MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Unicode version

Theorem ubicc2 11637
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
2 simp3 998 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
3 xrleid 11356 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
433ad2ant2 1018 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
5 elicc1 11573 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  <_  B  /\  B  <_  B
) ) )
653adant3 1016 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  <_  B  /\  B  <_  B
) ) )
71, 2, 4, 6mpbir3and 1179 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RR*cxr 9627    <_ cle 9629   [,]cicc 11532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-icc 11536
This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  21207  oprpiece1res2  21215  ivthlem2  21627  ivth2  21630  ivthle  21631  ivthle2  21632  dyadmaxlem  21769  cmvth  22155  mvth  22156  dvlip  22157  c1liplem1  22160  dvgt0lem1  22166  lhop1lem  22177  dvcnvrelem1  22181  dvcvx  22184  dvfsumle  22185  dvfsumge  22186  dvfsumabs  22187  dvfsumlem2  22191  ftc2  22208  ftc2ditglem  22209  itgparts  22211  itgsubstlem  22212  efcvx  22606  pige3  22671  logccv  22800  loglesqrt  22888  pntlem3  23550  eliccioo  27323  xrge0iifcnv  27579  lmxrge0  27598  esumpinfval  27747  hashf2  27758  esumcvg  27760  cvmliftlem7  28404  cvmliftlem10  28407  ftc2nc  29704  areacirc  29717  ivthALT  29758  itgpowd  30815  iccintsng  31155  limcicciooub  31207  icccncfext  31254  dvbdfbdioolem1  31286  itgsin0pilem1  31295  itgcoscmulx  31315  itgsincmulx  31320  itgsubsticc  31322  fourierdlem20  31455  fourierdlem54  31489  fourierdlem64  31499  fourierdlem81  31516  fourierdlem93  31528  fourierdlem102  31537  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  fourierdlem114  31549
  Copyright terms: Public domain W3C validator