Theorem tz7.49 7110

Description: Proposition 7.49 of [TakeutiZaring] p. 51. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.49.1	|- F Fn On
tz7.49.2	|- ( ph <-> A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tz7.49	|- ( ( A e. B /\ ph ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x, y)

Proof of Theorem tz7.49

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
2	1	ralbii 2895	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
3		tz7.49.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph <-> A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
4		ralim 2853	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) -> ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
5	3, 4	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. On ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
6	2, 5	syl5bir 218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) )
7		tz7.49.1	. . . . . . . . 9 |- F Fn On
8	7	tz7.48-3 7109	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) -> -. A e. _V )
9		elex 3122	. . . . . . . 8 |- ( A e. B -> A e. _V )
10	8, 9	nsyl3 119	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> -. A. x e. On ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) )
11	6, 10	nsyli 141	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. B -> -. A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) )
12		dfrex2 2915	. . . . . 6 |- ( E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) <-> -. A. x e. On -. ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
13	11, 12	syl6ibr 227	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) )
14		imaeq2 5333	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( F " x ) = ( F " y ) )
15	14	difeq2d 3622	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A \ ( F " x ) ) = ( A \ ( F " y ) ) )
16	15	eqeq1d 2469	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) <-> ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
17	16	onminex 6626	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
18	13, 17	syl6 33	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) ) )
19		df-ne 2664	. . . . . . 7 |- ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) <-> -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) )
20	19	ralbii 2895	. . . . . 6 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) <-> A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) )
21	20	anbi2i 694	. . . . 5 |- ( ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) <-> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
22	21	rexbii 2965	. . . 4 |- ( E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) <-> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x -. ( A \ ( F " y ) ) = (/) ) )
23	18, 22	syl6ibr 227	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) ) )
24		nfra1 2845	. . . . 5 |- F/ x A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) )
25	3, 24	nfxfr 1625	. . . 4 |- F/ x ph
26		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) )
27		fnfun 5678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn On -> Fun F )
28	7, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun F
29		fvelima 5919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " x ) ) -> E. y e. x ( F ` y ) = z )
30	28, 29	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( F " x ) -> E. y e. x ( F ` y ) = z )
31		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ph
32		nfra1 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/)
33	31, 32	nfan 1875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) )
34		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( x e. On -> z e. A )
35		rsp 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( y e. x -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
36	35	adantld 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
37		onelon 4903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
38	15	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = y -> ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) <-> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
39		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
40	39, 15	eleq12d 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) <-> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) )
41	38, 40	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = y -> ( ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) <-> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
42	41	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. On -> ( A. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) =/= (/) -> ( F ` x ) e. ( A \ ( F " x ) ) ) -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
43	3, 42	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. On -> ( ph -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
44	43	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. On -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
45	37, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
46	36, 45	sylcom 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
47	46	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
48	47	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) )
49	48	expcomd 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( x e. On -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
50		eldifi 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( F ` y ) e. A )
51		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` y ) = z -> ( ( F ` y ) e. A <-> z e. A ) )
52	50, 51	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( ( F ` y ) = z -> z e. A ) )
53	49, 52	syl8 70	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( x e. On -> ( ( F ` y ) = z -> z e. A ) ) ) )
54	53	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( y e. x -> ( ( F ` y ) = z -> ( x e. On -> z e. A ) ) ) )
55	33, 34, 54	rexlimd 2947	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( E. y e. x ( F ` y ) = z -> ( x e. On -> z e. A ) ) )
56	30, 55	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( z e. ( F " x ) -> ( x e. On -> z e. A ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( x e. On -> ( z e. ( F " x ) -> z e. A ) ) )
58	57	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> ( z e. ( F " x ) -> z e. A ) )
59	58	ssrdv 3510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> ( F " x ) C_ A )
60		ssdif0 3885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ ( F " x ) <-> ( A \ ( F " x ) ) = (/) )
61	60	biimpri 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> A C_ ( F " x ) )
62	59, 61	anim12i 566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( ( F " x ) C_ A /\ A C_ ( F " x ) ) )
63		eqss 3519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) = A <-> ( ( F " x ) C_ A /\ A C_ ( F " x ) ) )
64	62, 63	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( F " x ) = A )
65		onss 6610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> x C_ On )
66	32, 31	nfan 1875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph )
67		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y x C_ On
68	66, 67	nfan 1875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On )
69		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ z ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x )
70		ssel 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> y e. On ) )
71		onss 6610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. On -> y C_ On )
72		fndm 5680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( F Fn On -> dom F = On )
73	7, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- dom F = On
74	71, 73	syl6sseqr 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. On -> y C_ dom F )
75		funfvima2 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Fun F /\ y C_ dom F ) -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) )
76	28, 74, 75	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. On -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) )
77	70, 76	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F " y ) ) ) )
78	35	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) ) )
80	70, 79, 44	syl10 73	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ph -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) ) )
81	80	imp4a 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) ) ) )
82		eldifn 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> -. ( F ` y ) e. ( F " y ) )
83		eleq1a 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> ( F ` y ) e. ( F " y ) ) )
84	83	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( -. ( F ` y ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
85	82, 84	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` y ) e. ( A \ ( F " y ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
86	81, 85	syl8 70	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
87	86	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( ( F ` z ) e. ( F " y ) -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
88	77, 87	syldd 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
89	88	com4r 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> ( y e. x -> ( z e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) ) )
90	89	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x ) -> ( z e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
91	69, 90	ralrimi 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) /\ y e. x ) -> A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) )
92	91	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) -> ( y e. x -> A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
93	68, 92	ralrimi 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) /\ x C_ On ) -> A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) )
94	93	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
95	94	ancld 553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x C_ On -> ( x C_ On /\ A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) ) )
96	7	tz7.48lem 7106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ On /\ A. y e. x A. z e. y -. ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> Fun `' ( F |` x ) )
97	65, 95, 96	syl56 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ph ) -> ( x e. On -> Fun `' ( F |` x ) ) )
98	97	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( x e. On -> Fun `' ( F |` x ) ) )
99	98	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) -> Fun `' ( F |` x ) )
100	99	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> Fun `' ( F |` x ) )
101	26, 64, 100	3jca 1176	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) /\ x e. On ) /\ ( A \ ( F " x ) ) = (/) ) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )
102	101	exp41 610	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( x e. On -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
103	102	com23 78	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. On -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
104	103	com34 83	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. On -> ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) ) )
105	104	imp4a 589	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. On -> ( ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) ) )
106	25, 105	reximdai 2933	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. On ( ( A \ ( F " x ) ) = (/) /\ A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) )
107	23, 106	syld 44	. 2 |- ( ph -> ( A e. B -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) ) )
108	107	impcom 430	1 |- ( ( A e. B /\ ph ) -> E. x e. On ( A. y e. x ( A \ ( F " y ) ) =/= (/) /\ ( F " x ) = A /\ Fun `' ( F |` x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   (/)c0 3785   Oncon0 4878   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   Fn wfn 5583   ` cfv 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596

This theorem is referenced by:  tz7.49c  7111