MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Unicode version

Theorem ubicc2 11402
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
2 simp3 990 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
3 xrleid 11127 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
433ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
5 elicc1 11344 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  <_  B  /\  B  <_  B
) ) )
653adant3 1008 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  <_  B  /\  B  <_  B
) ) )
71, 2, 4, 6mpbir3and 1171 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   RR*cxr 9417    <_ cle 9419   [,]cicc 11303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-icc 11307
This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  20516  oprpiece1res2  20524  ivthlem2  20936  ivth2  20939  ivthle  20940  ivthle2  20941  dyadmaxlem  21077  cmvth  21463  mvth  21464  dvlip  21465  c1liplem1  21468  dvgt0lem1  21474  lhop1lem  21485  dvcnvrelem1  21489  dvcvx  21492  dvfsumle  21493  dvfsumge  21494  dvfsumabs  21495  dvfsumlem2  21499  ftc2  21516  ftc2ditglem  21517  itgparts  21519  itgsubstlem  21520  efcvx  21914  pige3  21979  logccv  22108  loglesqr  22196  pntlem3  22858  eliccioo  26106  xrge0iifcnv  26363  lmxrge0  26382  esumpinfval  26522  hashf2  26533  esumcvg  26535  cvmliftlem7  27180  cvmliftlem10  27183  ftc2nc  28476  areacirc  28489  ivthALT  28530  itgpowd  29590  itgsin0pilem1  29790
  Copyright terms: Public domain W3C validator