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Theorem tz7.7 4913
Description: Proposition 7.7 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 5-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
tz7.7  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  C_  A  /\  B  =/= 
A ) ) )

Proof of Theorem tz7.7
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtr 4901 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
2 ordfr 4902 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
3 tz7.2 4872 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  _E  Fr  A  /\  B  e.  A )  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) )
433exp 1195 . . . 4  |-  ( Tr  A  ->  (  _E  Fr  A  ->  ( B  e.  A  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) ) ) )
51, 2, 4sylc 60 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( B  e.  A  ->  ( B 
C_  A  /\  B  =/=  A ) ) )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  ->  ( B  C_  A  /\  B  =/=  A ) ) )
7 pssdifn0 3891 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  =/=  A )  -> 
( A  \  B
)  =/=  (/) )
8 difss 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
\  B )  C_  A
9 tz7.5 4908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  ( A  \  B )  C_  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( A  \  B ) ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/) )
108, 9mp3an2 1312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( A  \  B
) ( ( A 
\  B )  i^i  x )  =  (/) )
11 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  x  e.  A )
12 trss 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  C_  A ) )
13 difin0ss 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  B
) )
1413com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/)  ->  x  C_  B ) )
1511, 12, 14syl56 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( (
( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B
) ) )
161, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  ( A  \  B
)  ->  ( (
( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B
) ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( ( ( A 
\  B )  i^i  x )  =  (/)  ->  x  C_  B )
) )
1817imp32 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  C_  B
)
19 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
2019biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  B )
)
21 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
2220, 21nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  y  =  x
) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  -.  y  =  x
)
2423adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  -.  y  =  x )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  y  =  x )
26 trel 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( Tr  B  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
2726expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Tr  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  x  e.  B ) ) )
2827imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Tr  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  B )
)
2928, 21nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Tr  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  x  e.  y
) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Tr  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  y )
) )
3130adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Tr  B  ->  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  ->  -.  x  e.  y
) ) )
3231imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Tr  B  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  x  e.  y )
3332adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  -.  x  e.  y )
34 ordwe 4900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
35 ssel2 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
3635, 11anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )
37 wecmpep 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (  _E  We  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
3834, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  A  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
3938adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  (
y  e.  x  \/  y  =  x  \/  x  e.  y ) )
4025, 33, 39ecase23d 1332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  (
( B  C_  A  /\  y  e.  B
)  /\  x  e.  ( A  \  B ) ) )  ->  y  e.  x )
4140exp44 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
y  e.  B  -> 
( x  e.  ( A  \  B )  ->  y  e.  x
) ) ) )
4241com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  x ) ) ) )
4342imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  x ) )
4443ssrdv 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  B  C_  x )
4544adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  B  C_  x
)
4618, 45eqssd 3516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  =  B )
4711ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  x  e.  A
)
4846, 47eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  /\  ( x  e.  ( A  \  B )  /\  ( ( A  \  B )  i^i  x
)  =  (/) ) )  ->  B  e.  A
)
4948rexlimdvaa 2950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  \  B ) ( ( A  \  B
)  i^i  x )  =  (/)  ->  B  e.  A ) )
5010, 49syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  /\  B  C_  A )  ->  (
( Ord  A  /\  ( A  \  B )  =/=  (/) )  ->  B  e.  A ) )
5150exp4b 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( Ord  A  ->  ( ( A  \  B )  =/=  (/)  ->  B  e.  A
) ) ) )
5251com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( Ord  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( ( A  \  B )  =/=  (/)  ->  B  e.  A
) ) ) )
5352adantrd 468 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  (
( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( A  \  B
)  =/=  (/)  ->  B  e.  A ) ) ) )
5453pm2.43i 47 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( A  \  B
)  =/=  (/)  ->  B  e.  A ) ) )
557, 54syl7 68 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  (
( B  C_  A  /\  B  =/=  A
)  ->  B  e.  A ) ) )
5655exp4a 606 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  A  ->  B  e.  A ) ) ) )
5756pm2.43d 48 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  A  ->  B  e.  A ) ) )
5857impd 431 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  (
( B  C_  A  /\  B  =/=  A
)  ->  B  e.  A ) )
596, 58impbid 191 1  |-  ( ( Ord  A  /\  Tr  B )  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  C_  A  /\  B  =/= 
A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   Tr wtr 4550    _E cep 4798    Fr wfr 4844    We wwe 4846   Ord word 4886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890
This theorem is referenced by:  ordelssne  4914  dfon2  29398
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