Theorem tz7.44-3 6625

Description: The value of F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.44.1	|- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
tz7.44.2	|- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
tz7.44.3	|- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
tz7.44.4	|- F Fn X
tz7.44.5	|- Ord X

Assertion

Ref	Expression
tz7.44-3	|- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y   y, G   x, H   y, X

Allowed substitution hints:   A( y)   G( x)   H( y)   X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( F ` y ) = ( F ` B ) )
2		reseq2 5100	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( F |` y ) = ( F |` B ) )
3	2	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( G ` ( F |` y ) ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2418	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) <-> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) ) )
5		tz7.44.2	. . . . 5 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
6	4, 5	vtoclga 2977	. . . 4 |- ( B e. X -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
7	6	adantr 452	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
8	2	eleq1d 2470	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ( F |` y ) e. _V <-> ( F |` B ) e. _V ) )
9		tz7.44.3	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
10	8, 9	vtoclga 2977	. . . . . 6 |- ( B e. X -> ( F |` B ) e. _V )
11	10	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F |` B ) e. _V )
12		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim B )
13		nlim0 4599	. . . . . . . . . . 11 |- -. Lim (/)
14		dmres 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` B ) = ( B i^i dom F )
15		tz7.44.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord X
16		ordelss 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B C_ X )
17	15, 16	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. X -> B C_ X )
18	17	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ X )
19		tz7.44.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F Fn X
20		fndm 5503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn X -> dom F = X )
21	19, 20	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom F = X
22	18, 21	syl6sseqr 3355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ dom F )
23		df-ss 3294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C_ dom F <-> ( B i^i dom F ) = B )
24	22, 23	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( B i^i dom F ) = B )
25	14, 24	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> dom ( F |` B ) = B )
26		dmeq 5029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = dom (/) )
27		dm0 5042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = (/) )
29	25, 28	sylan9req 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> B = (/) )
30		limeq 4553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = (/) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
32	13, 31	mtbiri 295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> -. Lim B )
33	32	ex 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( ( F |` B ) = (/) -> -. Lim B ) )
34	12, 33	mt2d 111	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> -. ( F |` B ) = (/) )
35		iffalse 3706	. . . . . . . 8 |- ( -. ( F |` B ) = (/) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
37		limeq 4553	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` B ) = B -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
38	25, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
39	12, 38	mpbird 224	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim dom ( F |` B ) )
40		iftrue 3705	. . . . . . . 8 |- ( Lim dom ( F |` B ) -> if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
42	36, 41	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
43		rnexg 5090	. . . . . . 7 |- ( ( F |` B ) e. _V -> ran ( F |` B ) e. _V )
44		uniexg 4665	. . . . . . 7 |- ( ran ( F |` B ) e. _V -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
45	11, 43, 44	3syl 19	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
46	42, 45	eqeltrd 2478	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V )
47		eqeq1 2410	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x = (/) <-> ( F |` B ) = (/) ) )
48		dmeq 5029	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> dom x = dom ( F |` B ) )
49		limeq 4553	. . . . . . . . 9 |- ( dom x = dom ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
51		rneq 5054	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ran x = ran ( F |` B ) )
52	51	unieqd 3986	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> U. ran x = U. ran ( F |` B ) )
53		fveq1 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom x ) )
54	48	unieqd 3986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( F |` B ) -> U. dom x = U. dom ( F |` B ) )
55	54	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( ( F |` B ) ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
56	53, 55	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
57	56	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( H ` ( x ` U. dom x ) ) = ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) )
58	50, 52, 57	ifbieq12d 3721	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
59	47, 58	ifbieq2d 3719	. . . . . 6 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
60		tz7.44.1	. . . . . 6 |- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
61	59, 60	fvmptg 5763	. . . . 5 |- ( ( ( F |` B ) e. _V /\ if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
62	11, 46, 61	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
63	62, 42	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = U. ran ( F |` B ) )
64	7, 63	eqtrd 2436	. 2 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ran ( F |` B ) )
65		df-ima 4850	. . 3 |- ( F " B ) = ran ( F |` B )
66	65	unieqi 3985	. 2 |- U. ( F " B ) = U. ran ( F |` B )
67	64, 66	syl6eqr 2454	1 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   U.cuni 3975   e. cmpt 4226   Ord word 4540   Lim wlim 4542   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   Fn wfn 5408   ` cfv 5413

This theorem is referenced by:  rdglimg  6642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-lim 4546  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421