Theorem tz7.48lem 7118

Description: A way of showing an ordinal function is one-to-one. (Contributed by NM, 9-Feb-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
tz7.48.1	|- F Fn On

Assertion

Ref	Expression
tz7.48lem	|- ( ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )

Distinct variable groups:   y, A, x   x, F, y   x, A

Proof of Theorem tz7.48lem

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r2al 2845	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
2		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x e. A )
3	2	anim1i 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ y e. x ) -> ( x e. A /\ y e. x ) )
4	3	imim1i 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
5	4	expd 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
6	5	2alimi 1615	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
7	1, 6	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) -> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
8		r2al 2845	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
9	7, 8	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) -> A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
10		elequ1 1770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( y e. x <-> w e. x ) )
11		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
12	11	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` x ) = ( F ` w ) ) )
13	12	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) )
14	10, 13	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) ) )
15	14	cbvralv 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> A. w e. A ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) )
16	15	ralbii 2898	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> A. x e. A A. w e. A ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) )
17		elequ2 1772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( w e. x <-> w e. z ) )
18		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
19	18	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = ( F ` w ) <-> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
20	19	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( -. ( F ` x ) = ( F ` w ) <-> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
21	17, 20	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) <-> ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
22	21	ralbidv 2906	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A. w e. A ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) <-> A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
23	22	cbvralv 3093	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. w e. A ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
24		elequ1 1770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
25		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = x -> ( F ` w ) = ( F ` x ) )
26	25	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = x -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> ( F ` z ) = ( F ` x ) ) )
27	26	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( -. ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) )
28	24, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) <-> ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) ) )
29	28	cbvralv 3093	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) <-> A. x e. A ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) )
30	29	ralbii 2898	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) <-> A. z e. A A. x e. A ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) )
31		elequ2 1772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
32		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
33	32	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) = ( F ` x ) <-> ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
34	33	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( -. ( F ` z ) = ( F ` x ) <-> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
35	31, 34	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) <-> ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) )
36	35	ralbidv 2906	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( A. x e. A ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) <-> A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) )
37	36	cbvralv 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A A. x e. A ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) <-> A. y e. A A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
38	30, 37	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) <-> A. y e. A A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
39	16, 23, 38	3bitri 271	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
40		ralcom2 3031	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
41	39, 40	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
42	41	ancri 552	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
43		r19.26-2 2995	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
44	42, 43	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
45	9, 44	syl 16	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
46		fvres 5886	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
47		fvres 5886	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
48	46, 47	eqeqan12d 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
49	48	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ On /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
50		ssel 3503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ On -> ( x e. A -> x e. On ) )
51		ssel 3503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> y e. On ) )
52	50, 51	anim12d 563	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ On -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x e. On /\ y e. On ) ) )
53		pm3.48 831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( x e. y \/ y e. x ) -> ( -. ( F ` y ) = ( F ` x ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
54		oridm 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) )
55		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
56	55	notbii 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) )
57	56	orbi1i 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> ( -. ( F ` y ) = ( F ` x ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
58	54, 57	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( -. ( F ` y ) = ( F ` x ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
59	53, 58	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( x e. y \/ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
60	59	con2d 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> -. ( x e. y \/ y e. x ) ) )
61		eloni 4894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> Ord x )
62		eloni 4894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> Ord y )
63		ordtri3 4920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord x /\ Ord y ) -> ( x = y <-> -. ( x e. y \/ y e. x ) ) )
64	63	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord x /\ Ord y ) -> ( -. ( x e. y \/ y e. x ) -> x = y ) )
65	61, 62, 64	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( -. ( x e. y \/ y e. x ) -> x = y ) )
66	60, 65	syl9r 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
67	52, 66	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ On -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
68	67	imp32 433	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ On /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
69	49, 68	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ On /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) )
70	69	exp32 605	. . . . . . 7 |- ( A C_ On -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
71	70	a2d 26	. . . . . 6 |- ( A C_ On -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
72	71	2alimdv 1687	. . . . 5 |- ( A C_ On -> ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) -> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
73		r2al 2845	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) )
74		r2al 2845	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
75	72, 73, 74	3imtr4g 270	. . . 4 |- ( A C_ On -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
76	45, 75	syl5 32	. . 3 |- ( A C_ On -> ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
77	76	imdistani 690	. 2 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
78		tz7.48.1	. . . 4 |- F Fn On
79		fnssres 5700	. . . 4 |- ( ( F Fn On /\ A C_ On ) -> ( F |` A ) Fn A )
80	78, 79	mpan 670	. . 3 |- ( A C_ On -> ( F |` A ) Fn A )
81		dffn2 5738	. . . 4 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> ( F |` A ) : A --> _V )
82		dff13 6165	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) : A -1-1-> _V <-> ( ( F |` A ) : A --> _V /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
83		df-f1 5599	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) : A -1-1-> _V <-> ( ( F |` A ) : A --> _V /\ Fun `' ( F |` A ) ) )
84	82, 83	bitr3i 251	. . . . 5 |- ( ( ( F |` A ) : A --> _V /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) <-> ( ( F |` A ) : A --> _V /\ Fun `' ( F |` A ) ) )
85	84	simprbi 464	. . . 4 |- ( ( ( F |` A ) : A --> _V /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )
86	81, 85	sylanb 472	. . 3 |- ( ( ( F |` A ) Fn A /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )
87	80, 86	sylan 471	. 2 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )
88	77, 87	syl 16	1 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   Ord word 4883   Oncon0 4884   `'ccnv 5004   |` cres 5007   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-res 5017  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fv 5602

This theorem is referenced by:  tz7.48-2  7119  tz7.49  7122  zorn2lem4  8891