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Theorem tz6.12-afv 28140
Description: Function value. Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27, analogous to tz6.12 5561. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-afv  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F''' A )  =  y )
Distinct variable groups:    y, A    y, F

Proof of Theorem tz6.12-afv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A  e.  _V )
2 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
32a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  _V )
4 df-br 4040 . . . . . . . . . 10  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
54biimpri 197 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  y >.  e.  F  ->  A F
y )
65adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A F y )
7 breldmg 4900 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  A F y )  ->  A  e.  dom  F )
81, 3, 6, 7syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A  e.  dom  F )
9 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  A  e.  dom  F )
10 elsn 3668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
11 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  x  ->  ( A F y  <->  x F
y ) )
124, 11syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  x  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  x F y ) )
1312eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  x F y ) )
1413eubidv 2164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  <->  E! y  x F y ) )
1514biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  E! y  x F y ) )
1610, 15sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( E! y <. A ,  y >.  e.  F  ->  E! y  x F y ) )
1716com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  (
x  e.  { A }  ->  E! y  x F y ) )
1817adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  ( x  e. 
{ A }  ->  E! y  x F y ) )
1918ralrimiv 2638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
20 fnres 5376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  <->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
21 fnfun 5357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  ->  Fun  ( F  |`  { A }
) )
2220, 21sylbir 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { A } E! y  x F y  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) )
2319, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  Fun  ( F  |` 
{ A } ) )
249, 23jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
2524ex 423 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  F  -> 
( E! y <. A ,  y >.  e.  F  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
268, 25syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
2726impr 602 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
28 df-dfat 28076 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  <->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
29 afvfundmfveq 28105 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  ->  ( F''' A )  =  ( F `
 A ) )
3028, 29sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
3127, 30syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
32 tz6.12 5561 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F `  A )  =  y )
3332adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F `  A )  =  y )
3431, 33eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F''' A )  =  y )
3534ex 423 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
36 eu2ndop1stv 28082 . . . . 5  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  A  e.  _V )
3736pm2.24d 135 . . . 4  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F''' A )  =  y ) )
3837adantl 452 . . 3  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F''' A )  =  y ) )
3938com12 27 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
4035, 39pm2.61i 156 1  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F''' A )  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156   A.wral 2556   _Vcvv 2801   {csn 3653   <.cop 3656   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    |` cres 4707   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   defAt wdfat 28073  '''cafv 28074
This theorem is referenced by:  tz6.12-1-afv  28141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-dfat 28076  df-afv 28077
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