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Theorem tz7.48lem 7158
Description: A way of showing an ordinal function is one-to-one. (Contributed by NM, 9-Feb-1997.)
Hypothesis
Ref Expression
tz7.48.1  |-  F  Fn  On
Assertion
Ref Expression
tz7.48lem  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
Distinct variable groups:    y, A, x    x, F, y    x, A

Proof of Theorem tz7.48lem
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r2al 2766 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
2 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )
32anim1i 572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  y  e.  x )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  x )
)
43imim1i 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x
)  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
54expd 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x
)  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
652alimi 1685 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
71, 6sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
8 r2al 2766 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
97, 8sylibr 216 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
10 elequ1 1894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  x  <->  w  e.  x ) )
11 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
1211eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1312notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1410, 13imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) ) )
1514cbvralv 3019 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1615ralbii 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
17 elequ2 1901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  z ) )
18 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1918eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2019notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 w )  <->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2117, 20imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )  <->  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
2221ralbidv 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
2322cbvralv 3019 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
24 elequ1 1894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
25 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
2625eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
2726notbid 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
2824, 27imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  <->  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) ) )
2928cbvralv 3019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
3029ralbii 2819 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
31 elequ2 1901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
32 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
3332eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3433notbid 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 x )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3531, 34imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )  <->  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
3635ralbidv 2827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
3736cbvralv 3019 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 x ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3830, 37bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3916, 23, 383bitri 275 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
40 ralcom2 2955 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4139, 40sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4241ancri 555 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
43 r19.26-2 2918 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
4442, 43sylibr 216 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
459, 44syl 17 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
46 fvres 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
47 fvres 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
4846, 47eqeqan12d 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
4948ad2antrl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
50 ssel 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  On ) )
51 ssel 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  On ) )
5250, 51anim12d 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) ) )
53 pm3.48 844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  \/ 
-.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
54 oridm 517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  \/  -.  ( F `
 x )  =  ( F `  y
) )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
55 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
5655notbii 298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
5756orbi1i 523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  \/  -.  ( F `
 x )  =  ( F `  y
) )  <->  ( -.  ( F `  y )  =  ( F `  x )  \/  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
5854, 57bitr3i 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( -.  ( F `  y )  =  ( F `  x )  \/  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
5953, 58syl6ibr 231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
6059con2d 119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  -.  (
x  e.  y  \/  y  e.  x ) ) )
61 eloni 5433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
62 eloni 5433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
63 ordtri3 5459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  =  y  <->  -.  (
x  e.  y  \/  y  e.  x ) ) )
6463biimprd 227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  ( -.  ( x  e.  y  \/  y  e.  x
)  ->  x  =  y ) )
6561, 62, 64syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( -.  ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  x  =  y ) )
6660, 65syl9r 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
6752, 66syl6 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
6867imp32 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
6949, 68sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )
7069exp32 610 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
7170a2d 29 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
72712alimdv 1765 . . . . 5  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
)  ->  x  =  y ) ) ) )
73 r2al 2766 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )
74 r2al 2766 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
7572, 73, 743imtr4g 274 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
7645, 75syl5 33 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
7776imdistani 696 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  C_  On  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
78 tz7.48.1 . . . 4  |-  F  Fn  On
79 fnssres 5689 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  On  /\  A  C_  On )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
8078, 79mpan 676 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  ( F  |`  A )  Fn  A
)
81 dffn2 5730 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  ( F  |`  A ) : A --> _V )
82 dff13 6159 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-> _V  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x )  =  ( ( F  |`  A ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
83 df-f1 5587 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-> _V  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  Fun  `' ( F  |`  A )
) )
8482, 83bitr3i 255 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  Fun  `' ( F  |`  A )
) )
8584simprbi 466 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8681, 85sylanb 475 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A )  Fn  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8780, 86sylan 474 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8877, 87syl 17 1  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   `'ccnv 4833    |` cres 4836   Ord word 5422   Oncon0 5423   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-res 4846  df-ord 5426  df-on 5427  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fv 5590
This theorem is referenced by:  tz7.48-2  7159  tz7.49  7162  zorn2lem4  8929
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