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Theorem tz7.48lem 7142
Description: A way of showing an ordinal function is one-to-one. (Contributed by NM, 9-Feb-1997.)
Hypothesis
Ref Expression
tz7.48.1  |-  F  Fn  On
Assertion
Ref Expression
tz7.48lem  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
Distinct variable groups:    y, A, x    x, F, y    x, A

Proof of Theorem tz7.48lem
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r2al 2781 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
2 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )
32anim1i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  y  e.  x )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  x )
)
43imim1i 57 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x
)  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
54expd 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x
)  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
652alimi 1655 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
71, 6sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
8 r2al 2781 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
97, 8sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
10 elequ1 1845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  x  <->  w  e.  x ) )
11 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
1211eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1312notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1410, 13imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) ) )
1514cbvralv 3033 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1615ralbii 2834 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
17 elequ2 1847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  z ) )
18 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1918eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2019notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 w )  <->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2117, 20imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )  <->  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
2221ralbidv 2842 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
2322cbvralv 3033 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
24 elequ1 1845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
25 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
2625eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
2726notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
2824, 27imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  <->  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) ) )
2928cbvralv 3033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
3029ralbii 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
31 elequ2 1847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
32 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
3332eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3433notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 x )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3531, 34imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )  <->  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
3635ralbidv 2842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
3736cbvralv 3033 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 x ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3830, 37bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3916, 23, 383bitri 271 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
40 ralcom2 2971 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4139, 40sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4241ancri 550 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
43 r19.26-2 2934 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
4442, 43sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
459, 44syl 17 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
46 fvres 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
47 fvres 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
4846, 47eqeqan12d 2425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
4948ad2antrl 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
50 ssel 3435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  On ) )
51 ssel 3435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  On ) )
5250, 51anim12d 561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) ) )
53 pm3.48 834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  \/ 
-.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
54 oridm 512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  \/  -.  ( F `
 x )  =  ( F `  y
) )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
55 eqcom 2411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
5655notbii 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
5756orbi1i 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  \/  -.  ( F `
 x )  =  ( F `  y
) )  <->  ( -.  ( F `  y )  =  ( F `  x )  \/  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
5854, 57bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( -.  ( F `  y )  =  ( F `  x )  \/  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
5953, 58syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
6059con2d 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  -.  (
x  e.  y  \/  y  e.  x ) ) )
61 eloni 5419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
62 eloni 5419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
63 ordtri3 5445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  =  y  <->  -.  (
x  e.  y  \/  y  e.  x ) ) )
6463biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  ( -.  ( x  e.  y  \/  y  e.  x
)  ->  x  =  y ) )
6561, 62, 64syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( -.  ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  x  =  y ) )
6660, 65syl9r 71 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
6752, 66syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
6867imp32 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
6949, 68sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )
7069exp32 603 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
7170a2d 26 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
72712alimdv 1732 . . . . 5  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
)  ->  x  =  y ) ) ) )
73 r2al 2781 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )
74 r2al 2781 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
7572, 73, 743imtr4g 270 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
7645, 75syl5 30 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
7776imdistani 688 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  C_  On  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
78 tz7.48.1 . . . 4  |-  F  Fn  On
79 fnssres 5674 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  On  /\  A  C_  On )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
8078, 79mpan 668 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  ( F  |`  A )  Fn  A
)
81 dffn2 5714 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  ( F  |`  A ) : A --> _V )
82 dff13 6146 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-> _V  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x )  =  ( ( F  |`  A ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
83 df-f1 5573 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-> _V  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  Fun  `' ( F  |`  A )
) )
8482, 83bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  Fun  `' ( F  |`  A )
) )
8584simprbi 462 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8681, 85sylanb 470 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A )  Fn  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8780, 86sylan 469 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8877, 87syl 17 1  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   `'ccnv 4821    |` cres 4824   Ord word 5408   Oncon0 5409   Fun wfun 5562    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -1-1->wf1 5565   ` cfv 5568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-res 4834  df-ord 5412  df-on 5413  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fv 5576
This theorem is referenced by:  tz7.48-2  7143  tz7.49  7146  zorn2lem4  8910
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