Theorem tz7.44-3 7123

Description: The value of F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.44.1	|- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
tz7.44.2	|- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
tz7.44.3	|- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
tz7.44.4	|- F Fn X
tz7.44.5	|- Ord X

Assertion

Ref	Expression
tz7.44-3	|- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y   y, G   x, H   y, X

Allowed substitution hints:   A( y)   G( x)   H( y)   X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5863	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( F ` y ) = ( F ` B ) )
2		reseq2 5099	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( F |` y ) = ( F |` B ) )
3	2	fveq2d 5867	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( G ` ( F |` y ) ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2465	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) <-> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) ) )
5		tz7.44.2	. . . . 5 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
6	4, 5	vtoclga 3112	. . . 4 |- ( B e. X -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
7	6	adantr 467	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
8	2	eleq1d 2512	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ( F |` y ) e. _V <-> ( F |` B ) e. _V ) )
9		tz7.44.3	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
10	8, 9	vtoclga 3112	. . . . . 6 |- ( B e. X -> ( F |` B ) e. _V )
11	10	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F |` B ) e. _V )
12		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim B )
13		nlim0 5480	. . . . . . . . . . 11 |- -. Lim (/)
14		dmres 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` B ) = ( B i^i dom F )
15		tz7.44.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord X
16		ordelss 5438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B C_ X )
17	15, 16	mpan 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. X -> B C_ X )
18	17	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ X )
19		tz7.44.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F Fn X
20		fndm 5673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn X -> dom F = X )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom F = X
22	18, 21	syl6sseqr 3478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ dom F )
23		df-ss 3417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C_ dom F <-> ( B i^i dom F ) = B )
24	22, 23	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( B i^i dom F ) = B )
25	14, 24	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> dom ( F |` B ) = B )
26		dmeq 5034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = dom (/) )
27		dm0 5047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = (/) )
29	25, 28	sylan9req 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> B = (/) )
30		limeq 5434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = (/) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
32	13, 31	mtbiri 305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> -. Lim B )
33	32	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( ( F |` B ) = (/) -> -. Lim B ) )
34	12, 33	mt2d 121	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> -. ( F |` B ) = (/) )
35	34	iffalsed 3891	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
36		limeq 5434	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` B ) = B -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
37	25, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
38	12, 37	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim dom ( F |` B ) )
39	38	iftrued 3888	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
40	35, 39	eqtrd 2484	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
41		rnexg 6722	. . . . . . 7 |- ( ( F |` B ) e. _V -> ran ( F |` B ) e. _V )
42		uniexg 6585	. . . . . . 7 |- ( ran ( F |` B ) e. _V -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
43	11, 41, 42	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
44	40, 43	eqeltrd 2528	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V )
45		eqeq1 2454	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x = (/) <-> ( F |` B ) = (/) ) )
46		dmeq 5034	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> dom x = dom ( F |` B ) )
47		limeq 5434	. . . . . . . . 9 |- ( dom x = dom ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
49		rneq 5059	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ran x = ran ( F |` B ) )
50	49	unieqd 4207	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> U. ran x = U. ran ( F |` B ) )
51		fveq1 5862	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom x ) )
52	46	unieqd 4207	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( F |` B ) -> U. dom x = U. dom ( F |` B ) )
53	52	fveq2d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( ( F |` B ) ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
54	51, 53	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
55	54	fveq2d 5867	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( H ` ( x ` U. dom x ) ) = ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) )
56	48, 50, 55	ifbieq12d 3907	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
57	45, 56	ifbieq2d 3905	. . . . . 6 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
58		tz7.44.1	. . . . . 6 |- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
59	57, 58	fvmptg 5944	. . . . 5 |- ( ( ( F |` B ) e. _V /\ if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
60	11, 44, 59	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
61	60, 40	eqtrd 2484	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = U. ran ( F |` B ) )
62	7, 61	eqtrd 2484	. 2 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ran ( F |` B ) )
63		df-ima 4846	. . 3 |- ( F " B ) = ran ( F |` B )
64	63	unieqi 4206	. 2 |- U. ( F " B ) = U. ran ( F |` B )
65	62, 64	syl6eqr 2502	1 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ifcif 3880   U.cuni 4197   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834   |` cres 4835   "cima 4836   Ord word 5421   Lim wlim 5423   Fn wfn 5576   ` cfv 5581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-ord 5425  df-lim 5427  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-fv 5589

This theorem is referenced by:  rdglimg  7140