MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelm1fzo Structured version   Unicode version

Theorem ubmelm1fzo 11615
Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 11579 . 2  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
2 nnz 10660 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
4 nn0z 10661 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
54adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
63, 5zsubcld 10744 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  -  K
)  e.  ZZ )
76ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
8 peano2zm 10680 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ZZ )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ZZ )
1093adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ZZ )
11 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  K  <  N )
124, 2anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
13123adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 znnsub 10683 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  <  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN ) )
1611, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
17 nnm1ge0 10702 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  -  K )  -  1 ) )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  0  <_  ( ( N  -  K )  -  1 ) )
19 elnn0z 10651 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  -  K )  -  1 ) ) )
2010, 18, 19sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  NN0 )
21 simp2 989 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  N  e.  NN )
22 nncn 10322 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2322adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
24 nn0cn 10581 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
26 ax-1cn 9332 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
2823, 25, 27subsub4d 9742 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  =  ( N  -  ( K  + 
1 ) ) )
29 nn0p1gt0 10601 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  < 
( K  +  1 ) )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( K  +  1 ) )
31 nn0re 10580 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
32 peano2re 9534 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
34 nnre 10321 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
35 ltsubpos 9823 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( K  +  1 )  <-> 
( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N ) )
3633, 34, 35syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( K  +  1 )  <-> 
( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N ) )
3730, 36mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N )
3828, 37eqbrtrd 4307 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  <  N )
39383adant3 1008 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  <  N )
40 elfzo0 11579 . . 3  |-  ( ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( ( N  -  K )  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( ( N  -  K )  - 
1 )  <  N
) )
4120, 21, 39, 40syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
421, 41sylbi 195 1  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638  ..^cfzo 11540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541
This theorem is referenced by:  repswrevw  12416  cshwidxm1  12435
  Copyright terms: Public domain W3C validator