
3828, 37eqbrtrd 4413 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  <  N )
39383adant3 1008 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  <  N )
40 elfzo0 11697 . . 3  |-  ( ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( ( N  -  K )  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( ( N  -  K )  - 
1 )  <  N
) )
4120, 21, 39, 40syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
421, 41sylbi 195 1  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750  ..^cfzo 11658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659
This theorem is referenced by:  repswrevw  12535  cshwidxm1  12554
  Copyright terms: Public domain W3C validator