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Theorem txtube 17625
Description: The "tube lemma". If  X is compact and there is an open set  U containing the line  X  X.  { A }, then there is a "tube"  X  X.  u for some neighborhood  u of  A which is entirely contained within  U. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x  |-  X  = 
U. R
txtube.y  |-  Y  = 
U. S
txtube.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txtube.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
txtube.w  |-  ( ph  ->  U  e.  ( R 
tX  S ) )
txtube.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } )  C_  U
)
txtube.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
txtube  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
Distinct variable groups:    u, A    u, R    u, S    u, Y    ph, u    u, U    u, X

Proof of Theorem txtube
Dummy variables  t 
f  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
2 txtube.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } )  C_  U
)
32adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( X  X.  { A }
)  C_  U )
4 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  X )
5 txtube.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
6 snidg 3799 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Y  ->  A  e.  { A } )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  { A } )
8 opelxpi 4869 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  { A } )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  { A }
) )
94, 7, 8syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  { A }
) )
103, 9sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  U
)
11 txtube.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( R 
tX  S ) )
12 txtube.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
13 eltx 17553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Top )  ->  ( U  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
141, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
1511, 14mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
1615adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
17 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( y  e.  ( u  X.  v
)  <->  <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
1817anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U )  <->  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
19182rexbidv 2709 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2019rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  U  ->  ( A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2110, 16, 20sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
22 opelxp 4867 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( x  e.  u  /\  A  e.  v ) )
2322anbi1i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( ( x  e.  u  /\  A  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) )
24 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  u  /\  A  e.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2523, 24bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2625rexbii 2691 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. v  e.  S  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
27 r19.42v 2822 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
)  <->  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2826, 27bitri 241 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  S  (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2928rexbii 2691 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )
3021, 29sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
3130ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )
32 txtube.x . . . 4  |-  X  = 
U. R
33 eleq2 2465 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  ( f `  u
) ) )
34 xpeq2 4852 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
u  X.  v )  =  ( u  X.  ( f `  u
) ) )
3534sseq1d 3335 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( u  X.  v
)  C_  U  <->  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )
3633, 35anbi12d 692 . . . 4  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( A  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) )
3732, 36cmpcovf 17408 . . 3  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  R  (
x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) ) )
381, 31, 37syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) ) )
39 rint0 4050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  (/)  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  Y )
4039adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  Y )
41 txtube.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  = 
U. S
4241topopn 16934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Top  ->  Y  e.  S )
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
4443ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  Y  e.  S )
4540, 44eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S )
4612ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  S  e. 
Top )
47 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f : t --> S )
48 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : t --> S  ->  ran  f  C_  S )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ran  f  C_  S )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  C_  S )
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  =/=  (/) )
52 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P R  i^i  Fin )  C_ 
Fin
53 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )
5452, 53sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  t  e.  Fin )
55 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : t --> S  -> 
f  Fn  t )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f  Fn  t
)
57 dffn4 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
5856, 57sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f : t
-onto->
ran  f )
59 fofi 7351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
6054, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  e.  Fin )
62 fiinopn 16929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Top  ->  (
( ran  f  C_  S  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e. 
Fin )  ->  |^| ran  f  e.  S )
)
6362imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  Top  /\  ( ran  f  C_  S  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e.  Fin )
)  ->  |^| ran  f  e.  S )
6446, 50, 51, 61, 63syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  e.  S )
65 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| ran  f  e.  S  ->  |^| ran  f  C_  U. S
)
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  C_  U. S )
6766, 41syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  C_  Y )
68 dfss1 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( |^| ran  f  C_  Y  <->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  |^| ran  f
)
6967, 68sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  |^| ran  f
)
7069, 64eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S )
7145, 70pm2.61dane 2645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  e.  S )
725ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  Y
)
73 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )
74 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( f `
 u )  /\  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )  ->  A  e.  ( f `
 u ) )
7574ralimi 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U )  ->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `  u ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `
 u ) )
77 eliin 4058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Y  ->  ( A  e.  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  <->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `  u
) ) )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( A  e. 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  <->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `
 u ) ) )
7976, 78mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  |^|_ u  e.  t  ( f `
 u ) )
80 fniinfv 5744 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  =  |^| ran  f )
8156, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u
)  =  |^| ran  f )
8279, 81eleqtrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  |^| ran  f )
83 elin 3490 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  <->  ( A  e.  Y  /\  A  e. 
|^| ran  f )
)
8472, 82, 83sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )
85 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  X  =  U. t )
86 uniiun 4104 . . . . . . . . . . 11  |-  U. t  =  U_ u  e.  t  u
8785, 86syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  X  =  U_ u  e.  t  u
)
8887xpeq1d 4860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  =  ( U_ u  e.  t  u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) ) )
89 xpiundir 4892 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ u  e.  t  u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  = 
U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )
9088, 89syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  = 
U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) ) )
91 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( f `
 u )  /\  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )  ->  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
9291ralimi 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U )  ->  A. u  e.  t 
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
9373, 92syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
94 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  i^i  |^| ran  f ) 
C_  |^| ran  f
9580adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  -> 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  =  |^| ran  f )
96 iinss2 4103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  t  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  C_  (
f `  u )
)
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  -> 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  C_  ( f `  u ) )
9895, 97eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  |^| ran  f  C_  ( f `  u
) )
9994, 98syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  u )
)
100 xpss2 4944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  u )  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  ( u  X.  ( f `  u
) ) )
101 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  ( u  X.  ( f `  u
) )  ->  (
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
10299, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
103102ralimdva 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  ( A. u  e.  t 
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
10456, 93, 103sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
105 iunss 4092 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ u  e.  t  (
u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U  <->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
106104, 105sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
10790, 106eqsstrd 3342 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
108 eleq2 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( A  e.  u  <->  A  e.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) )
109 xpeq2 4852 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( X  X.  u
)  =  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) )
110109sseq1d 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( X  X.  u )  C_  U  <->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
111108, 110anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U )  <->  ( A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f )  /\  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) 
C_  U ) ) )
112111rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S  /\  ( A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f )  /\  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) 
C_  U ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
11371, 84, 107, 112syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
114113expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
) )
115114exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U ) ) )
116115expimpd 587 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
) )
117116rexlimdva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U ) ) )
11838, 117mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   |^|cint 4010   U_ciun 4053   |^|_ciin 4054    X. cxp 4835   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   Topctop 16913   Compccmp 17403    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  txcmplem1  17626  xkoinjcn  17672  cvmlift2lem12  24954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-topgen 13622  df-top 16918  df-cmp 17404  df-tx 17547
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