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Theorem tz7.7 5436
Description: Proposition 7.7 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 5-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
tz7.7  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  C_  A  /\  B  =/= 
A ) ) )

Proof of Theorem tz7.7
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtr 5424 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
2 ordfr 5425 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
3 tz7.2 4807 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  _E  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) )
433exp 1196 . . . 4  |-  ( Tr  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  ( B  e.  A  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) ) ) )
51, 2, 4sylc 59 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( B  e.  A  ->  ( B 
C_  A  /\  B  =/=  A ) ) )
65adantr 463 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) ) )
7 pssdifn0 3832 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  =/=  A )  -> 
( A  \  B
)  =/=  (/) )
8 difss 3570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
\  B )  C_  A
9 tz7.5 5431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  ( A  \  B )  C_  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( A  \  B ) ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/) )
108, 9mp3an2 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( A  \  B
) ( ( A 
\  B )  i^i  x )  =  (/) )
11 eldifi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  x  e.  A )
12 trss 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
13 difin0ss 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  B
) )
1413com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/)  ->  x  C_  B ) )
1511, 12, 14syl56 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( (
( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B
) ) )
161, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( (
( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B
) ) )
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( ( ( A 
\  B )  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B )
) )
1817imp32 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  C_  B
)
19 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
2019biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  B )
)
21 eldifn 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
2220, 21nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  y  =  x
) )
2322imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  -.  y  =  x
)
2423adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  -.  y  =  x )
2524adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  y  =  x )
26 trel 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( Tr  B  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
2726expcomd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Tr  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  x  e.  B ) ) )
2827imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Tr  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  B )
)
2928, 21nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Tr  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  x  e.  y
) )
3029ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Tr  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  y )
) )
3130adantld 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Tr  B  ->  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  x  e.  y
) ) )
3231imp32 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Tr  B  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  x  e.  y )
3332adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  x  e.  y )
34 ordwe 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
35 ssel2 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
3635, 11anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )
37 wecmpep 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (  _E  We  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
3834, 36, 37syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  A  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
3938adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
4025, 33, 39ecase23d 1334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  y  e.  x )
4140exp44 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
y  e.  B  -> 
( x  e.  ( A  \  B )  ->  y  e.  x
) ) ) )
4241com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  x ) ) ) )
4342imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  x ) )
4443ssrdv 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  B  C_  x )
4544adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  B  C_  x
)
4618, 45eqssd 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  =  B )
4711ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  e.  A
)
4846, 47eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  B  e.  A
)
4948rexlimdvaa 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  \  B ) ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  B  e.  A ) )
5010, 49syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  (
( Ord  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  B  e.  A ) )
5150exp4b 605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( Ord  A  ->  ( ( A  \  B )  =/=  (/)  ->  B  e.  A
) ) ) )
5251com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( Ord  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( ( A  \  B )  =/=  (/)  ->  B  e.  A
) ) ) )
5352adantrd 466 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  (
( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( A  \  B
)  =/=  (/)  ->  B  e.  A ) ) ) )
5453pm2.43i 46 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( A  \  B
)  =/=  (/)  ->  B  e.  A ) ) )
557, 54syl7 67 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( B  C_  A  /\  B  =/=  A
)  ->  B  e.  A ) ) )
5655exp4a 604 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
5756pm2.43d 47 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  A  ->  B  e.  A ) ) )
5857impd 429 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  (
( B  C_  A  /\  B  =/=  A
)  ->  B  e.  A ) )
596, 58impbid 190 1  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  C_  A  /\  B  =/= 
A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 973    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2755    \ cdif 3411    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   Tr wtr 4489    _E cep 4732    Fr wfr 4779    We wwe 4781   Ord word 5409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 5413
This theorem is referenced by:  ordelssne  5437  dfon2  30011
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