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Theorem tz9.12lem3 8017
Description: Lemma for tz9.12 8018. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tz9.12lem.1  |-  A  e. 
_V
tz9.12lem.2  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )
Assertion
Ref Expression
tz9.12lem3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, v, A    x, F, y
Allowed substitution hints:    F( z, v)

Proof of Theorem tz9.12lem3
StepHypRef Expression
1 tz9.12lem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )
21funmpt2 5476 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  F
3 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  ( R1 `  v )  =  ( R1 `  y
) )
43eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
x  e.  ( R1
`  v )  <->  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
54rspcev 3094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  E. v  e.  On  x  e.  ( R1 `  v ) )
6 rabn0 3678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  On  x  e.  ( R1 `  v
) )
75, 6sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) )
8 intex 4469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/)  <->  |^|
{ v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
10 vex 2996 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
11 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  ( R1
`  v )  <->  x  e.  ( R1 `  v ) ) )
1211rabbidv 2985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  =  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
1312inteqd 4154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
1413eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V  <->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V ) )
151dmmpt 5354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  F  =  { z  e.  _V  |  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) }  e.  _V }
1614, 15elrab2 3140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  F  <->  ( x  e.  _V  /\  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V ) )
1710, 16mpbiran 909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  F  <->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
189, 17sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  x  e.  dom  F )
19 funfvima 5973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" A ) ) )
202, 18, 19sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" A ) ) )
21 tz9.12lem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2221, 1tz9.12lem2 8016 . . . . . . . . . 10  |-  suc  U. ( F " A )  e.  On
2321, 1tz9.12lem1 8015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" A )  C_  On
24 onsucuni 6460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " A ) 
C_  On  ->  ( F
" A )  C_  suc  U. ( F " A ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" A )  C_  suc  U. ( F " A )
2625sseli 3373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  ( F " A )  ->  ( F `  x )  e.  suc  U. ( F
" A ) )
27 r1ord2 8009 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  U. ( F " A
)  e.  On  ->  ( ( F `  x
)  e.  suc  U. ( F " A )  ->  ( R1 `  ( F `  x ) )  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) )
2822, 26, 27mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( F " A )  ->  ( R1 `  ( F `  x ) )  C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
2920, 28syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( R1 `  ( F `  x )
)  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) )
3029imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( R1 `  ( F `  x
) )  C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
3113, 1fvmptg 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  |^|
{ v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )  -> 
( F `  x
)  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3210, 31mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V  ->  ( F `  x )  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
338, 32sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  ( F `  x
)  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
34 ssrab2 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  C_  On
35 onint 6427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } 
C_  On  /\  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3634, 35mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  e.  {
v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3733, 36eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  ( F `  x
)  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
38 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  ( F `  x )
) )
3938eleq2d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  x  e.  ( R1 `  ( F `
 x ) ) ) )
404cbvrabv 2992 . . . . . . . . . . 11  |-  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =  { y  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  y ) }
4139, 40elrab2 3140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  <->  ( ( F `  x )  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  ( F `  x )
) ) )
4241simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `  x )
) )
437, 37, 423syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `  x
) ) )
4443adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `
 x ) ) )
4530, 44sseldd 3378 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
4645exp31 604 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  ( R1
`  suc  U. ( F " A ) ) ) ) )
4746com3r 79 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  e.  On  ->  ( x  e.  ( R1
`  y )  ->  x  e.  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) ) )
4847rexlimdv 2861 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y )  ->  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A
) ) ) )
4948ralimia 2810 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
50 r1suc 7998 . . . . 5  |-  ( suc  U. ( F " A
)  e.  On  ->  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) )  =  ~P ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5122, 50ax-mp 5 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  suc  U. ( F " A ) )  =  ~P ( R1
`  suc  U. ( F " A ) )
5251eleq2i 2507 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F
" A ) )  <-> 
A  e.  ~P ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5321elpw 3887 . . 3  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  suc  U. ( F " A ) )  <-> 
A  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) )
54 dfss3 3367 . . 3  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5552, 53, 543bitri 271 . 2  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F
" A ) )  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) )
5649, 55sylibr 212 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   |^|cint 4149    e. cmpt 4371   Oncon0 4740   suc csuc 4742   dom cdm 4861   "cima 4864   Fun wfun 5433   ` cfv 5439   R1cr1 7990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-r1 7992
This theorem is referenced by:  tz9.12  8018
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