MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubmelm1fzo Structured version   Unicode version

Theorem ubmelm1fzo 11945
Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 11895 . 2  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
2 nnz 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
4 nn0z 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
54adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
63, 5zsubcld 11013 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N  -  K
)  e.  ZZ )
76ancoms 451 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
8 peano2zm 10948 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ZZ )
97, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ZZ )
1093adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ZZ )
11 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  K  <  N )
124, 2anim12i 564 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
13123adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 znnsub 10951 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN ) )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( K  <  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN ) )
1611, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
17 nnm1ge0 10972 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  0  <_  ( ( N  -  K )  -  1 ) )
1816, 17syl 17 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  0  <_  ( ( N  -  K )  -  1 ) )
19 elnn0z 10918 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  -  K )  -  1 ) ) )
2010, 18, 19sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  NN0 )
21 simp2 998 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  N  e.  NN )
22 nncn 10584 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2322adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
24 nn0cn 10846 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
2524adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
26 1cnd 9642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
2723, 25, 26subsub4d 9998 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  =  ( N  -  ( K  + 
1 ) ) )
28 nn0p1gt0 10866 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  0  < 
( K  +  1 ) )
2928adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( K  +  1 ) )
30 nn0re 10845 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
31 peano2re 9787 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
3230, 31syl 17 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
33 nnre 10583 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
34 ltsubpos 10085 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( K  +  1 )  <-> 
( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N ) )
3532, 33, 34syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( K  +  1 )  <-> 
( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N ) )
3629, 35mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  ( K  +  1 ) )  <  N )
3727, 36eqbrtrd 4415 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  <  N )
38373adant3 1017 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  <  N )
39 elfzo0 11895 . . 3  |-  ( ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( ( N  -  K )  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( ( N  -  K )  - 
1 )  <  N
) )
4020, 21, 38, 39syl3anbrc 1181 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
411, 40sylbi 195 1  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905  ..^cfzo 11854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855
This theorem is referenced by:  repswrevw  12814  cshwidxm1  12833
  Copyright terms: Public domain W3C validator