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Theorem txtube 20119
Description: The "tube lemma". If X is compact and there is an open set U containing the line X X. { A }, then there is a "tube" X X. u for some neighborhood u of A which is entirely contained within U. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x |- X = U. R
txtube.y |- Y = U. S
txtube.r |- ( ph -> R e. Comp )
txtube.s |- ( ph -> S e. Top )
txtube.w |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
txtube.u |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
txtube.a |- ( ph -> A e. Y )
Assertion
Ref Expression
txtube |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
Distinct variable groups:   u, A   u, R   u, S   u, Y   ph, u   u, U   u, X
Proof of Theorem txtube
Dummy variables t f v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2 txtube.u . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
32adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. { A } ) C_ U )
4 id 22 . . . . . . . 8 |- ( x e. X -> x e. X )
5 txtube.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
6 snidg 4040 . . . . . . . . 9 |- ( A e. Y -> A e. { A } )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. { A } )
8 opelxpi 5021 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ A e. { A } ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
94, 7, 8syl2anr 478 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
103, 9sseldd 3490 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U )
11 txtube.w . . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
12 txtube.s . . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
13 eltx 20047 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Top ) -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
1511, 14mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
1615adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
17 eleq1 2515 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( u X. v ) <-> <. x , A >. e. ( u X. v ) ) )
1817anbi1d 704 . . . . . . . 8 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
19182rexbidv 2961 . . . . . . 7 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2019rspcv 3192 . . . . . 6 |- ( <. x , A >. e. U -> ( A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2110, 16, 20sylc 60 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
22 opelxp 5019 . . . . . . . . . 10 |- ( <. x , A >. e. ( u X. v ) <-> ( x e. u /\ A e. v ) )
2322anbi1i 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
24 anass 649 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2523, 24bitri 249 . . . . . . . 8 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2625rexbii 2945 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
27 r19.42v 2998 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2826, 27bitri 249 . . . . . 6 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2928rexbii 2945 . . . . 5 |- ( E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
3021, 29sylib 196 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
3130ralrimiva 2857 . . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
32 txtube.x . . . 4 |- X = U. R
33 eleq2 2516 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( A e. v <-> A e. ( f ` u ) ) )
34 xpeq2 5004 . . . . . 6 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u X. v ) = ( u X. ( f ` u ) ) )
3534sseq1d 3516 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( u X. v ) C_ U <-> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
3633, 35anbi12d 710 . . . 4 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) )
3732, 36cmpcovf 19869 . . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
381, 31, 37syl2anc 661 . 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
39 rint0 4312 . . . . . . . . . 10 |- ( ran f = (/) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
41 txtube.y . . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. S
4241topopn 19393 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Top -> Y e. S )
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. S )
4443ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> Y e. S )
4540, 44eqeltrd 2531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
4612ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> S e. Top )
47 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t --> S )
48 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : t --> S -> ran f C_ S )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f C_ S )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f C_ S )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f =/= (/) )
52 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
53 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
5452, 53sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. Fin )
55 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : t --> S -> f Fn t )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f Fn t )
57 dffn4 5791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
59 fofi 7808 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
6054, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f e. Fin )
62 fiinopn 19388 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Top -> ( ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) -> |^| ran f e. S ) )
6362imp 429 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. Top /\ ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) ) -> |^| ran f e. S )
6446, 50, 51, 61, 63syl13anc 1231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f e. S )
65 elssuni 4264 . . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| ran f e. S -> |^| ran f C_ U. S )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ U. S )
6766, 41syl6sseqr 3536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ Y )
68 dfss1 3688 . . . . . . . . . 10 |- ( |^| ran f C_ Y <-> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
6967, 68sylib 196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
7069, 64eqeltrd 2531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
7145, 70pm2.61dane 2761 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
725ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. Y )
73 simprrr 766 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
74 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A e. ( f ` u ) )
7574ralimi 2836 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
77 eliin 4321 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Y -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
7976, 78mpbird 232 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) )
80 fniinfv 5917 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
8156, 80syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
8279, 81eleqtrd 2533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^| ran f )
8372, 82elind 3673 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. ( Y i^i |^| ran f ) )
84 simprl 756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U. t )
85 uniiun 4368 . . . . . . . . . . 11 |- U. t = U_ u e. t u
8684, 85syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U_ u e. t u )
8786xpeq1d 5012 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
88 xpiundir 5045 . . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) )
8987, 88syl6eq 2500 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
90 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
9190ralimi 2836 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
9273, 91syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
93 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
9480adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
95 iinss2 4367 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
9794, 96eqsstr3d 3524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^| ran f C_ ( f ` u ) )
9893, 97syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) )
99 xpss2 5102 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) )
100 sstr2 3496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
10198, 99, 1003syl 20 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
102101ralimdva 2851 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> ( A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
10356, 92, 102sylc 60 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
104 iunss 4356 . . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U <-> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
105103, 104sylibr 212 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
10689, 105eqsstrd 3523 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
107 eleq2 2516 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( A e. u <-> A e. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
108 xpeq2 5004 . . . . . . . . . 10 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( X X. u ) = ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
109108sseq1d 3516 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( X X. u ) C_ U <-> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
110107, 109anbi12d 710 . . . . . . . 8 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) <-> ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) )
111110rspcev 3196 . . . . . . 7 |- ( ( ( Y i^i |^| ran f ) e. S /\ ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
11271, 83, 106, 111syl12anc 1227 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
113112expr 615 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
114113exlimdv 1711 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
115114expimpd 603 . . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
116115rexlimdva 2935 . 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
11738, 116mpd 15 1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   E.wex 1599   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   <.cop 4020   U.cuni 4234   |^|cint 4271   U_ciun 4315   |^|_ciin 4316   X. cxp 4987   ran crn 4990   Fn wfn 5573   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   Topctop 19372   Compccmp 19864   tX ctx 20039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-fin 7522  df-topgen 14823  df-top 19377  df-cmp 19865  df-tx 20041
This theorem is referenced by:  txcmplem1  20120  xkoinjcn  20166  cvmlift2lem12  28737
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