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Theorem tz7.44-3 6625
Description: The value of  F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
tz7.44.2  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
tz7.44.3  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
tz7.44.4  |-  F  Fn  X
tz7.44.5  |-  Ord  X
Assertion
Ref Expression
tz7.44-3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    y, G    x, H    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    G( x)    H( y)    X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
2 reseq2 5100 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
32fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( G `  ( F  |`  y ) )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
41, 3eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  y ) )  <->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) ) )
5 tz7.44.2 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
64, 5vtoclga 2977 . . . 4  |-  ( B  e.  X  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
82eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
)  e.  _V  <->  ( F  |`  B )  e.  _V ) )
9 tz7.44.3 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
108, 9vtoclga 2977 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
12 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  B )
13 nlim0 4599 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  (/)
14 dmres 5126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
15 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  X
16 ordelss 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  X  /\  B  e.  X )  ->  B  C_  X )
1715, 16mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  ->  B  C_  X )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_  X )
19 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
20 fndm 5503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  F  =  X
2218, 21syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_ 
dom  F )
23 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  dom  F  <->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2422, 23sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2514, 24syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  dom  ( F  |`  B )  =  B )
26 dmeq 5029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  ( F  |`  B )  =  dom  (/) )
27 dm0 5042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  ( F  |`  B )  =  (/) )
2925, 28sylan9req 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
30 limeq 4553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( Lim 
B  <->  Lim  (/) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  ( Lim  B  <->  Lim  (/) ) )
3213, 31mtbiri 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  -.  Lim  B )
3332ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  (
( F  |`  B )  =  (/)  ->  -.  Lim  B ) )
3412, 33mt2d 111 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  -.  ( F  |`  B )  =  (/) )
35 iffalse 3706 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( F  |`  B )  =  (/)  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim 
dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
37 limeq 4553 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( F  |`  B )  =  B  ->  ( Lim  dom  ( F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3825, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( Lim  dom  ( F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3912, 38mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  dom  ( F  |`  B ) )
40 iftrue 3705 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
4236, 41eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
43 rnexg 5090 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  B )  e.  _V  ->  ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
44 uniexg 4665 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( F  |`  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
4511, 43, 443syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  U. ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
4642, 45eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )
47 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( F  |`  B )  =  (/) ) )
48 dmeq 5029 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  dom  x  =  dom  ( F  |`  B ) )
49 limeq 4553 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  x  =  dom  ( F  |`  B )  -> 
( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  ( F  |`  B ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  ( F  |`  B ) ) )
51 rneq 5054 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ran  x  =  ran  ( F  |`  B ) )
5251unieqd 3986 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. ran  x  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
53 fveq1 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  x ) )
5448unieqd 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. dom  x  =  U. dom  ( F  |`  B ) )
5554fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) )
5756fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( H `  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( H `
 ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )
5850, 52, 57ifbieq12d 3721 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) )  =  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
5947, 58ifbieq2d 3719 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `  U. dom  x ) ) ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
60 tz7.44.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
6159, 60fvmptg 5763 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  B )  e.  _V  /\  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
6211, 46, 61syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
6362, 42eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
647, 63eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
65 df-ima 4850 . . 3  |-  ( F
" B )  =  ran  ( F  |`  B )
6665unieqi 3985 . 2  |-  U. ( F " B )  = 
U. ran  ( F  |`  B )
6764, 66syl6eqr 2454 1  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   Ord word 4540   Lim wlim 4542   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   ` cfv 5413
This theorem is referenced by:  rdglimg  6642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-lim 4546  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421
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