Theorem tz7.48lem 7009

Description: A way of showing an ordinal function is one-to-one. (Contributed by NM, 9-Feb-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
tz7.48.1	|- F Fn On

Assertion

Ref	Expression
tz7.48lem	|- ( ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )

Distinct variable groups:   y, A, x   x, F, y   x, A

Proof of Theorem tz7.48lem

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r2al 2877	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
2		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> x e. A )
3	2	anim1i 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ y e. x ) -> ( x e. A /\ y e. x ) )
4	3	imim1i 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
5	4	expd 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
6	5	2alimi 1606	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
7	1, 6	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) -> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
8		r2al 2877	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
9	7, 8	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) -> A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
10		elequ1 1761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( y e. x <-> w e. x ) )
11		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
12	11	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` x ) = ( F ` w ) ) )
13	12	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) )
14	10, 13	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) ) )
15	14	cbvralv 3053	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> A. w e. A ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) )
16	15	ralbii 2839	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> A. x e. A A. w e. A ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) )
17		elequ2 1763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( w e. x <-> w e. z ) )
18		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
19	18	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) = ( F ` w ) <-> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
20	19	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( -. ( F ` x ) = ( F ` w ) <-> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
21	17, 20	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) <-> ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
22	21	ralbidv 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A. w e. A ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) <-> A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
23	22	cbvralv 3053	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. w e. A ( w e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` w ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
24		elequ1 1761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
25		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = x -> ( F ` w ) = ( F ` x ) )
26	25	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = x -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> ( F ` z ) = ( F ` x ) ) )
27	26	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( -. ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) )
28	24, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) <-> ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) ) )
29	28	cbvralv 3053	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) <-> A. x e. A ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) )
30	29	ralbii 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) <-> A. z e. A A. x e. A ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) )
31		elequ2 1763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
32		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
33	32	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) = ( F ` x ) <-> ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
34	33	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( -. ( F ` z ) = ( F ` x ) <-> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
35	31, 34	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) <-> ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) )
36	35	ralbidv 2846	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( A. x e. A ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) <-> A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) ) )
37	36	cbvralv 3053	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A A. x e. A ( x e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` x ) ) <-> A. y e. A A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
38	30, 37	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A A. w e. A ( w e. z -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) ) <-> A. y e. A A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
39	16, 23, 38	3bitri 271	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
40		ralcom2 2991	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A A. x e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
41	39, 40	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
42	41	ancri 552	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
43		r19.26-2 2956	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
44	42, 43	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
45	9, 44	syl 16	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
46		fvres 5816	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
47		fvres 5816	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
48	46, 47	eqeqan12d 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
49	48	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ On /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
50		ssel 3461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ On -> ( x e. A -> x e. On ) )
51		ssel 3461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> y e. On ) )
52	50, 51	anim12d 563	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ On -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x e. On /\ y e. On ) ) )
53		pm3.48 829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( x e. y \/ y e. x ) -> ( -. ( F ` y ) = ( F ` x ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
54		oridm 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) )
55		eqcom 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
56	55	notbii 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) )
57	56	orbi1i 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> ( -. ( F ` y ) = ( F ` x ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
58	54, 57	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( -. ( F ` y ) = ( F ` x ) \/ -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
59	53, 58	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( x e. y \/ y e. x ) -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
60	59	con2d 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> -. ( x e. y \/ y e. x ) ) )
61		eloni 4840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> Ord x )
62		eloni 4840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> Ord y )
63		ordtri3 4866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord x /\ Ord y ) -> ( x = y <-> -. ( x e. y \/ y e. x ) ) )
64	63	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord x /\ Ord y ) -> ( -. ( x e. y \/ y e. x ) -> x = y ) )
65	61, 62, 64	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( -. ( x e. y \/ y e. x ) -> x = y ) )
66	60, 65	syl9r 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
67	52, 66	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ On -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
68	67	imp32 433	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ On /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
69	49, 68	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ On /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) )
70	69	exp32 605	. . . . . . 7 |- ( A C_ On -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
71	70	a2d 26	. . . . . 6 |- ( A C_ On -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
72	71	2alimdv 1678	. . . . 5 |- ( A C_ On -> ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) -> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
73		r2al 2877	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) ) )
74		r2al 2877	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
75	72, 73, 74	3imtr4g 270	. . . 4 |- ( A C_ On -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( x e. y -> -. ( F ` y ) = ( F ` x ) ) /\ ( y e. x -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
76	45, 75	syl5 32	. . 3 |- ( A C_ On -> ( A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
77	76	imdistani 690	. 2 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
78		tz7.48.1	. . . 4 |- F Fn On
79		fnssres 5635	. . . 4 |- ( ( F Fn On /\ A C_ On ) -> ( F |` A ) Fn A )
80	78, 79	mpan 670	. . 3 |- ( A C_ On -> ( F |` A ) Fn A )
81		dffn2 5671	. . . 4 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> ( F |` A ) : A --> _V )
82		dff13 6083	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) : A -1-1-> _V <-> ( ( F |` A ) : A --> _V /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) )
83		df-f1 5534	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) : A -1-1-> _V <-> ( ( F |` A ) : A --> _V /\ Fun `' ( F |` A ) ) )
84	82, 83	bitr3i 251	. . . . 5 |- ( ( ( F |` A ) : A --> _V /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) <-> ( ( F |` A ) : A --> _V /\ Fun `' ( F |` A ) ) )
85	84	simprbi 464	. . . 4 |- ( ( ( F |` A ) : A --> _V /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )
86	81, 85	sylanb 472	. . 3 |- ( ( ( F |` A ) Fn A /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )
87	80, 86	sylan 471	. 2 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ( F |` A ) ` x ) = ( ( F |` A ) ` y ) -> x = y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )
88	77, 87	syl 16	1 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. A A. y e. x -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> Fun `' ( F |` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   Ord word 4829   Oncon0 4830   `'ccnv 4950   |` cres 4953   Fun wfun 5523   Fn wfn 5524   -->wf 5525   -1-1->wf1 5526   ` cfv 5529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-res 4963  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fv 5537

This theorem is referenced by:  tz7.48-2  7010  tz7.49  7013  zorn2lem4  8782