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Theorem tz6.12-afv 27708
Description: Function value. Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27, analogous to tz6.12 5690. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-afv  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F''' A )  =  y )
Distinct variable groups:    y, A    y, F

Proof of Theorem tz6.12-afv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A  e.  _V )
2 vex 2904 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
32a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  _V )
4 df-br 4156 . . . . . . . . . 10  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
54biimpri 198 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  y >.  e.  F  ->  A F
y )
65adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A F y )
7 breldmg 5017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  A F y )  ->  A  e.  dom  F )
81, 3, 6, 7syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A  e.  dom  F )
9 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  A  e.  dom  F )
10 elsn 3774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
11 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  x  ->  ( A F y  <->  x F
y ) )
124, 11syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  x  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  x F y ) )
1312eqcoms 2392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  x F y ) )
1413eubidv 2248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  <->  E! y  x F y ) )
1514biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  E! y  x F y ) )
1610, 15sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( E! y <. A ,  y >.  e.  F  ->  E! y  x F y ) )
1716com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  (
x  e.  { A }  ->  E! y  x F y ) )
1817adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  ( x  e. 
{ A }  ->  E! y  x F y ) )
1918ralrimiv 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
20 fnres 5503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  <->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
21 fnfun 5484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  ->  Fun  ( F  |`  { A }
) )
2220, 21sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { A } E! y  x F y  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) )
2319, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  Fun  ( F  |` 
{ A } ) )
249, 23jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
2524ex 424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  F  -> 
( E! y <. A ,  y >.  e.  F  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
268, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
2726impr 603 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
28 df-dfat 27644 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  <->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
29 afvfundmfveq 27673 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  ->  ( F''' A )  =  ( F `
 A ) )
3028, 29sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
3127, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
32 tz6.12 5690 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F `  A )  =  y )
3332adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F `  A )  =  y )
3431, 33eqtrd 2421 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F''' A )  =  y )
3534ex 424 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
36 eu2ndop1stv 27650 . . . . 5  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  A  e.  _V )
3736pm2.24d 137 . . . 4  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F''' A )  =  y ) )
3837adantl 453 . . 3  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F''' A )  =  y ) )
3938com12 29 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
4035, 39pm2.61i 158 1  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F''' A )  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E!weu 2240   A.wral 2651   _Vcvv 2901   {csn 3759   <.cop 3762   class class class wbr 4155   dom cdm 4820    |` cres 4822   Fun wfun 5390    Fn wfn 5391   ` cfv 5396   defAt wdfat 27641  '''cafv 27642
This theorem is referenced by:  tz6.12-1-afv  27709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-res 4832  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-fv 5404  df-dfat 27644  df-afv 27645
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