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Theorem txtube 20323
Description: The "tube lemma". If  X is compact and there is an open set  U containing the line  X  X.  { A }, then there is a "tube"  X  X.  u for some neighborhood  u of  A which is entirely contained within  U. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x  |-  X  = 
U. R
txtube.y  |-  Y  = 
U. S
txtube.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txtube.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
txtube.w  |-  ( ph  ->  U  e.  ( R 
tX  S ) )
txtube.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } )  C_  U
)
txtube.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
txtube  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
Distinct variable groups:    u, A    u, R    u, S    u, Y    ph, u    u, U    u, X

Proof of Theorem txtube
Dummy variables  t 
f  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
2 txtube.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } )  C_  U
)
32adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( X  X.  { A }
)  C_  U )
4 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  X )
5 txtube.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
6 snidg 3995 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Y  ->  A  e.  { A } )
75, 6syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  { A } )
8 opelxpi 4972 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  { A } )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  { A }
) )
94, 7, 8syl2anr 476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  { A }
) )
103, 9sseldd 3440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  U
)
11 txtube.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( R 
tX  S ) )
12 txtube.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
13 eltx 20251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Top )  ->  ( U  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
141, 12, 13syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
1511, 14mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
1615adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
17 eleq1 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( y  e.  ( u  X.  v
)  <->  <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
1817anbi1d 703 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U )  <->  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
19182rexbidv 2922 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2019rspcv 3153 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  U  ->  ( A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2110, 16, 20sylc 59 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
22 opelxp 4970 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( x  e.  u  /\  A  e.  v ) )
2322anbi1i 693 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( ( x  e.  u  /\  A  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) )
24 anass 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  u  /\  A  e.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2523, 24bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2625rexbii 2903 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. v  e.  S  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
27 r19.42v 2959 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
)  <->  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2826, 27bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  S  (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2928rexbii 2903 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )
3021, 29sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
3130ralrimiva 2815 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )
32 txtube.x . . . 4  |-  X  = 
U. R
33 eleq2 2473 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  ( f `  u
) ) )
34 xpeq2 4955 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
u  X.  v )  =  ( u  X.  ( f `  u
) ) )
3534sseq1d 3466 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( u  X.  v
)  C_  U  <->  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )
3633, 35anbi12d 709 . . . 4  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( A  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) )
3732, 36cmpcovf 20074 . . 3  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  R  (
x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) ) )
381, 31, 37syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) ) )
39 rint0 4265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  (/)  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  Y )
4039adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  Y )
41 txtube.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  = 
U. S
4241topopn 19597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Top  ->  Y  e.  S )
4312, 42syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
4443ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  Y  e.  S )
4540, 44eqeltrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S )
4612ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  S  e. 
Top )
47 simprrl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f : t --> S )
48 frn 5674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : t --> S  ->  ran  f  C_  S )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ran  f  C_  S )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  C_  S )
51 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  =/=  (/) )
52 inss2 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P R  i^i  Fin )  C_ 
Fin
53 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )
5452, 53sseldi 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  t  e.  Fin )
55 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : t --> S  -> 
f  Fn  t )
5647, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f  Fn  t
)
57 dffn4 5738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f : t
-onto->
ran  f )
59 fofi 7758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
6054, 58, 59syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
6160adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  e.  Fin )
62 fiinopn 19592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Top  ->  (
( ran  f  C_  S  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e. 
Fin )  ->  |^| ran  f  e.  S )
)
6362imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  Top  /\  ( ran  f  C_  S  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e.  Fin )
)  ->  |^| ran  f  e.  S )
6446, 50, 51, 61, 63syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  e.  S )
65 elssuni 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| ran  f  e.  S  ->  |^| ran  f  C_  U. S
)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  C_  U. S )
6766, 41syl6sseqr 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  C_  Y )
68 dfss1 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( |^| ran  f  C_  Y  <->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  |^| ran  f
)
6967, 68sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  |^| ran  f
)
7069, 64eqeltrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S )
7145, 70pm2.61dane 2719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  e.  S )
725ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  Y
)
73 simprrr 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )
74 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( f `
 u )  /\  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )  ->  A  e.  ( f `
 u ) )
7574ralimi 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U )  ->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `  u ) )
7673, 75syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `
 u ) )
77 eliin 4274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Y  ->  ( A  e.  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  <->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `  u
) ) )
7872, 77syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( A  e. 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  <->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `
 u ) ) )
7976, 78mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  |^|_ u  e.  t  ( f `
 u ) )
80 fniinfv 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  =  |^| ran  f )
8156, 80syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u
)  =  |^| ran  f )
8279, 81eleqtrd 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  |^| ran  f )
8372, 82elind 3624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )
84 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  X  =  U. t )
85 uniiun 4321 . . . . . . . . . . 11  |-  U. t  =  U_ u  e.  t  u
8684, 85syl6eq 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  X  =  U_ u  e.  t  u
)
8786xpeq1d 4963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  =  ( U_ u  e.  t  u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) ) )
88 xpiundir 4996 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ u  e.  t  u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  = 
U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )
8987, 88syl6eq 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  = 
U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) ) )
90 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( f `
 u )  /\  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )  ->  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
9190ralimi 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U )  ->  A. u  e.  t 
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
9273, 91syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
93 inss2 3657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  i^i  |^| ran  f ) 
C_  |^| ran  f
9480adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  -> 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  =  |^| ran  f )
95 iinss2 4320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  t  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  C_  (
f `  u )
)
9695adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  -> 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  C_  ( f `  u ) )
9794, 96eqsstr3d 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  |^| ran  f  C_  ( f `  u
) )
9893, 97syl5ss 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  u )
)
99 xpss2 5052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  u )  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  ( u  X.  ( f `  u
) ) )
100 sstr2 3446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  ( u  X.  ( f `  u
) )  ->  (
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
10198, 99, 1003syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
102101ralimdva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  ( A. u  e.  t 
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
10356, 92, 102sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
104 iunss 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ u  e.  t  (
u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U  <->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
105103, 104sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
10689, 105eqsstrd 3473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
107 eleq2 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( A  e.  u  <->  A  e.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) )
108 xpeq2 4955 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( X  X.  u
)  =  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) )
109108sseq1d 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( X  X.  u )  C_  U  <->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
110107, 109anbi12d 709 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U )  <->  ( A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f )  /\  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) 
C_  U ) ) )
111110rspcev 3157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S  /\  ( A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f )  /\  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) 
C_  U ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
11271, 83, 106, 111syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
113112expr 613 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
) )
114113exlimdv 1743 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U ) ) )
115114expimpd 601 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
) )
116115rexlimdva 2893 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U ) ) )
11738, 116mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403   E.wex 1631    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752    i^i cin 3410    C_ wss 3411   (/)c0 3735   ~Pcpw 3952   {csn 3969   <.cop 3975   U.cuni 4188   |^|cint 4224   U_ciun 4268   |^|_ciin 4269    X. cxp 4938   ran crn 4941    Fn wfn 5518   -->wf 5519   -onto->wfo 5521   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   Topctop 19576   Compccmp 20069    tX ctx 20243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-fin 7476  df-topgen 14948  df-top 19581  df-cmp 20070  df-tx 20245
This theorem is referenced by:  txcmplem1  20324  xkoinjcn  20370  cvmlift2lem12  29487
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