Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.13 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tz9.13 8262
 Description: Every set is well-founded, assuming the Axiom of Regularity. In other words, every set belongs to a layer of the cumulative hierarchy of sets. Proposition 9.13 of [TakeutiZaring] p. 78. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.13.1
Assertion
Ref Expression
tz9.13
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem tz9.13
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tz9.13.1 . . 3
2 setind 8218 . . . 4
3 ssel 3426 . . . . . . . 8
4 vex 3048 . . . . . . . . 9
5 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10
65rexbidv 2901 . . . . . . . . 9
74, 6elab 3185 . . . . . . . 8
83, 7syl6ib 230 . . . . . . 7
98ralrimiv 2800 . . . . . 6
10 vex 3048 . . . . . . 7
1110tz9.12 8261 . . . . . 6
129, 11syl 17 . . . . 5
13 eleq1 2517 . . . . . . 7
1413rexbidv 2901 . . . . . 6
1510, 14elab 3185 . . . . 5
1612, 15sylibr 216 . . . 4
172, 16mpg 1671 . . 3
181, 17eleqtrri 2528 . 2
19 eleq1 2517 . . . 4
2019rexbidv 2901 . . 3
211, 20elab 3185 . 2
2218, 21mpbi 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1444   wcel 1887  cab 2437  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045   wss 3404  con0 5423  cfv 5582  cr1 8233 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-r1 8235 This theorem is referenced by:  tz9.13g  8263  elhf2  30942
 Copyright terms: Public domain W3C validator