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Theorem txtube 19873
Description: The "tube lemma". If X is compact and there is an open set U containing the line X X. { A }, then there is a "tube" X X. u for some neighborhood u of A which is entirely contained within U. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x |- X = U. R
txtube.y |- Y = U. S
txtube.r |- ( ph -> R e. Comp )
txtube.s |- ( ph -> S e. Top )
txtube.w |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
txtube.u |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
txtube.a |- ( ph -> A e. Y )
Assertion
Ref Expression
txtube |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
Distinct variable groups:   u, A   u, R   u, S   u, Y   ph, u   u, U   u, X
Proof of Theorem txtube
Dummy variables t f v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2 txtube.u . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
32adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. { A } ) C_ U )
4 id 22 . . . . . . . 8 |- ( x e. X -> x e. X )
5 txtube.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
6 snidg 4053 . . . . . . . . 9 |- ( A e. Y -> A e. { A } )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. { A } )
8 opelxpi 5030 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ A e. { A } ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
94, 7, 8syl2anr 478 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
103, 9sseldd 3505 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U )
11 txtube.w . . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
12 txtube.s . . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
13 eltx 19801 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Top ) -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
1511, 14mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
1615adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
17 eleq1 2539 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( u X. v ) <-> <. x , A >. e. ( u X. v ) ) )
1817anbi1d 704 . . . . . . . 8 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
19182rexbidv 2980 . . . . . . 7 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2019rspcv 3210 . . . . . 6 |- ( <. x , A >. e. U -> ( A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2110, 16, 20sylc 60 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
22 opelxp 5028 . . . . . . . . . 10 |- ( <. x , A >. e. ( u X. v ) <-> ( x e. u /\ A e. v ) )
2322anbi1i 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
24 anass 649 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2523, 24bitri 249 . . . . . . . 8 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2625rexbii 2965 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
27 r19.42v 3016 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2826, 27bitri 249 . . . . . 6 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2928rexbii 2965 . . . . 5 |- ( E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
3021, 29sylib 196 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
3130ralrimiva 2878 . . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
32 txtube.x . . . 4 |- X = U. R
33 eleq2 2540 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( A e. v <-> A e. ( f ` u ) ) )
34 xpeq2 5014 . . . . . 6 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u X. v ) = ( u X. ( f ` u ) ) )
3534sseq1d 3531 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( u X. v ) C_ U <-> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
3633, 35anbi12d 710 . . . 4 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) )
3732, 36cmpcovf 19654 . . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
381, 31, 37syl2anc 661 . 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
39 rint0 4322 . . . . . . . . . 10 |- ( ran f = (/) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
41 txtube.y . . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. S
4241topopn 19179 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Top -> Y e. S )
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. S )
4443ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> Y e. S )
4540, 44eqeltrd 2555 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
4612ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> S e. Top )
47 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t --> S )
48 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : t --> S -> ran f C_ S )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f C_ S )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f C_ S )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f =/= (/) )
52 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
53 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
5452, 53sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. Fin )
55 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : t --> S -> f Fn t )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f Fn t )
57 dffn4 5799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
59 fofi 7802 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
6054, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f e. Fin )
62 fiinopn 19174 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Top -> ( ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) -> |^| ran f e. S ) )
6362imp 429 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. Top /\ ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) ) -> |^| ran f e. S )
6446, 50, 51, 61, 63syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f e. S )
65 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| ran f e. S -> |^| ran f C_ U. S )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ U. S )
6766, 41syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ Y )
68 dfss1 3703 . . . . . . . . . 10 |- ( |^| ran f C_ Y <-> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
6967, 68sylib 196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
7069, 64eqeltrd 2555 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
7145, 70pm2.61dane 2785 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
725ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. Y )
73 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
74 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A e. ( f ` u ) )
7574ralimi 2857 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
77 eliin 4331 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Y -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
7976, 78mpbird 232 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) )
80 fniinfv 5924 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
8156, 80syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
8279, 81eleqtrd 2557 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^| ran f )
8372, 82elind 3688 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. ( Y i^i |^| ran f ) )
84 simprl 755 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U. t )
85 uniiun 4378 . . . . . . . . . . 11 |- U. t = U_ u e. t u
8684, 85syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U_ u e. t u )
8786xpeq1d 5022 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
88 xpiundir 5054 . . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) )
8987, 88syl6eq 2524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
90 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
9190ralimi 2857 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
9273, 91syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
93 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
9480adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
95 iinss2 4377 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
9794, 96eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^| ran f C_ ( f ` u ) )
9893, 97syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) )
99 xpss2 5110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) )
100 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
10198, 99, 1003syl 20 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
102101ralimdva 2872 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> ( A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
10356, 92, 102sylc 60 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
104 iunss 4366 . . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U <-> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
105103, 104sylibr 212 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
10689, 105eqsstrd 3538 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
107 eleq2 2540 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( A e. u <-> A e. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
108 xpeq2 5014 . . . . . . . . . 10 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( X X. u ) = ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
109108sseq1d 3531 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( X X. u ) C_ U <-> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
110107, 109anbi12d 710 . . . . . . . 8 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) <-> ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) )
111110rspcev 3214 . . . . . . 7 |- ( ( ( Y i^i |^| ran f ) e. S /\ ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
11271, 83, 106, 111syl12anc 1226 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
113112expr 615 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
114113exlimdv 1700 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
115114expimpd 603 . . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
116115rexlimdva 2955 . 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
11738, 116mpd 15 1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   |^|cint 4282   U_ciun 4325   |^|_ciin 4326   X. cxp 4997   ran crn 5000   Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   Topctop 19158   Compccmp 19649   tX ctx 19793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-topgen 14692  df-top 19163  df-cmp 19650  df-tx 19795
This theorem is referenced by:  txcmplem1  19874  xkoinjcn  19920  cvmlift2lem12  28396
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