Theorem tz7.44-3 7066

Description: The value of F at a limit ordinal. Part 3 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.44.1	|- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
tz7.44.2	|- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
tz7.44.3	|- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
tz7.44.4	|- F Fn X
tz7.44.5	|- Ord X

Assertion

Ref	Expression
tz7.44-3	|- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y   y, G   x, H   y, X

Allowed substitution hints:   A( y)   G( x)   H( y)   X( x)

Proof of Theorem tz7.44-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5859	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( F ` y ) = ( F ` B ) )
2		reseq2 5261	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( F |` y ) = ( F |` B ) )
3	2	fveq2d 5863	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( G ` ( F |` y ) ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2484	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) <-> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) ) )
5		tz7.44.2	. . . . 5 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
6	4, 5	vtoclga 3172	. . . 4 |- ( B e. X -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
7	6	adantr 465	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = ( G ` ( F |` B ) ) )
8	2	eleq1d 2531	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ( F |` y ) e. _V <-> ( F |` B ) e. _V ) )
9		tz7.44.3	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
10	8, 9	vtoclga 3172	. . . . . 6 |- ( B e. X -> ( F |` B ) e. _V )
11	10	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F |` B ) e. _V )
12		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim B )
13		nlim0 4931	. . . . . . . . . . 11 |- -. Lim (/)
14		dmres 5287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F |` B ) = ( B i^i dom F )
15		tz7.44.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord X
16		ordelss 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord X /\ B e. X ) -> B C_ X )
17	15, 16	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. X -> B C_ X )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ X )
19		tz7.44.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F Fn X
20		fndm 5673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn X -> dom F = X )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom F = X
22	18, 21	syl6sseqr 3546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> B C_ dom F )
23		df-ss 3485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C_ dom F <-> ( B i^i dom F ) = B )
24	22, 23	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( B i^i dom F ) = B )
25	14, 24	syl5eq 2515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> dom ( F |` B ) = B )
26		dmeq 5196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = dom (/) )
27		dm0 5209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F |` B ) = (/) -> dom ( F |` B ) = (/) )
29	25, 28	sylan9req 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> B = (/) )
30		limeq 4885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = (/) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> ( Lim B <-> Lim (/) ) )
32	13, 31	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. X /\ Lim B ) /\ ( F |` B ) = (/) ) -> -. Lim B )
33	32	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( ( F |` B ) = (/) -> -. Lim B ) )
34	12, 33	mt2d 117	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> -. ( F |` B ) = (/) )
35		iffalse 3943	. . . . . . . 8 |- ( -. ( F |` B ) = (/) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
37		limeq 4885	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( F |` B ) = B -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
38	25, 37	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( Lim dom ( F |` B ) <-> Lim B ) )
39	12, 38	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> Lim dom ( F |` B ) )
40		iftrue 3940	. . . . . . . 8 |- ( Lim dom ( F |` B ) -> if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
42	36, 41	eqtrd 2503	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) = U. ran ( F |` B ) )
43		rnexg 6708	. . . . . . 7 |- ( ( F |` B ) e. _V -> ran ( F |` B ) e. _V )
44		uniexg 6574	. . . . . . 7 |- ( ran ( F |` B ) e. _V -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
45	11, 43, 44	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> U. ran ( F |` B ) e. _V )
46	42, 45	eqeltrd 2550	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V )
47		eqeq1 2466	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x = (/) <-> ( F |` B ) = (/) ) )
48		dmeq 5196	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> dom x = dom ( F |` B ) )
49		limeq 4885	. . . . . . . . 9 |- ( dom x = dom ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` B ) ) )
51		rneq 5221	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ran x = ran ( F |` B ) )
52	51	unieqd 4250	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> U. ran x = U. ran ( F |` B ) )
53		fveq1 5858	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom x ) )
54	48	unieqd 4250	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( F |` B ) -> U. dom x = U. dom ( F |` B ) )
55	54	fveq2d 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( F |` B ) -> ( ( F |` B ) ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
56	53, 55	eqtrd 2503	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) )
57	56	fveq2d 5863	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` B ) -> ( H ` ( x ` U. dom x ) ) = ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) )
58	50, 52, 57	ifbieq12d 3961	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) )
59	47, 58	ifbieq2d 3959	. . . . . 6 |- ( x = ( F |` B ) -> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
60		tz7.44.1	. . . . . 6 |- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
61	59, 60	fvmptg 5941	. . . . 5 |- ( ( ( F |` B ) e. _V /\ if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
62	11, 46, 61	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = if ( ( F |` B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` B ) , U. ran ( F |` B ) , ( H ` ( ( F |` B ) ` U. dom ( F |` B ) ) ) ) ) )
63	62, 42	eqtrd 2503	. . 3 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( G ` ( F |` B ) ) = U. ran ( F |` B ) )
64	7, 63	eqtrd 2503	. 2 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ran ( F |` B ) )
65		df-ima 5007	. . 3 |- ( F " B ) = ran ( F |` B )
66	65	unieqi 4249	. 2 |- U. ( F " B ) = U. ran ( F |` B )
67	64, 66	syl6eqr 2521	1 |- ( ( B e. X /\ Lim B ) -> ( F ` B ) = U. ( F " B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   _Vcvv 3108   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3780   ifcif 3934   U.cuni 4240   |-> cmpt 4500   Ord word 4872   Lim wlim 4874   dom cdm 4994   ran crn 4995   |` cres 4996   "cima 4997   Fn wfn 5576   ` cfv 5581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681  ax-un 6569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-lim 4878  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-fv 5589

This theorem is referenced by:  rdglimg  7083