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Theorem tz7.44-3 6863
Description: The value of  F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
tz7.44.1  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
tz7.44.2  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
tz7.44.3  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
tz7.44.4  |-  F  Fn  X
tz7.44.5  |-  Ord  X
Assertion
Ref Expression
tz7.44-3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    y, G    x, H    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    G( x)    H( y)    X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3
StepHypRef Expression
1 fveq2 5690 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
2 reseq2 5104 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
32fveq2d 5694 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( G `  ( F  |`  y ) )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
41, 3eqeq12d 2456 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 ( F  |`  y ) )  <->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) ) )
5 tz7.44.2 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( F `  y )  =  ( G `  ( F  |`  y ) ) )
64, 5vtoclga 3035 . . . 4  |-  ( B  e.  X  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  ( G `  ( F  |`  B ) ) )
82eleq1d 2508 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
)  e.  _V  <->  ( F  |`  B )  e.  _V ) )
9 tz7.44.3 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  ( F  |`  y )  e. 
_V )
108, 9vtoclga 3035 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F  |`  B )  e. 
_V )
12 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  B )
13 nlim0 4776 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  (/)
14 dmres 5130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( F  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  F )
15 tz7.44.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  X
16 ordelss 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  X  /\  B  e.  X )  ->  B  C_  X )
1715, 16mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  X  ->  B  C_  X )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_  X )
19 tz7.44.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
20 fndm 5509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  F  =  X
2218, 21syl6sseqr 3402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  B  C_ 
dom  F )
23 df-ss 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  dom  F  <->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2422, 23sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( B  i^i  dom  F )  =  B )
2514, 24syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  dom  ( F  |`  B )  =  B )
26 dmeq 5039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  ( F  |`  B )  =  dom  (/) )
27 dm0 5052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (/)  =  (/)
2826, 27syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  B )  =  (/)  ->  dom  ( F  |`  B )  =  (/) )
2925, 28sylan9req 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
30 limeq 4730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( Lim 
B  <->  Lim  (/) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  ( Lim  B  <->  Lim  (/) ) )
3213, 31mtbiri 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  /\  ( F  |`  B )  =  (/) )  ->  -.  Lim  B )
3332ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  (
( F  |`  B )  =  (/)  ->  -.  Lim  B ) )
3412, 33mt2d 117 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  -.  ( F  |`  B )  =  (/) )
35 iffalse 3798 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( F  |`  B )  =  (/)  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  if ( Lim 
dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
37 limeq 4730 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( F  |`  B )  =  B  ->  ( Lim  dom  ( F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3825, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( Lim  dom  ( F  |`  B )  <->  Lim  B ) )
3912, 38mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  Lim  dom  ( F  |`  B ) )
40 iftrue 3796 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
4236, 41eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
43 rnexg 6509 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  B )  e.  _V  ->  ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
44 uniexg 6376 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( F  |`  B )  e.  _V  ->  U. ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
4511, 43, 443syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  U. ran  ( F  |`  B )  e.  _V )
4642, 45eqeltrd 2516 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )
47 eqeq1 2448 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( F  |`  B )  =  (/) ) )
48 dmeq 5039 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  dom  x  =  dom  ( F  |`  B ) )
49 limeq 4730 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  x  =  dom  ( F  |`  B )  -> 
( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  ( F  |`  B ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( Lim  dom  x  <->  Lim  dom  ( F  |`  B ) ) )
51 rneq 5064 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ran  x  =  ran  ( F  |`  B ) )
5251unieqd 4100 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. ran  x  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
53 fveq1 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  x ) )
5448unieqd 4100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  U. dom  x  =  U. dom  ( F  |`  B ) )
5554fveq2d 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) )
5653, 55eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) )
5756fveq2d 5694 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  ( H `  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( H `
 ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) )
5850, 52, 57ifbieq12d 3815 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) )  =  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  (
( F  |`  B ) `
 U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )
5947, 58ifbieq2d 3813 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F  |`  B )  ->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `  U. dom  x ) ) ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
60 tz7.44.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( H `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
6159, 60fvmptg 5771 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  B )  e.  _V  /\  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) , 
U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
6211, 46, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  =  if ( ( F  |`  B )  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  ( F  |`  B ) ,  U. ran  ( F  |`  B ) ,  ( H `  ( ( F  |`  B ) `  U. dom  ( F  |`  B ) ) ) ) ) )
6362, 42eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( G `  ( F  |`  B ) )  = 
U. ran  ( F  |`  B ) )
647, 63eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ran  ( F  |`  B ) )
65 df-ima 4852 . . 3  |-  ( F
" B )  =  ran  ( F  |`  B )
6665unieqi 4099 . 2  |-  U. ( F " B )  = 
U. ran  ( F  |`  B )
6764, 66syl6eqr 2492 1  |-  ( ( B  e.  X  /\  Lim  B )  ->  ( F `  B )  =  U. ( F " B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    i^i cin 3326    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ifcif 3790   U.cuni 4090    e. cmpt 4349   Ord word 4717   Lim wlim 4719   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    Fn wfn 5412   ` cfv 5417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-lim 4723  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-fv 5425
This theorem is referenced by:  rdglimg  6880
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