Theorem tz7.49 6896

Description: Proposition 7.49 of [TakeutiZaring] p. 51. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.49.1	|- F Fn On
tz7.49.2	|- ( ph <-> A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tz7.49	|- ( ( A e. B /\ ph ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x, y)

Proof of Theorem tz7.49

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2606	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
2	1	ralbii 2737	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
3		tz7.49.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph <-> A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
4		ralim 2785	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) -> ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
5	3, 4	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
6	2, 5	syl5bir 218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
7		tz7.49.1	. . . . . . . . 9 |- F Fn On
8	7	tz7.48-3 6895	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) -> -. A e. _V )
9		elex 2979	. . . . . . . 8 |- ( A e. B -> A e. _V )
10	8, 9	nsyl3 119	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> -. A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) )
11	6, 10	nsyli 141	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. B -> -. A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) )
12		dfrex2 2726	. . . . . 6 |- ( E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) <-> -. A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
13	11, 12	syl6ibr 227	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) )
14		imaeq2 5162	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( F " x ) = ( F " y ) )
15	14	difeq2d 3471	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A \ ( F " x ) ) = ( A \ ( F " y ) ) )
16	15	eqeq1d 2449	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) <-> ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
17	16	onminex 6417	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
18	13, 17	syl6 33	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) ) )
19		df-ne 2606	. . . . . . 7 |- ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) <-> -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) )
20	19	ralbii 2737	. . . . . 6 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) <-> A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) )
21	20	anbi2i 689	. . . . 5 |- ( ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) <-> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
22	21	rexbii 2738	. . . 4 |- ( E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) <-> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
23	18, 22	syl6ibr 227	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) ) )
24		nfra1 2764	. . . . 5 |- F/ x A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) )
25	3, 24	nfxfr 1620	. . . 4 |- F/ x ph
26		simpllr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) )
27		fnfun 5505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn On -> Fun F )
28	7, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun F
29		fvelima 5740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " x ) ) -> E. y e. x ( F ` y ) = z )
30	28, 29	mpan 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( F " x ) -> E. y e. x ( F ` y ) = z )
31		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ph
32		nfra1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/)
33	31, 32	nfan 1865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) )
34		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( x e. On -> z e. A )
35		rsp 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( y e. x -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
36	35	adantld 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
37		onelon 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
38	15	neeq1d 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = y -> ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
39		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
40	39, 15	eleq12d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) <-> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) )
41	38, 40	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = y -> ( ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) <-> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
42	41	rspcv 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. On -> ( A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
43	3, 42	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. On -> ( ph -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
44	43	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. On -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
45	37, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
46	36, 45	sylcom 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
47	46	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
48	47	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) )
49	48	exp3acom23 1420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( x e. On -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
50		eldifi 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( F ` y ) e. A )
51		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` y ) = z -> ( ( F ` y ) e. A <-> z e. A ) )
52	50, 51	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( ( F ` y ) = z -> z e. A ) )
53	49, 52	syl8 70	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( x e. On -> ( ( F ` y ) = z -> z e. A ) ) ) )
54	53	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( ( F ` y ) = z -> ( x e. On -> z e. A ) ) ) )
55	33, 34, 54	rexlimd 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( E. y e. x ( F ` y ) = z -> ( x e. On -> z e. A ) ) )
56	30, 55	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( z e. ( F " x ) -> ( x e. On -> z e. A ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( x e. On -> ( z e. ( F " x ) -> z e. A ) ) )
58	57	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> ( z e. ( F " x ) -> z e. A ) )
59	58	ssrdv 3359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> ( F " x ) C_ A )
60		ssdif0 3734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ ( F " x ) <-> ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
61	60	biimpri 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> A C_ ( F " x ) )
62	59, 61	anim12i 563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( ( F " x ) C_ A /\ A C_ ( F " x ) ) )
63		eqss 3368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) = A <-> ( ( F " x ) C_ A /\ A C_ ( F " x ) ) )
64	62, 63	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( F " x ) = A )
65		onss 6401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> x C_ On )
66	32, 31	nfan 1865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph )
67		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y x C_ On
68	66, 67	nfan 1865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On )
69		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ z ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x )
70		ssel 3347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> y e. On ) )
71		onss 6401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. On -> y C_ On )
72		fndm 5507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F Fn On -> dom F = On )
73	7, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- dom F = On
74	71, 73	syl6sseqr 3400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. On -> y C_ dom F )
75		funfvima2 5950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Fun F /\ y C_ dom F ) -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) )
76	28, 74, 75	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. On -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) )
77	70, 76	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) ) )
78	35	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) ) )
80	70, 79, 44	syl10 73	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) ) )
81	80	imp4a 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
82		eldifn 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> -. ( F ` y ) e. ( F " y ) )
83		eleq1a 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> ( F ` y ) e. ( F " y ) ) )
84	83	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( -. ( F ` y ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
85	82, 84	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
86	81, 85	syl8 70	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
87	86	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
88	77, 87	syldd 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
89	88	com4r 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
90	89	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x ) -> ( z e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
91	69, 90	ralrimi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x ) -> A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) )
92	91	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) -> ( y e. x -> A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
93	68, 92	ralrimi 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) -> A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) )
94	93	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
95	94	ancld 550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> ( x C_ On /\ A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) )
96	7	tz7.48lem 6892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ On /\ A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> Fun `' ( F |` x ) )
97	65, 95, 96	syl56 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x e. On -> Fun `' ( F |` x ) ) )
98	97	ancoms 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( x e. On -> Fun `' ( F |` x ) ) )
99	98	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> Fun `' ( F |` x ) )
100	99	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> Fun `' ( F |` x ) )
101	26, 64, 100	3jca 1163	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )
102	101	exp41 607	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( x e. On -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
103	102	com23 78	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. On -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
104	103	com34 83	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. On -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
105	104	imp4a 586	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. On -> ( ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) )
106	25, 105	reximdai 2822	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) )
107	23, 106	syld 44	. 2 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) )
108	107	impcom 430	1 |- ( ( A e. B /\ ph ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   C_ wss 3325   (/)c0 3634   Oncon0 4715   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409   Fn wfn 5410   ` cfv 5415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423

This theorem is referenced by:  tz7.49c  6897