MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Unicode version

Theorem ubicc2 11747
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 1006 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
2 simp3 1007 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
3 xrleid 11449 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
433ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
5 elicc1 11680 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  <_  B  /\  B  <_  B
) ) )
653adant3 1025 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  <_  B  /\  B  <_  B
) ) )
71, 2, 4, 6mpbir3and 1188 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RR*cxr 9673    <_ cle 9675   [,]cicc 11638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-icc 11642
This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  21868  oprpiece1res2  21876  ivthlem2  22284  ivth2  22287  ivthle  22288  ivthle2  22289  dyadmaxlem  22432  cmvth  22820  mvth  22821  dvlip  22822  c1liplem1  22825  dvgt0lem1  22831  lhop1lem  22842  dvcnvrelem1  22846  dvcvx  22849  dvfsumle  22850  dvfsumge  22851  dvfsumabs  22852  dvfsumlem2  22856  ftc2  22873  ftc2ditglem  22874  itgparts  22876  itgsubstlem  22877  efcvx  23269  pige3  23337  logccv  23473  loglesqrt  23563  pntlem3  24310  eliccioo  28238  xrge0iifcnv  28578  lmxrge0  28597  esumpinfval  28733  hashf2  28744  esumcvg  28746  cvmliftlem7  29802  cvmliftlem10  29805  ivthALT  30776  ftc2nc  31730  areacirc  31741  itgpowd  35798  iccintsng  37209  pnfel0pnf  37214  limcicciooub  37289  icccncfext  37337  dvbdfbdioolem1  37372  itgsin0pilem1  37395  itgcoscmulx  37415  itgsincmulx  37420  itgsubsticc  37422  fourierdlem20  37558  fourierdlem54  37592  fourierdlem64  37602  fourierdlem81  37619  fourierdlem102  37640  fourierdlem103  37641  fourierdlem104  37642  fourierdlem114  37652  etransclem46  37712
  Copyright terms: Public domain W3C validator