Theorem ublbneg 13653

Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ublbneg	|- (E.x e. RR A.y e. A y <_ x -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)

Distinct variable group:   x,A,y,z

Proof of Theorem ublbneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . . . 5 |- (b = y -> (b <_ a <-> y <_ a))
2	1	cbvralv 2280	. . . 4 |- (A.b e. A b <_ a <-> A.y e. A y <_ a)
3	2	rexbii 2128	. . 3 |- (E.a e. RR A.b e. A b <_ a <-> E.a e. RR A.y e. A y <_ a)
4		breq2 3342	. . . . 5 |- (a = x -> (y <_ a <-> y <_ x))
5	4	ralbidv 2123	. . . 4 |- (a = x -> (A.y e. A y <_ a <-> A.y e. A y <_ x))
6	5	cbvrexv 2281	. . 3 |- (E.a e. RR A.y e. A y <_ a <-> E.x e. RR A.y e. A y <_ x)
7	3, 6	bitri 190	. 2 |- (E.a e. RR A.b e. A b <_ a <-> E.x e. RR A.y e. A y <_ x)
8		ssrab2 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- {z e. RR | -uz e. A} C_ RR
9	8	sseli 2617	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. {z e. RR | -uz e. A} -> y e. RR)
10		negeq 6514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = y -> -uz = -uy)
11	10	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = y -> (-uz e. A <-> -uy e. A))
12	11	elrab3 2415	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. RR -> (y e. {z e. RR | -uz e. A} <-> -uy e. A))
13	12	biimpd 170	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. RR -> (y e. {z e. RR | -uz e. A} -> -uy e. A))
14	9, 13	mpcom 60	. . . . . . . . . 10 |- (y e. {z e. RR | -uz e. A} -> -uy e. A)
15		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (b = -uy -> (b <_ a <-> -uy <_ a))
16	15	rcla4v 2376	. . . . . . . . . 10 |- (-uy e. A -> (A.b e. A b <_ a -> -uy <_ a))
17	14, 16	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. {z e. RR | -uz e. A} -> (A.b e. A b <_ a -> -uy <_ a))
18	17	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((a e. RR /\ y e. {z e. RR | -uz e. A}) -> (A.b e. A b <_ a -> -uy <_ a))
19		lenegcon1 6847	. . . . . . . . 9 |- ((a e. RR /\ y e. RR) -> (-ua <_ y <-> -uy <_ a))
20	19, 9	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((a e. RR /\ y e. {z e. RR | -uz e. A}) -> (-ua <_ y <-> -uy <_ a))
21	18, 20	sylibrd 221	. . . . . . 7 |- ((a e. RR /\ y e. {z e. RR | -uz e. A}) -> (A.b e. A b <_ a -> -ua <_ y))
22	21	ex 402	. . . . . 6 |- (a e. RR -> (y e. {z e. RR | -uz e. A} -> (A.b e. A b <_ a -> -ua <_ y)))
23	22	com23 36	. . . . 5 |- (a e. RR -> (A.b e. A b <_ a -> (y e. {z e. RR | -uz e. A} -> -ua <_ y)))
24	23	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (a e. RR -> (A.b e. A b <_ a -> A.y e. {z e. RR | -uz e. A}-ua <_ y))
25		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (x = -ua -> (x <_ y <-> -ua <_ y))
26	25	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (x = -ua -> (A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y <-> A.y e. {z e. RR | -uz e. A}-ua <_ y))
27	26	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((-ua e. RR /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}-ua <_ y) -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)
28		renegcl 6600	. . . . . 6 |- (a e. RR -> -ua e. RR)
29	27, 28	sylan 497	. . . . 5 |- ((a e. RR /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}-ua <_ y) -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)
30	29	ex 402	. . . 4 |- (a e. RR -> (A.y e. {z e. RR | -uz e. A}-ua <_ y -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y))
31	24, 30	syld 30	. . 3 |- (a e. RR -> (A.b e. A b <_ a -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y))
32	31	r19.23aiv 2211	. 2 |- (E.a e. RR A.b e. A b <_ a -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)
33	7, 32	sylbir 218	1 |- (E.x e. RR A.y e. A y <_ x -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   class class class wbr 3338  RRcr 6385  -ucneg 6446   <_ cle 6448

This theorem is referenced by:  supminf 13656  suprzcl 13658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain