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Theorem txuni2 20191
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
txuni2.1  |-  X  = 
U. R
txuni2.2  |-  Y  = 
U. S
Assertion
Ref Expression
txuni2  |-  ( X  X.  Y )  = 
U. B
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem txuni2
Dummy variables  r 
s  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 5119 . . 3  |-  Rel  ( X  X.  Y )
2 txuni2.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. R
32eleq2i 2535 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  <->  z  e.  U. R )
4 eluni2 4255 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U. R  <->  E. r  e.  R  z  e.  r )
53, 4bitri 249 . . . . . 6  |-  ( z  e.  X  <->  E. r  e.  R  z  e.  r )
6 txuni2.2 . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. S
76eleq2i 2535 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  Y  <->  w  e.  U. S )
8 eluni2 4255 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  U. S  <->  E. s  e.  S  w  e.  s )
97, 8bitri 249 . . . . . 6  |-  ( w  e.  Y  <->  E. s  e.  S  w  e.  s )
105, 9anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  Y )  <->  ( E. r  e.  R  z  e.  r  /\  E. s  e.  S  w  e.  s ) )
11 opelxp 5038 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( z  e.  X  /\  w  e.  Y ) )
12 reeanv 3025 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
z  e.  r  /\  w  e.  s )  <->  ( E. r  e.  R  z  e.  r  /\  E. s  e.  S  w  e.  s ) )
1310, 11, 123bitr4i 277 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  r  /\  w  e.  s ) )
14 opelxp 5038 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( z  e.  r  /\  w  e.  s ) )
15 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  X.  s )  =  ( r  X.  s
)
16 xpeq1 5022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  r  ->  (
x  X.  y )  =  ( r  X.  y ) )
1716eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  r  ->  (
( r  X.  s
)  =  ( x  X.  y )  <->  ( r  X.  s )  =  ( r  X.  y ) ) )
18 xpeq2 5023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  s  ->  (
r  X.  y )  =  ( r  X.  s ) )
1918eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  s  ->  (
( r  X.  s
)  =  ( r  X.  y )  <->  ( r  X.  s )  =  ( r  X.  s ) ) )
2017, 19rspc2ev 3221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S  /\  ( r  X.  s
)  =  ( r  X.  s ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( r  X.  s
)  =  ( x  X.  y ) )
2115, 20mp3an3 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( r  X.  s
)  =  ( x  X.  y ) )
22 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
23 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  s  e. 
_V
2422, 23xpex 6603 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
25 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
z  =  ( x  X.  y )  <->  ( r  X.  s )  =  ( x  X.  y ) ) )
26252rexbidv 2975 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  z  =  ( x  X.  y )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( r  X.  s )  =  ( x  X.  y ) ) )
27 txval.1 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
28 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2928rnmpt2 6411 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { z  |  E. x  e.  R  E. y  e.  S  z  =  ( x  X.  y ) }
3027, 29eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  { z  |  E. x  e.  R  E. y  e.  S  z  =  ( x  X.  y ) }
3124, 26, 30elab2 3249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  X.  s )  e.  B  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( r  X.  s )  =  ( x  X.  y ) )
3221, 31sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  ( r  X.  s
)  e.  B )
33 elssuni 4281 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  X.  s )  e.  B  ->  (
r  X.  s ) 
C_  U. B )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  ( r  X.  s
)  C_  U. B )
3534sseld 3498 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( r  X.  s )  ->  <. z ,  w >.  e.  U. B
) )
3614, 35syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  r  /\  w  e.  s )  ->  <. z ,  w >.  e.  U. B
) )
3736rexlimivv 2954 . . . 4  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
z  e.  r  /\  w  e.  s )  -> 
<. z ,  w >.  e. 
U. B )
3813, 37sylbi 195 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  <. z ,  w >.  e.  U. B
)
391, 38relssi 5103 . 2  |-  ( X  X.  Y )  C_  U. B
40 elssuni 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  ->  x  C_ 
U. R )
4140, 2syl6sseqr 3546 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R  ->  x  C_  X )
42 elssuni 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  y  C_ 
U. S )
4342, 6syl6sseqr 3546 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  y  C_  Y )
44 xpss12 5117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  X  /\  y  C_  Y )  -> 
( x  X.  y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
4541, 43, 44syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( x  X.  y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
46 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
47 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
4846, 47xpex 6603 . . . . . . . . 9  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
4948elpw 4021 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  X.  y )  e.  ~P ( X  X.  Y )  <->  ( x  X.  y )  C_  ( X  X.  Y ) )
5045, 49sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( x  X.  y
)  e.  ~P ( X  X.  Y ) )
5150rgen2 2882 . . . . . 6  |-  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x  X.  y )  e.  ~P ( X  X.  Y
)
5228fmpt2 6866 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  R  A. y  e.  S  (
x  X.  y )  e.  ~P ( X  X.  Y )  <->  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) : ( R  X.  S
) --> ~P ( X  X.  Y ) )
5351, 52mpbi 208 . . . . 5  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) : ( R  X.  S ) --> ~P ( X  X.  Y )
54 frn 5743 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) : ( R  X.  S ) --> ~P ( X  X.  Y
)  ->  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) 
C_  ~P ( X  X.  Y ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  C_  ~P ( X  X.  Y )
5627, 55eqsstri 3529 . . 3  |-  B  C_  ~P ( X  X.  Y
)
57 sspwuni 4421 . . 3  |-  ( B 
C_  ~P ( X  X.  Y )  <->  U. B  C_  ( X  X.  Y
) )
5856, 57mpbi 208 . 2  |-  U. B  C_  ( X  X.  Y
)
5939, 58eqssi 3515 1  |-  ( X  X.  Y )  = 
U. B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   <.cop 4038   U.cuni 4251    X. cxp 5006   ran crn 5009   -->wf 5590    |-> cmpt2 6298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800
This theorem is referenced by:  txbasex  20192  txtopon  20217  sxsigon  28324
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