MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.1c Structured version   Unicode version

Theorem tz9.1c 8150
Description: Alternative expression for the existence of transitive closures tz9.1 8149: the intersection of all transitive sets containing  A is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tz9.1c  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem tz9.1c
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tz9.1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om )
3 eqid 2460 . . . . 5  |-  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )
41, 2, 3trcl 8148 . . . 4  |-  ( A 
C_  U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  w )  /\  A. x ( ( A 
C_  x  /\  Tr  x )  ->  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) 
C_  x ) )
5 3simpa 988 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  A. x ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  C_  x
) )  ->  ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
6 omex 8049 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
7 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w
)  e.  _V
86, 7iunex 6754 . . . . 5  |-  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  e.  _V
9 sseq2 3519 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( A  C_  x 
<->  A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
10 treq 4539 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
119, 10anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( ( A 
C_  x  /\  Tr  x )  <->  ( A  C_ 
U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  w ) ) ) )
128, 11spcev 3198 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) )  ->  E. x
( A  C_  x  /\  Tr  x ) )
134, 5, 12mp2b 10 . . 3  |-  E. x
( A  C_  x  /\  Tr  x )
14 abn0 3797 . . 3  |-  ( { x  |  ( A 
C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)  <->  E. x ( A  C_  x  /\  Tr  x ) )
1513, 14mpbir 209 . 2  |-  { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)
16 intex 4596 . 2  |-  ( { x  |  ( A 
C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)  <->  |^|
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V )
1715, 16mpbi 208 1  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   {cab 2445    =/= wne 2655   _Vcvv 3106    u. cun 3467    C_ wss 3469   (/)c0 3778   U.cuni 4238   |^|cint 4275   U_ciun 4318    |-> cmpt 4498   Tr wtr 4533    |` cres 4994   ` cfv 5579   omcom 6671   reccrdg 7065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066
This theorem is referenced by:  tcvalg  8158
  Copyright terms: Public domain W3C validator