Theorem tz7.44-3 6863

Description: The value of F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.44.1	|- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
tz7.44.2	|- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
tz7.44.3	|- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
tz7.44.4	|- F Fn X
tz7.44.5	|- Ord X

Assertion

Ref	Expression
tz7.44-3	|- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y   y, G   x, H   y, X

Allowed substitution hints:   A( y)   G( x)   H( y)   X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( F ` y ) = ( F ` B ) )
2		reseq2 5104	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( F |` y ) = ( F |` B ) )
3	2	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( G ` ( F |` y ) ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2456	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) <-> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) ) )
5		tz7.44.2	. . . . 5 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
6	4, 5	vtoclga 3035	. . . 4 |- ( B e. X -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
7	6	adantr 465	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
8	2	eleq1d 2508	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ( F |` y ) e. _V <-> ( F |` B ) e. _V ) )
9		tz7.44.3	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
10	8, 9	vtoclga 3035	. . . . . 6 |- ( B e. X -> ( F |` B ) e. _V )
11	10	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F |` B ) e. _V )
12		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim B )
13		nlim0 4776	. . . . . . . . . . 11 |- -. Lim (/)
14		dmres 5130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` B ) = ( B i^i dom F )
15		tz7.44.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord X
16		ordelss 4734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B C_ X )
17	15, 16	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. X -> B C_ X )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ X )
19		tz7.44.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F Fn X
20		fndm 5509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn X -> dom F = X )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom F = X
22	18, 21	syl6sseqr 3402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ dom F )
23		df-ss 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C_ dom F <-> ( B i^i dom F ) = B )
24	22, 23	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( B i^i dom F ) = B )
25	14, 24	syl5eq 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> dom ( F |` B ) = B )
26		dmeq 5039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = dom (/) )
27		dm0 5052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = (/) )
29	25, 28	sylan9req 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> B = (/) )
30		limeq 4730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = (/) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
32	13, 31	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> -. Lim B )
33	32	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( ( F |` B ) = (/) -> -. Lim B ) )
34	12, 33	mt2d 117	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> -. ( F |` B ) = (/) )
35		iffalse 3798	. . . . . . . 8 |- ( -. ( F |` B ) = (/) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
37		limeq 4730	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` B ) = B -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
38	25, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
39	12, 38	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim dom ( F |` B ) )
40		iftrue 3796	. . . . . . . 8 |- ( Lim dom ( F |` B ) -> if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
42	36, 41	eqtrd 2474	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
43		rnexg 6509	. . . . . . 7 |- ( ( F |` B ) e. _V -> ran ( F |` B ) e. _V )
44		uniexg 6376	. . . . . . 7 |- ( ran ( F |` B ) e. _V -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
45	11, 43, 44	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
46	42, 45	eqeltrd 2516	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V )
47		eqeq1 2448	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x = (/) <-> ( F |` B ) = (/) ) )
48		dmeq 5039	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> dom x = dom ( F |` B ) )
49		limeq 4730	. . . . . . . . 9 |- ( dom x = dom ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
51		rneq 5064	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ran x = ran ( F |` B ) )
52	51	unieqd 4100	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> U. ran x = U. ran ( F |` B ) )
53		fveq1 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom x ) )
54	48	unieqd 4100	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( F |` B ) -> U. dom x = U. dom ( F |` B ) )
55	54	fveq2d 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( ( F |` B ) ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
56	53, 55	eqtrd 2474	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
57	56	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( H ` ( x ` U. dom x ) ) = ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) )
58	50, 52, 57	ifbieq12d 3815	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
59	47, 58	ifbieq2d 3813	. . . . . 6 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
60		tz7.44.1	. . . . . 6 |- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
61	59, 60	fvmptg 5771	. . . . 5 |- ( ( ( F |` B ) e. _V /\ if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
62	11, 46, 61	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
63	62, 42	eqtrd 2474	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = U. ran ( F |` B ) )
64	7, 63	eqtrd 2474	. 2 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ran ( F |` B ) )
65		df-ima 4852	. . 3 |- ( F " B ) = ran ( F |` B )
66	65	unieqi 4099	. 2 |- U. ( F " B ) = U. ran ( F |` B )
67	64, 66	syl6eqr 2492	1 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2971   i^i cin 3326   C_ wss 3327   (/)c0 3636   ifcif 3790   U.cuni 4090   e. cmpt 4349   Ord word 4717   Lim wlim 4719   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fn wfn 5412   ` cfv 5417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pr 4530  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-lim 4723  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-fv 5425

This theorem is referenced by:  rdglimg  6880