Theorem tz7.44-2 7070

Description: The value of F at a successor ordinal. Part 2 of Theorem 7.44 of [TakeutiZaring] p. 49. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz7.44.1	|- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
tz7.44.2	|- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
tz7.44.3	|- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
tz7.44.4	|- F Fn X
tz7.44.5	|- Ord X

Assertion

Ref	Expression
tz7.44-2	|- ( suc B e. X -> ( F ` suc B ) = ( H ` ( F ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y   y, G   x, H   y, X

Allowed substitution hints:   A( y)   G( x)   H( y)   X( x)

Proof of Theorem tz7.44-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5864	. . . 4 |- ( y = suc B -> ( F ` y ) = ( F ` suc B ) )
2		reseq2 5266	. . . . 5 |- ( y = suc B -> ( F |` y ) = ( F |` suc B ) )
3	2	fveq2d 5868	. . . 4 |- ( y = suc B -> ( G ` ( F |` y ) ) = ( G ` ( F |` suc B ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2489	. . 3 |- ( y = suc B -> ( ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) <-> ( F ` suc B ) = ( G ` ( F |` suc B ) ) ) )
5		tz7.44.2	. . 3 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` y ) ) )
6	4, 5	vtoclga 3177	. 2 |- ( suc B e. X -> ( F ` suc B ) = ( G ` ( F |` suc B ) ) )
7	2	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( y = suc B -> ( ( F |` y ) e. _V <-> ( F |` suc B ) e. _V ) )
8		tz7.44.3	. . . 4 |- ( y e. X -> ( F |` y ) e. _V )
9	7, 8	vtoclga 3177	. . 3 |- ( suc B e. X -> ( F |` suc B ) e. _V )
10		noel 3789	. . . . . . 7 |- -. B e. (/)
11		dmeq 5201	. . . . . . . . 9 |- ( ( F |` suc B ) = (/) -> dom ( F |` suc B ) = dom (/) )
12		dm0 5214	. . . . . . . . 9 |- dom (/) = (/)
13	11, 12	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` suc B ) = (/) -> dom ( F |` suc B ) = (/) )
14		tz7.44.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord X
15		ordsson 6603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord X -> X C_ On )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- X C_ On
17		ordtr 4892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord X -> Tr X )
18	14, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- Tr X
19		trsuc 4962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Tr X /\ suc B e. X ) -> B e. X )
20	18, 19	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc B e. X -> B e. X )
21	16, 20	sseldi 3502	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc B e. X -> B e. On )
22		sucidg 4956	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> B e. suc B )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B e. X -> B e. suc B )
24		dmres 5292	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` suc B ) = ( suc B i^i dom F )
25		ordelss 4894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord X /\ suc B e. X ) -> suc B C_ X )
26	14, 25	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc B e. X -> suc B C_ X )
27		tz7.44.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F Fn X
28		fndm 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> dom F = X )
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom F = X
30	26, 29	syl6sseqr 3551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc B e. X -> suc B C_ dom F )
31		df-ss 3490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc B C_ dom F <-> ( suc B i^i dom F ) = suc B )
32	30, 31	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc B e. X -> ( suc B i^i dom F ) = suc B )
33	24, 32	syl5eq 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B e. X -> dom ( F |` suc B ) = suc B )
34	23, 33	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . 9 |- ( suc B e. X -> B e. dom ( F |` suc B ) )
35		eleq2 2540	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( F |` suc B ) = (/) -> ( B e. dom ( F |` suc B ) <-> B e. (/) ) )
36	34, 35	syl5ibcom 220	. . . . . . . 8 |- ( suc B e. X -> ( dom ( F |` suc B ) = (/) -> B e. (/) ) )
37	13, 36	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> ( ( F |` suc B ) = (/) -> B e. (/) ) )
38	10, 37	mtoi 178	. . . . . 6 |- ( suc B e. X -> -. ( F |` suc B ) = (/) )
39		iffalse 3948	. . . . . 6 |- ( -. ( F |` suc B ) = (/) -> if ( ( F |` suc B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( suc B e. X -> if ( ( F |` suc B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) )
41		nlimsucg 6655	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> -. Lim suc B )
42	21, 41	syl 16	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> -. Lim suc B )
43		limeq 4890	. . . . . . . 8 |- ( dom ( F |` suc B ) = suc B -> ( Lim dom ( F |` suc B ) <-> Lim suc B ) )
44	33, 43	syl 16	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> ( Lim dom ( F |` suc B ) <-> Lim suc B ) )
45	42, 44	mtbird 301	. . . . . 6 |- ( suc B e. X -> -. Lim dom ( F |` suc B ) )
46		iffalse 3948	. . . . . 6 |- ( -. Lim dom ( F |` suc B ) -> if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) = ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . 5 |- ( suc B e. X -> if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) = ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) )
48	33	unieqd 4255	. . . . . . . . 9 |- ( suc B e. X -> U. dom ( F |` suc B ) = U. suc B )
49		eloni 4888	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> Ord B )
50		ordunisuc 6645	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord B -> U. suc B = B )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> U. suc B = B )
52	21, 51	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( suc B e. X -> U. suc B = B )
53	48, 52	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( suc B e. X -> U. dom ( F |` suc B ) = B )
54	53	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) = ( ( F |` suc B ) ` B ) )
55		fvres 5878	. . . . . . . 8 |- ( B e. suc B -> ( ( F |` suc B ) ` B ) = ( F ` B ) )
56	23, 55	syl 16	. . . . . . 7 |- ( suc B e. X -> ( ( F |` suc B ) ` B ) = ( F ` B ) )
57	54, 56	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( suc B e. X -> ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) = ( F ` B ) )
58	57	fveq2d 5868	. . . . 5 |- ( suc B e. X -> ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) = ( H ` ( F ` B ) ) )
59	40, 47, 58	3eqtrd 2512	. . . 4 |- ( suc B e. X -> if ( ( F |` suc B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) ) = ( H ` ( F ` B ) ) )
60		fvex 5874	. . . 4 |- ( H ` ( F ` B ) ) e. _V
61	59, 60	syl6eqel 2563	. . 3 |- ( suc B e. X -> if ( ( F |` suc B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) ) e. _V )
62		eqeq1 2471	. . . . 5 |- ( x = ( F |` suc B ) -> ( x = (/) <-> ( F |` suc B ) = (/) ) )
63		dmeq 5201	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` suc B ) -> dom x = dom ( F |` suc B ) )
64		limeq 4890	. . . . . . 7 |- ( dom x = dom ( F |` suc B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` suc B ) ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . 6 |- ( x = ( F |` suc B ) -> ( Lim dom x <-> Lim dom ( F |` suc B ) ) )
66		rneq 5226	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` suc B ) -> ran x = ran ( F |` suc B ) )
67	66	unieqd 4255	. . . . . 6 |- ( x = ( F |` suc B ) -> U. ran x = U. ran ( F |` suc B ) )
68		fveq1 5863	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` suc B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` suc B ) ` U. dom x ) )
69	63	unieqd 4255	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F |` suc B ) -> U. dom x = U. dom ( F |` suc B ) )
70	69	fveq2d 5868	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F |` suc B ) -> ( ( F |` suc B ) ` U. dom x ) = ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) )
71	68, 70	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( x = ( F |` suc B ) -> ( x ` U. dom x ) = ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) )
72	71	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( x = ( F |` suc B ) -> ( H ` ( x ` U. dom x ) ) = ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) )
73	65, 67, 72	ifbieq12d 3966	. . . . 5 |- ( x = ( F |` suc B ) -> if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) = if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) )
74	62, 73	ifbieq2d 3964	. . . 4 |- ( x = ( F |` suc B ) -> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) = if ( ( F |` suc B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) ) )
75		tz7.44.1	. . . 4 |- G = ( x e. _V |-> if ( x = (/) , A , if ( Lim dom x , U. ran x , ( H ` ( x ` U. dom x ) ) ) ) )
76	74, 75	fvmptg 5946	. . 3 |- ( ( ( F |` suc B ) e. _V /\ if ( ( F |` suc B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( G ` ( F |` suc B ) ) = if ( ( F |` suc B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) ) )
77	9, 61, 76	syl2anc 661	. 2 |- ( suc B e. X -> ( G ` ( F |` suc B ) ) = if ( ( F |` suc B ) = (/) , A , if ( Lim dom ( F |` suc B ) , U. ran ( F |` suc B ) , ( H ` ( ( F |` suc B ) ` U. dom ( F |` suc B ) ) ) ) ) )
78	6, 77, 59	3eqtrd 2512	1 |- ( suc B e. X -> ( F ` suc B ) = ( H ` ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   U.cuni 4245   |-> cmpt 4505   Tr wtr 4540   Ord word 4877   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880   dom cdm 4999   ran crn 5000   |` cres 5001   Fn wfn 5581   ` cfv 5586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-fv 5594

This theorem is referenced by:  rdgsucg  7086