MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txuni Structured version   Unicode version

Theorem txuni 19170
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
txuni.1  |-  X  = 
U. R
txuni.2  |-  Y  = 
U. S
Assertion
Ref Expression
txuni  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )

Proof of Theorem txuni
StepHypRef Expression
1 txuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. R
21toptopon 18543 . . 3  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
3 txuni.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. S
43toptopon 18543 . . 3  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
5 txtopon 19169 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
62, 4, 5syl2anb 479 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
7 toponuni 18537 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
86, 7syl 16 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   U.cuni 4096    X. cxp 4843   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Topctop 18503  TopOnctopon 18504    tX ctx 19138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-tx 19140
This theorem is referenced by:  txunii  19171  txcld  19181  neitx  19185  uptx  19203  txcn  19204  txdis  19210  txnlly  19215  txcmp  19221  txcmpb  19222  hausdiag  19223  txhaus  19225  tx1stc  19228  txkgen  19230  txcon  19267  imasnopn  19268  imasncld  19269  imasncls  19270  utop2nei  19830  utop3cls  19831  txpcon  27126
  Copyright terms: Public domain W3C validator