Theorem tz9.12lem3 8017

Description: Lemma for tz9.12 8018. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	|- A e. _V
tz9.12lem.2	|- F = ( z e. _V |-> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } )

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem3	|- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   F( z, v)

Proof of Theorem tz9.12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.2	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( z e. _V |-> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } )
2	1	funmpt2 5476	. . . . . . . . . 10 |- Fun F
3		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = y -> ( R1 ` v ) = ( R1 ` y ) )
4	3	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( x e. ( R1 ` v ) <-> x e. ( R1 ` y ) ) )
5	4	rspcev 3094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> E. v e. On x e. ( R1 ` v ) )
6		rabn0 3678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) <-> E. v e. On x e. ( R1 ` v ) )
7	5, 6	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) )
8		intex 4469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
9	7, 8	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
10		vex 2996	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
11		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( z e. ( R1 ` v ) <-> x e. ( R1 ` v ) ) )
12	11	rabbidv 2985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } = { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
13	12	inteqd 4154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
14	13	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } e. _V <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) )
15	1	dmmpt 5354	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom F = { z e. _V | |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } e. _V }
16	14, 15	elrab2 3140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. dom F <-> ( x e. _V /\ |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) )
17	10, 16	mpbiran 909	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. dom F <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
18	9, 17	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> x e. dom F )
19		funfvima 5973	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) e. ( F " A ) ) )
20	2, 18, 19	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) e. ( F " A ) ) )
21		tz9.12lem.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. _V
22	21, 1	tz9.12lem2 8016	. . . . . . . . . 10 |- suc U. ( F " A ) e. On
23	21, 1	tz9.12lem1 8015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " A ) C_ On
24		onsucuni 6460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " A ) C_ On -> ( F " A ) C_ suc U. ( F " A ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " A ) C_ suc U. ( F " A )
26	25	sseli 3373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ( F " A ) -> ( F ` x ) e. suc U. ( F " A ) )
27		r1ord2 8009	. . . . . . . . . 10 |- ( suc U. ( F " A ) e. On -> ( ( F ` x ) e. suc U. ( F " A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
28	22, 26, 27	mpsyl 63	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( F " A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
29	20, 28	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> ( x e. A -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
30	29	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
31	13, 1	fvmptg 5793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
32	10, 31	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
33	8, 32	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
34		ssrab2 3458	. . . . . . . . . . 11 |- { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } C_ On
35		onint 6427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } C_ On /\ { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) ) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
36	34, 35	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
37	33, 36	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
38		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` x ) -> ( R1 ` y ) = ( R1 ` ( F ` x ) ) )
39	38	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) ) )
40	4	cbvrabv 2992	. . . . . . . . . . 11 |- { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } = { y e. On | x e. ( R1 ` y ) }
41	39, 40	elrab2 3140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } <-> ( ( F ` x ) e. On /\ x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) ) )
42	41	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
43	7, 37, 42	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
45	30, 44	sseldd 3378	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
46	45	exp31 604	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ( x e. A -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) ) )
47	46	com3r 79	. . . 4 |- ( x e. A -> ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) ) )
48	47	rexlimdv 2861	. . 3 |- ( x e. A -> ( E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
49	48	ralimia 2810	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
50		r1suc 7998	. . . . 5 |- ( suc U. ( F " A ) e. On -> ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) = ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
51	22, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) = ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) )
52	51	eleq2i 2507	. . 3 |- ( A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) <-> A e. ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
53	21	elpw 3887	. . 3 |- ( A e. ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) <-> A C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
54		dfss3 3367	. . 3 |- ( A C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) <-> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
55	52, 53, 54	3bitri 271	. 2 |- ( A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) <-> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
56	49, 55	sylibr 212	1 |- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993   C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   |^|cint 4149   e. cmpt 4371   Oncon0 4740   suc csuc 4742   dom cdm 4861   "cima 4864   Fun wfun 5433   ` cfv 5439   R1cr1 7990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-r1 7992

This theorem is referenced by:  tz9.12  8018