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Theorem tz6.12-afv 30105
Description: Function value. Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27, analogous to tz6.12 5728. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-afv  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F''' A )  =  y )
Distinct variable groups:    y, A    y, F

Proof of Theorem tz6.12-afv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A  e.  _V )
2 vex 2996 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
32a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  _V )
4 df-br 4314 . . . . . . . . . 10  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
54biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  y >.  e.  F  ->  A F
y )
65adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A F y )
7 breldmg 5066 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  A F y )  ->  A  e.  dom  F )
81, 3, 6, 7syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A  e.  dom  F )
9 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  A  e.  dom  F )
10 elsn 3912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
11 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  x  ->  ( A F y  <->  x F
y ) )
124, 11syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  x  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  x F y ) )
1312eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  x F y ) )
1413eubidv 2276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  <->  E! y  x F y ) )
1514biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  E! y  x F y ) )
1610, 15sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( E! y <. A ,  y >.  e.  F  ->  E! y  x F y ) )
1716com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  (
x  e.  { A }  ->  E! y  x F y ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  ( x  e. 
{ A }  ->  E! y  x F y ) )
1918ralrimiv 2819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
20 fnres 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  <->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
21 fnfun 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  ->  Fun  ( F  |`  { A }
) )
2220, 21sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { A } E! y  x F y  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) )
2319, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  Fun  ( F  |` 
{ A } ) )
249, 23jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
2524ex 434 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  F  -> 
( E! y <. A ,  y >.  e.  F  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
268, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
2726impr 619 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
28 df-dfat 30046 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  <->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
29 afvfundmfveq 30070 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  ->  ( F''' A )  =  ( F `
 A ) )
3028, 29sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
3127, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
32 tz6.12 5728 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F `  A )  =  y )
3332adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F `  A )  =  y )
3431, 33eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F''' A )  =  y )
3534ex 434 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
36 eu2ndop1stv 30052 . . . . 5  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  A  e.  _V )
3736pm2.24d 143 . . . 4  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F''' A )  =  y ) )
3837adantl 466 . . 3  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F''' A )  =  y ) )
3938com12 31 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
4035, 39pm2.61i 164 1  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F''' A )  =  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E!weu 2253   A.wral 2736   _Vcvv 2993   {csn 3898   <.cop 3904   class class class wbr 4313   dom cdm 4861    |` cres 4863   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   ` cfv 5439   defAt wdfat 30043  '''cafv 30044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-res 4873  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-fv 5447  df-dfat 30046  df-afv 30047
This theorem is referenced by:  tz6.12-1-afv  30106
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