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Theorem tz9.12lem3 8278
Description: Lemma for tz9.12 8279. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tz9.12lem.1  |-  A  e. 
_V
tz9.12lem.2  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )
Assertion
Ref Expression
tz9.12lem3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, v, A    x, F, y
Allowed substitution hints:    F( z, v)

Proof of Theorem tz9.12lem3
StepHypRef Expression
1 tz9.12lem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )
21funmpt2 5626 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  F
3 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  ( R1 `  v )  =  ( R1 `  y
) )
43eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
x  e.  ( R1
`  v )  <->  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
54rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  E. v  e.  On  x  e.  ( R1 `  v ) )
6 rabn0 3755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  On  x  e.  ( R1 `  v
) )
75, 6sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) )
8 intex 4557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/)  <->  |^|
{ v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
97, 8sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
10 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
11 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  ( R1
`  v )  <->  x  e.  ( R1 `  v ) ) )
1211rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  =  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
1312inteqd 4231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
1413eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V  <->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V ) )
151dmmpt 5337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  F  =  { z  e.  _V  |  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) }  e.  _V }
1614, 15elrab2 3186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  F  <->  ( x  e.  _V  /\  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V ) )
1710, 16mpbiran 932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  F  <->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
189, 17sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  x  e.  dom  F )
19 funfvima 6157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" A ) ) )
202, 18, 19sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" A ) ) )
21 tz9.12lem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2221, 1tz9.12lem2 8277 . . . . . . . . . 10  |-  suc  U. ( F " A )  e.  On
2321, 1tz9.12lem1 8276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" A )  C_  On
24 onsucuni 6674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " A ) 
C_  On  ->  ( F
" A )  C_  suc  U. ( F " A ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" A )  C_  suc  U. ( F " A )
2625sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  ( F " A )  ->  ( F `  x )  e.  suc  U. ( F
" A ) )
27 r1ord2 8270 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  U. ( F " A
)  e.  On  ->  ( ( F `  x
)  e.  suc  U. ( F " A )  ->  ( R1 `  ( F `  x ) )  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) )
2822, 26, 27mpsyl 64 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( F " A )  ->  ( R1 `  ( F `  x ) )  C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
2920, 28syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( R1 `  ( F `  x )
)  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) )
3029imp 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( R1 `  ( F `  x
) )  C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
3113, 1fvmptg 5961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  |^|
{ v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )  -> 
( F `  x
)  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3210, 31mpan 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V  ->  ( F `  x )  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
338, 32sylbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  ( F `  x
)  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
34 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  C_  On
35 onint 6641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } 
C_  On  /\  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3634, 35mpan 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  e.  {
v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3733, 36eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  ( F `  x
)  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
38 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  ( F `  x )
) )
3938eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  x  e.  ( R1 `  ( F `
 x ) ) ) )
404cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . 11  |-  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =  { y  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  y ) }
4139, 40elrab2 3186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  <->  ( ( F `  x )  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  ( F `  x )
) ) )
4241simprbi 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `  x )
) )
437, 37, 423syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `  x
) ) )
4443adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `
 x ) ) )
4530, 44sseldd 3419 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
4645exp31 615 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  ( R1
`  suc  U. ( F " A ) ) ) ) )
4746com3r 81 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  e.  On  ->  ( x  e.  ( R1
`  y )  ->  x  e.  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) ) )
4847rexlimdv 2870 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y )  ->  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A
) ) ) )
4948ralimia 2794 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
50 r1suc 8259 . . . . 5  |-  ( suc  U. ( F " A
)  e.  On  ->  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) )  =  ~P ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5122, 50ax-mp 5 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  suc  U. ( F " A ) )  =  ~P ( R1
`  suc  U. ( F " A ) )
5251eleq2i 2541 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F
" A ) )  <-> 
A  e.  ~P ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5321elpw 3948 . . 3  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  suc  U. ( F " A ) )  <-> 
A  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) )
54 dfss3 3408 . . 3  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5552, 53, 543bitri 279 . 2  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F
" A ) )  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) )
5649, 55sylibr 217 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   "cima 4842   Oncon0 5430   suc csuc 5432   Fun wfun 5583   ` cfv 5589   R1cr1 8251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-r1 8253
This theorem is referenced by:  tz9.12  8279
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