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Theorem tz7.7 5465
Description: Proposition 7.7 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 5-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
tz7.7  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  C_  A  /\  B  =/= 
A ) ) )

Proof of Theorem tz7.7
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtr 5453 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
2 ordfr 5454 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
3 tz7.2 4834 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  _E  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) )
433exp 1204 . . . 4  |-  ( Tr  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  ( B  e.  A  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) ) ) )
51, 2, 4sylc 62 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( B  e.  A  ->  ( B 
C_  A  /\  B  =/=  A ) ) )
65adantr 466 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) ) )
7 pssdifn0 3855 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  =/=  A )  -> 
( A  \  B
)  =/=  (/) )
8 difss 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
\  B )  C_  A
9 tz7.5 5460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  ( A  \  B )  C_  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( A  \  B ) ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/) )
108, 9mp3an2 1348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( A  \  B
) ( ( A 
\  B )  i^i  x )  =  (/) )
11 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  x  e.  A )
12 trss 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
13 difin0ss 3861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  B
) )
1413com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/)  ->  x  C_  B ) )
1511, 12, 14syl56 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( (
( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B
) ) )
161, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( (
( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B
) ) )
1716ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( ( ( A 
\  B )  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B )
) )
1817imp32 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  C_  B
)
19 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
2019biimpcd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  B )
)
21 eldifn 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
2220, 21nsyli 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  y  =  x
) )
2322imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  -.  y  =  x
)
2423adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  -.  y  =  x )
2524adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  y  =  x )
26 trel 4522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( Tr  B  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
2726expcomd 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Tr  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  x  e.  B ) ) )
2827imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Tr  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  B )
)
2928, 21nsyli 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Tr  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  x  e.  y
) )
3029ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Tr  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  y )
) )
3130adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Tr  B  ->  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  x  e.  y
) ) )
3231imp32 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Tr  B  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  x  e.  y )
3332adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  x  e.  y )
34 ordwe 5452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
35 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
3635, 11anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )
37 wecmpep 4842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (  _E  We  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
3834, 36, 37syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  A  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
3938adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
4025, 33, 39ecase23d 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  y  e.  x )
4140exp44 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
y  e.  B  -> 
( x  e.  ( A  \  B )  ->  y  e.  x
) ) ) )
4241com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  x ) ) ) )
4342imp31 433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  x ) )
4443ssrdv 3470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  B  C_  x )
4544adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  B  C_  x
)
4618, 45eqssd 3481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  =  B )
4711ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  e.  A
)
4846, 47eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  B  e.  A
)
4948rexlimdvaa 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  \  B ) ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  B  e.  A ) )
5010, 49syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  (
( Ord  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  B  e.  A ) )
5150exp4b 610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( Ord  A  ->  ( ( A  \  B )  =/=  (/)  ->  B  e.  A
) ) ) )
5251com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( Ord  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( ( A  \  B )  =/=  (/)  ->  B  e.  A
) ) ) )
5352adantrd 469 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  (
( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( A  \  B
)  =/=  (/)  ->  B  e.  A ) ) ) )
5453pm2.43i 49 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( A  \  B
)  =/=  (/)  ->  B  e.  A ) ) )
557, 54syl7 70 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( B  C_  A  /\  B  =/=  A
)  ->  B  e.  A ) ) )
5655exp4a 609 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
5756pm2.43d 50 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  A  ->  B  e.  A ) ) )
5857impd 432 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  (
( B  C_  A  /\  B  =/=  A
)  ->  B  e.  A ) )
596, 58impbid 193 1  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  C_  A  /\  B  =/= 
A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   E.wrex 2776    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   Tr wtr 4515    _E cep 4759    Fr wfr 4806    We wwe 4808   Ord word 5438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-ord 5442
This theorem is referenced by:  ordelssne  5466  dfon2  30433
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