MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz7.49 Structured version   Unicode version

Theorem tz7.49 6900
Description: Proposition 7.49 of [TakeutiZaring] p. 51. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.49.1  |-  F  Fn  On
tz7.49.2  |-  ( ph  <->  A. x  e.  On  (
( A  \  ( F " x ) )  =/=  (/)  ->  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F
" x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tz7.49  |-  ( ( A  e.  B  /\  ph )  ->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ( F " x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x, y)

Proof of Theorem tz7.49
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  ( F
" x ) )  =/=  (/)  <->  -.  ( A  \  ( F " x
) )  =  (/) )
21ralbii 2739 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ( A  \  ( F "
x ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  On  -.  ( A  \  ( F " x ) )  =  (/) )
3 tz7.49.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  <->  A. x  e.  On  (
( A  \  ( F " x ) )  =/=  (/)  ->  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F
" x ) ) ) )
4 ralim 2787 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  On  (
( A  \  ( F " x ) )  =/=  (/)  ->  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F
" x ) ) )  ->  ( A. x  e.  On  ( A  \  ( F "
x ) )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  ( A  \ 
( F " x
) ) ) )
53, 4sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  On  ( A  \ 
( F " x
) )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F
" x ) ) ) )
62, 5syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  On  -.  ( A 
\  ( F "
x ) )  =  (/)  ->  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  ( A  \ 
( F " x
) ) ) )
7 tz7.49.1 . . . . . . . . 9  |-  F  Fn  On
87tz7.48-3 6899 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F " x ) )  ->  -.  A  e.  _V )
9 elex 2981 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
108, 9nsyl3 119 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A. x  e.  On  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F " x ) ) )
116, 10nsyli 141 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  -.  A. x  e.  On  -.  ( A 
\  ( F "
x ) )  =  (/) ) )
12 dfrex2 2728 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  On  ( A  \  ( F "
x ) )  =  (/) 
<->  -.  A. x  e.  On  -.  ( A 
\  ( F "
x ) )  =  (/) )
1311, 12syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  On  ( A  \  ( F " x ) )  =  (/) ) )
14 imaeq2 5165 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
1514difeq2d 3474 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  ( F "
x ) )  =  ( A  \  ( F " y ) ) )
1615eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  ( F " x ) )  =  (/)  <->  ( A  \ 
( F " y
) )  =  (/) ) )
1716onminex 6418 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  ( A  \  ( F "
x ) )  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( ( A  \ 
( F " x
) )  =  (/)  /\ 
A. y  e.  x  -.  ( A  \  ( F " y ) )  =  (/) ) )
1813, 17syl6 33 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  On  ( ( A  \ 
( F " x
) )  =  (/)  /\ 
A. y  e.  x  -.  ( A  \  ( F " y ) )  =  (/) ) ) )
19 df-ne 2608 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  ( F
" y ) )  =/=  (/)  <->  -.  ( A  \  ( F " y
) )  =  (/) )
2019ralbii 2739 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. y  e.  x  -.  ( A  \  ( F " y ) )  =  (/) )
2120anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  ( F " x ) )  =  (/)  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  <->  ( ( A  \  ( F "
x ) )  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  ( A 
\  ( F "
y ) )  =  (/) ) )
2221rexbii 2740 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  (
( A  \  ( F " x ) )  =  (/)  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  On  ( ( A 
\  ( F "
x ) )  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  ( A 
\  ( F "
y ) )  =  (/) ) )
2318, 22syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  On  ( ( A  \ 
( F " x
) )  =  (/)  /\ 
A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/) ) ) )
24 nfra1 2766 . . . . 5  |-  F/ x A. x  e.  On  ( ( A  \ 
( F " x
) )  =/=  (/)  ->  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F " x ) ) )
253, 24nfxfr 1615 . . . 4  |-  F/ x ph
26 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F
" y ) )  =/=  (/) )  /\  x  e.  On )  /\  ( A  \  ( F "
x ) )  =  (/) )  ->  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )
27 fnfun 5508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  On  ->  Fun  F )
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  F
29 fvelima 5743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " x
) )  ->  E. y  e.  x  ( F `  y )  =  z )
3028, 29mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( F "
x )  ->  E. y  e.  x  ( F `  y )  =  z )
31 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
ph
32 nfra1 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)
3331, 32nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/) )
34 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( x  e.  On  ->  z  e.  A )
35 rsp 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/)  ->  ( y  e.  x  ->  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) ) )
3635adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/)  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/) ) )
37 onelon 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
3815neeq1d 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  ( F " x ) )  =/=  (/)  <->  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/) ) )
39 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
4039, 15eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  ( A 
\  ( F "
x ) )  <->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F
" y ) ) ) )
4138, 40imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  \ 
( F " x
) )  =/=  (/)  ->  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F " x ) ) )  <->  ( ( A 
\  ( F "
y ) )  =/=  (/)  ->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F
" y ) ) ) ) )
4241rspcv 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( ( A  \ 
( F " x
) )  =/=  (/)  ->  ( F `  x )  e.  ( A  \  ( F " x ) ) )  ->  ( ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/)  ->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F
" y ) ) ) ) )
433, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  On  ->  ( ph  ->  ( ( A 
\  ( F "
y ) )  =/=  (/)  ->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F
" y ) ) ) ) )
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  ->  ( ph  ->  ( F `  y
)  e.  ( A 
\  ( F "
y ) ) ) ) )
4537, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  ->  ( ph  ->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F
" y ) ) ) ) )
4636, 45sylcom 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/)  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( ph  ->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F
" y ) ) ) ) )
4746com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F
" y ) ) ) ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F " y ) ) ) )
4948expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  x  ->  ( x  e.  On  ->  ( F `  y
)  e.  ( A 
\  ( F "
y ) ) ) ) )
50 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  y )  e.  ( A  \ 
( F " y
) )  ->  ( F `  y )  e.  A )
51 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  A  <->  z  e.  A ) )
5250, 51syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  y )  e.  ( A  \ 
( F " y
) )  ->  (
( F `  y
)  =  z  -> 
z  e.  A ) )
5349, 52syl8 70 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  x  ->  ( x  e.  On  ->  ( ( F `  y )  =  z  ->  z  e.  A
) ) ) )
5453com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  x  ->  ( ( F `  y )  =  z  ->  ( x  e.  On  ->  z  e.  A ) ) ) )
5533, 34, 54rexlimd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( E. y  e.  x  ( F `  y )  =  z  ->  ( x  e.  On  ->  z  e.  A ) ) )
5630, 55syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( z  e.  ( F " x )  ->  ( x  e.  On  ->  z  e.  A ) ) )
5756com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  On  ->  ( z  e.  ( F " x )  ->  z  e.  A
) ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/) )  /\  x  e.  On )  ->  (
z  e.  ( F
" x )  -> 
z  e.  A ) )
5958ssrdv 3362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/) )  /\  x  e.  On )  ->  ( F " x )  C_  A )
60 ssdif0 3737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ( F "
x )  <->  ( A  \  ( F " x
) )  =  (/) )
6160biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  ( F
" x ) )  =  (/)  ->  A  C_  ( F " x ) )
6259, 61anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F
" y ) )  =/=  (/) )  /\  x  e.  On )  /\  ( A  \  ( F "
x ) )  =  (/) )  ->  ( ( F " x ) 
C_  A  /\  A  C_  ( F " x
) ) )
63 eqss 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x )  =  A  <->  ( ( F " x )  C_  A  /\  A  C_  ( F " x ) ) )
6462, 63sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F
" y ) )  =/=  (/) )  /\  x  e.  On )  /\  ( A  \  ( F "
x ) )  =  (/) )  ->  ( F
" x )  =  A )
65 onss 6402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  x  C_  On )
6632, 31nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )
67 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y  x  C_  On
6866, 67nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  /\  x  C_  On )
69 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ z ( ( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/)  /\  ph )  /\  x  C_  On )  /\  y  e.  x )
70 ssel 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  On ) )
71 onss 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  On  ->  y  C_  On )
72 fndm 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F  Fn  On  ->  dom  F  =  On )
737, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  F  =  On
7471, 73syl6sseqr 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  On  ->  y  C_ 
dom  F )
75 funfvima2 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  F  /\  y  C_ 
dom  F )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F " y ) ) )
7628, 74, 75sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  On  ->  (
z  e.  y  -> 
( F `  z
)  e.  ( F
" y ) ) )
7770, 76syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x 
C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  (
z  e.  y  -> 
( F `  z
)  e.  ( F
" y ) ) ) )
7835com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  ->  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) ) )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x 
C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  ->  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) ) ) )
8070, 79, 44syl10 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x 
C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  ->  ( ph  ->  ( F `  y
)  e.  ( A 
\  ( F "
y ) ) ) ) ) )
8180imp4a 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x 
C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  (
( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  ->  ( F `  y )  e.  ( A  \  ( F
" y ) ) ) ) )
82 eldifn 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  y )  e.  ( A  \ 
( F " y
) )  ->  -.  ( F `  y )  e.  ( F "
y ) )
83 eleq1a 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  z )  e.  ( F "
y )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" y ) ) )
8483con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  z )  e.  ( F "
y )  ->  ( -.  ( F `  y
)  e.  ( F
" y )  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 z ) ) )
8582, 84syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  y )  e.  ( A  \ 
( F " y
) )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F
" y )  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 z ) ) )
8681, 85syl8 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  (
( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  ->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " y
)  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) ) ) )
8786com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x 
C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F
" y )  -> 
( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) ) ) )
8877, 87syldd 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x 
C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  (
z  e.  y  -> 
( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) ) ) )
8988com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  /\  ph )  ->  ( x  C_  On  ->  ( y  e.  x  ->  ( z  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) ) ) )
9089imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  /\  x  C_  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( z  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) )
9169, 90ralrimi 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  /\  x  C_  On )  /\  y  e.  x
)  ->  A. z  e.  y  -.  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
9291ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  /\  x  C_  On )  ->  ( y  e.  x  ->  A. z  e.  y  -.  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) )
9368, 92ralrimi 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ph )  /\  x  C_  On )  ->  A. y  e.  x  A. z  e.  y  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 z ) )
9493ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  /\  ph )  ->  ( x  C_  On  ->  A. y  e.  x  A. z  e.  y  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 z ) ) )
9594ancld 553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  /\  ph )  ->  ( x  C_  On  ->  ( x  C_  On  /\ 
A. y  e.  x  A. z  e.  y  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 z ) ) ) )
967tz7.48lem 6896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  On  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  y  -.  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  x ) )
9765, 95, 96syl56 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  /\  ph )  ->  ( x  e.  On  ->  Fun  `' ( F  |`  x ) ) )
9897ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( x  e.  On  ->  Fun  `' ( F  |`  x ) ) )
9998imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/) )  /\  x  e.  On )  ->  Fun  `' ( F  |`  x
) )
10099adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F
" y ) )  =/=  (/) )  /\  x  e.  On )  /\  ( A  \  ( F "
x ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' ( F  |`  x ) )
10126, 64, 1003jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  x  ( A  \  ( F
" y ) )  =/=  (/) )  /\  x  e.  On )  /\  ( A  \  ( F "
x ) )  =  (/) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/)  /\  ( F "
x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x )
) )
102101exp41 610 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( A  \  ( F " x ) )  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/)  /\  ( F "
x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x )
) ) ) ) )
103102com23 78 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  ->  (
( A  \  ( F " x ) )  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F "
y ) )  =/=  (/)  /\  ( F "
x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x )
) ) ) ) )
104103com34 83 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  On  ->  ( ( A  \ 
( F " x
) )  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  /\  ( F
" x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x ) ) ) ) ) )
105104imp4a 589 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  On  ->  ( ( ( A 
\  ( F "
x ) )  =  (/)  /\  A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/) )  -> 
( A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ( F " x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x ) ) ) ) )
10625, 105reximdai 2824 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  On  ( ( A 
\  ( F "
x ) )  =  (/)  /\  A. y  e.  x  ( A  \ 
( F " y
) )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  /\  ( F
" x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x ) ) ) )
10723, 106syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y ) )  =/=  (/)  /\  ( F
" x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x ) ) ) )
108107impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  ph )  ->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( A  \  ( F " y
) )  =/=  (/)  /\  ( F " x )  =  A  /\  Fun  `' ( F  |`  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   (/)c0 3637   Oncon0 4719   `'ccnv 4839   dom cdm 4840    |` cres 4842   "cima 4843   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   ` cfv 5418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426
This theorem is referenced by:  tz7.49c  6901
  Copyright terms: Public domain W3C validator