Theorem tz9.12lem3 8219

Description: Lemma for tz9.12 8220. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	|- A e. _V
tz9.12lem.2	|- F = ( z e. _V |-> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } )

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem3	|- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   F( z, v)

Proof of Theorem tz9.12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.2	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( z e. _V |-> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } )
2	1	funmpt2 5631	. . . . . . . . . 10 |- Fun F
3		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = y -> ( R1 ` v ) = ( R1 ` y ) )
4	3	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( x e. ( R1 ` v ) <-> x e. ( R1 ` y ) ) )
5	4	rspcev 3219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> E. v e. On x e. ( R1 ` v ) )
6		rabn0 3810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) <-> E. v e. On x e. ( R1 ` v ) )
7	5, 6	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) )
8		intex 4609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
9	7, 8	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
10		vex 3121	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
11		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( z e. ( R1 ` v ) <-> x e. ( R1 ` v ) ) )
12	11	rabbidv 3110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } = { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
13	12	inteqd 4293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
14	13	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } e. _V <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) )
15	1	dmmpt 5508	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom F = { z e. _V | |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } e. _V }
16	14, 15	elrab2 3268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. dom F <-> ( x e. _V /\ |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) )
17	10, 16	mpbiran 916	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. dom F <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
18	9, 17	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> x e. dom F )
19		funfvima 6146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) e. ( F " A ) ) )
20	2, 18, 19	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) e. ( F " A ) ) )
21		tz9.12lem.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. _V
22	21, 1	tz9.12lem2 8218	. . . . . . . . . 10 |- suc U. ( F " A ) e. On
23	21, 1	tz9.12lem1 8217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " A ) C_ On
24		onsucuni 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " A ) C_ On -> ( F " A ) C_ suc U. ( F " A ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " A ) C_ suc U. ( F " A )
26	25	sseli 3505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ( F " A ) -> ( F ` x ) e. suc U. ( F " A ) )
27		r1ord2 8211	. . . . . . . . . 10 |- ( suc U. ( F " A ) e. On -> ( ( F ` x ) e. suc U. ( F " A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
28	22, 26, 27	mpsyl 63	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( F " A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
29	20, 28	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> ( x e. A -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
30	29	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
31	13, 1	fvmptg 5955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
32	10, 31	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
33	8, 32	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
34		ssrab2 3590	. . . . . . . . . . 11 |- { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } C_ On
35		onint 6625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } C_ On /\ { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) ) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
36	34, 35	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
37	33, 36	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
38		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` x ) -> ( R1 ` y ) = ( R1 ` ( F ` x ) ) )
39	38	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) ) )
40	4	cbvrabv 3117	. . . . . . . . . . 11 |- { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } = { y e. On | x e. ( R1 ` y ) }
41	39, 40	elrab2 3268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } <-> ( ( F ` x ) e. On /\ x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) ) )
42	41	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
43	7, 37, 42	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
45	30, 44	sseldd 3510	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
46	45	exp31 604	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ( x e. A -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) ) )
47	46	com3r 79	. . . 4 |- ( x e. A -> ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2957	. . 3 |- ( x e. A -> ( E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
49	48	ralimia 2858	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
50		r1suc 8200	. . . . 5 |- ( suc U. ( F " A ) e. On -> ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) = ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
51	22, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) = ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) )
52	51	eleq2i 2545	. . 3 |- ( A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) <-> A e. ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
53	21	elpw 4022	. . 3 |- ( A e. ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) <-> A C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
54		dfss3 3499	. . 3 |- ( A C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) <-> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
55	52, 53, 54	3bitri 271	. 2 |- ( A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) <-> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
56	49, 55	sylibr 212	1 |- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   |^|cint 4288   |-> cmpt 4511   Oncon0 4884   suc csuc 4886   dom cdm 5005   "cima 5008   Fun wfun 5588   ` cfv 5594   R1cr1 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-r1 8194

This theorem is referenced by:  tz9.12  8220