Theorem tz9.12lem3 8278

Description: Lemma for tz9.12 8279. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	|- A e. _V
tz9.12lem.2	|- F = ( z e. _V |-> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } )

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem3	|- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   F( z, v)

Proof of Theorem tz9.12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.2	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( z e. _V |-> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } )
2	1	funmpt2 5626	. . . . . . . . . 10 |- Fun F
3		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = y -> ( R1 ` v ) = ( R1 ` y ) )
4	3	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( x e. ( R1 ` v ) <-> x e. ( R1 ` y ) ) )
5	4	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> E. v e. On x e. ( R1 ` v ) )
6		rabn0 3755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) <-> E. v e. On x e. ( R1 ` v ) )
7	5, 6	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) )
8		intex 4557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
9	7, 8	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
10		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
11		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( z e. ( R1 ` v ) <-> x e. ( R1 ` v ) ) )
12	11	rabbidv 3022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } = { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
13	12	inteqd 4231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
14	13	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } e. _V <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) )
15	1	dmmpt 5337	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom F = { z e. _V | |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } e. _V }
16	14, 15	elrab2 3186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. dom F <-> ( x e. _V /\ |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) )
17	10, 16	mpbiran 932	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. dom F <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
18	9, 17	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> x e. dom F )
19		funfvima 6157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) e. ( F " A ) ) )
20	2, 18, 19	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) e. ( F " A ) ) )
21		tz9.12lem.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. _V
22	21, 1	tz9.12lem2 8277	. . . . . . . . . 10 |- suc U. ( F " A ) e. On
23	21, 1	tz9.12lem1 8276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " A ) C_ On
24		onsucuni 6674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " A ) C_ On -> ( F " A ) C_ suc U. ( F " A ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " A ) C_ suc U. ( F " A )
26	25	sseli 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ( F " A ) -> ( F ` x ) e. suc U. ( F " A ) )
27		r1ord2 8270	. . . . . . . . . 10 |- ( suc U. ( F " A ) e. On -> ( ( F ` x ) e. suc U. ( F " A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
28	22, 26, 27	mpsyl 64	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( F " A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
29	20, 28	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> ( x e. A -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
30	29	imp 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
31	13, 1	fvmptg 5961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
32	10, 31	mpan 684	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
33	8, 32	sylbi 200	. . . . . . . . . 10 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
34		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . 11 |- { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } C_ On
35		onint 6641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } C_ On /\ { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) ) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
36	34, 35	mpan 684	. . . . . . . . . 10 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
37	33, 36	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
38		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` x ) -> ( R1 ` y ) = ( R1 ` ( F ` x ) ) )
39	38	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) ) )
40	4	cbvrabv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } = { y e. On | x e. ( R1 ` y ) }
41	39, 40	elrab2 3186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } <-> ( ( F ` x ) e. On /\ x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) ) )
42	41	simprbi 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
43	7, 37, 42	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
44	43	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
45	30, 44	sseldd 3419	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
46	45	exp31 615	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ( x e. A -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) ) )
47	46	com3r 81	. . . 4 |- ( x e. A -> ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2870	. . 3 |- ( x e. A -> ( E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
49	48	ralimia 2794	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
50		r1suc 8259	. . . . 5 |- ( suc U. ( F " A ) e. On -> ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) = ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
51	22, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) = ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) )
52	51	eleq2i 2541	. . 3 |- ( A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) <-> A e. ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
53	21	elpw 3948	. . 3 |- ( A e. ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) <-> A C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
54		dfss3 3408	. . 3 |- ( A C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) <-> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
55	52, 53, 54	3bitri 279	. 2 |- ( A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) <-> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
56	49, 55	sylibr 217	1 |- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   "cima 4842   Oncon0 5430   suc csuc 5432   Fun wfun 5583   ` cfv 5589   R1cr1 8251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-r1 8253

This theorem is referenced by:  tz9.12  8279