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Theorem ublbneg 11170
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Distinct variable group:    x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4436 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <_  a  <->  y  <_  a ) )
21cbvralv 3068 . . . 4  |-  ( A. b  e.  A  b  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  a )
32rexbii 2943 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a )
4 breq2 4437 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <_  a  <->  y  <_  x ) )
54ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
65cbvrexv 3069 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
73, 6bitri 249 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
8 renegcl 9882 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
9 elrabi 3238 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  y  e.  RR )
10 negeq 9812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  -u z  =  -u y )
1110eleq1d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( -u z  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
1211elrab3 3242 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
1312biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  -> 
-u y  e.  A
) )
149, 13mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
15 breq1 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <_  a  <->  -u y  <_ 
a ) )
1615rspcv 3190 . . . . . . . 8  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1714, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1817adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u y  <_  a
) )
19 lenegcon1 10057 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  <_ 
y  <->  -u y  <_  a
) )
209, 19sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( -u a  <_  y  <->  -u y  <_  a )
)
2118, 20sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u a  <_  y
) )
2221ralrimdva 2859 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
23 breq1 4436 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <_  y  <->  -u a  <_ 
y ) )
2423ralbidv 2880 . . . . 5  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y  <->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
2524rspcev 3194 . . . 4  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\ 
A. y  e.  {
z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y )
268, 22, 25syl6an 545 . . 3  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y ) )
2726rexlimiv 2927 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
287, 27sylbir 213 1  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795   class class class wbr 4433   RRcr 9489    <_ cle 9627   -ucneg 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  supminf  11173
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