Theorem tz7.44-3 7092

Description: The value of F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.44.1	|- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
tz7.44.2	|- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
tz7.44.3	|- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
tz7.44.4	|- F Fn X
tz7.44.5	|- Ord X

Assertion

Ref	Expression
tz7.44-3	|- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y   y, G   x, H   y, X

Allowed substitution hints:   A( y)   G( x)   H( y)   X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( F ` y ) = ( F ` B ) )
2		reseq2 5278	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( F |` y ) = ( F |` B ) )
3	2	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( G ` ( F |` y ) ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2479	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) <-> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) ) )
5		tz7.44.2	. . . . 5 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
6	4, 5	vtoclga 3173	. . . 4 |- ( B e. X -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
7	6	adantr 465	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
8	2	eleq1d 2526	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ( F |` y ) e. _V <-> ( F |` B ) e. _V ) )
9		tz7.44.3	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
10	8, 9	vtoclga 3173	. . . . . 6 |- ( B e. X -> ( F |` B ) e. _V )
11	10	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F |` B ) e. _V )
12		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim B )
13		nlim0 4945	. . . . . . . . . . 11 |- -. Lim (/)
14		dmres 5304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` B ) = ( B i^i dom F )
15		tz7.44.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord X
16		ordelss 4903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B C_ X )
17	15, 16	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. X -> B C_ X )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ X )
19		tz7.44.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F Fn X
20		fndm 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn X -> dom F = X )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom F = X
22	18, 21	syl6sseqr 3546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ dom F )
23		df-ss 3485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C_ dom F <-> ( B i^i dom F ) = B )
24	22, 23	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( B i^i dom F ) = B )
25	14, 24	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> dom ( F |` B ) = B )
26		dmeq 5213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = dom (/) )
27		dm0 5226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = (/) )
29	25, 28	sylan9req 2519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> B = (/) )
30		limeq 4899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = (/) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
32	13, 31	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> -. Lim B )
33	32	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( ( F |` B ) = (/) -> -. Lim B ) )
34	12, 33	mt2d 117	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> -. ( F |` B ) = (/) )
35	34	iffalsed 3955	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
36		limeq 4899	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` B ) = B -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
37	25, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
38	12, 37	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim dom ( F |` B ) )
39	38	iftrued 3952	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
40	35, 39	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
41		rnexg 6731	. . . . . . 7 |- ( ( F |` B ) e. _V -> ran ( F |` B ) e. _V )
42		uniexg 6596	. . . . . . 7 |- ( ran ( F |` B ) e. _V -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
43	11, 41, 42	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
44	40, 43	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V )
45		eqeq1 2461	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x = (/) <-> ( F |` B ) = (/) ) )
46		dmeq 5213	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> dom x = dom ( F |` B ) )
47		limeq 4899	. . . . . . . . 9 |- ( dom x = dom ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
49		rneq 5238	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ran x = ran ( F |` B ) )
50	49	unieqd 4261	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> U. ran x = U. ran ( F |` B ) )
51		fveq1 5871	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom x ) )
52	46	unieqd 4261	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( F |` B ) -> U. dom x = U. dom ( F |` B ) )
53	52	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( ( F |` B ) ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
54	51, 53	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
55	54	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( H ` ( x ` U. dom x ) ) = ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) )
56	48, 50, 55	ifbieq12d 3971	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
57	45, 56	ifbieq2d 3969	. . . . . 6 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
58		tz7.44.1	. . . . . 6 |- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
59	57, 58	fvmptg 5954	. . . . 5 |- ( ( ( F |` B ) e. _V /\ if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
60	11, 44, 59	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
61	60, 40	eqtrd 2498	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = U. ran ( F |` B ) )
62	7, 61	eqtrd 2498	. 2 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ran ( F |` B ) )
63		df-ima 5021	. . 3 |- ( F " B ) = ran ( F |` B )
64	63	unieqi 4260	. 2 |- U. ( F " B ) = U. ran ( F |` B )
65	62, 64	syl6eqr 2516	1 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   U.cuni 4251   |-> cmpt 4515   Ord word 4886   Lim wlim 4888   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   "cima 5011   Fn wfn 5589   ` cfv 5594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-lim 4892  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602

This theorem is referenced by:  rdglimg  7109