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Theorem ublbneg 10516
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Distinct variable group:    x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4175 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <_  a  <->  y  <_  a ) )
21cbvralv 2892 . . . 4  |-  ( A. b  e.  A  b  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  a )
32rexbii 2691 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a )
4 breq2 4176 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <_  a  <->  y  <_  x ) )
54ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
65cbvrexv 2893 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
73, 6bitri 241 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
8 renegcl 9320 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
9 elrabi 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  y  e.  RR )
10 negeq 9254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  -u z  =  -u y )
1110eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( -u z  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
1211elrab3 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
1312biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  -> 
-u y  e.  A
) )
149, 13mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
15 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <_  a  <->  -u y  <_ 
a ) )
1615rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1714, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1817adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u y  <_  a
) )
19 lenegcon1 9488 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  <_ 
y  <->  -u y  <_  a
) )
209, 19sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( -u a  <_  y  <->  -u y  <_  a )
)
2118, 20sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u a  <_  y
) )
2221ralrimdva 2756 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
23 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <_  y  <->  -u a  <_ 
y ) )
2423ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y  <->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
2524rspcev 3012 . . . 4  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\ 
A. y  e.  {
z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y )
268, 22, 25ee12an 1369 . . 3  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y ) )
2726rexlimiv 2784 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
287, 27sylbir 205 1  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   class class class wbr 4172   RRcr 8945    <_ cle 9077   -ucneg 9248
This theorem is referenced by:  supminf  10519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250
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