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Theorem txtube 17625
Description: The "tube lemma". If X is compact and there is an open set U containing the line X X. { A }, then there is a "tube" X X. u for some neighborhood u of A which is entirely contained within U. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x |- X = U. R
txtube.y |- Y = U. S
txtube.r |- ( ph -> R e. Comp )
txtube.s |- ( ph -> S e. Top )
txtube.w |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
txtube.u |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
txtube.a |- ( ph -> A e. Y )
Assertion
Ref Expression
txtube |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
Distinct variable groups:   u, A   u, R   u, S   u, Y   ph, u   u, U   u, X
Proof of Theorem txtube
Dummy variables t f v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2 txtube.u . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
32adantr 452 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. { A } ) C_ U )
4 id 20 . . . . . . . 8 |- ( x e. X -> x e. X )
5 txtube.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
6 snidg 3799 . . . . . . . . 9 |- ( A e. Y -> A e. { A } )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. { A } )
8 opelxpi 4869 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ A e. { A } ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
94, 7, 8syl2anr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
103, 9sseldd 3309 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U )
11 txtube.w . . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
12 txtube.s . . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
13 eltx 17553 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Top ) -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
141, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
1511, 14mpbid 202 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
1615adantr 452 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
17 eleq1 2464 . . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( u X. v ) <-> <. x , A >. e. ( u X. v ) ) )
1817anbi1d 686 . . . . . . . 8 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
19182rexbidv 2709 . . . . . . 7 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2019rspcv 3008 . . . . . 6 |- ( <. x , A >. e. U -> ( A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2110, 16, 20sylc 58 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
22 opelxp 4867 . . . . . . . . . 10 |- ( <. x , A >. e. ( u X. v ) <-> ( x e. u /\ A e. v ) )
2322anbi1i 677 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
24 anass 631 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2523, 24bitri 241 . . . . . . . 8 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2625rexbii 2691 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
27 r19.42v 2822 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2826, 27bitri 241 . . . . . 6 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
2928rexbii 2691 . . . . 5 |- ( E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
3021, 29sylib 189 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
3130ralrimiva 2749 . . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
32 txtube.x . . . 4 |- X = U. R
33 eleq2 2465 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( A e. v <-> A e. ( f ` u ) ) )
34 xpeq2 4852 . . . . . 6 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u X. v ) = ( u X. ( f ` u ) ) )
3534sseq1d 3335 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( u X. v ) C_ U <-> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
3633, 35anbi12d 692 . . . 4 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) )
3732, 36cmpcovf 17408 . . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
381, 31, 37syl2anc 643 . 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
39 rint0 4050 . . . . . . . . . 10 |- ( ran f = (/) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
4039adantl 453 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
41 txtube.y . . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. S
4241topopn 16934 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Top -> Y e. S )
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. S )
4443ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> Y e. S )
4540, 44eqeltrd 2478 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
4612ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> S e. Top )
47 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t --> S )
48 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : t --> S -> ran f C_ S )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f C_ S )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f C_ S )
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f =/= (/) )
52 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
53 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
5452, 53sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. Fin )
55 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : t --> S -> f Fn t )
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f Fn t )
57 dffn4 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
5856, 57sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
59 fofi 7351 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
6054, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f e. Fin )
62 fiinopn 16929 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Top -> ( ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) -> |^| ran f e. S ) )
6362imp 419 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. Top /\ ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) ) -> |^| ran f e. S )
6446, 50, 51, 61, 63syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f e. S )
65 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| ran f e. S -> |^| ran f C_ U. S )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ U. S )
6766, 41syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ Y )
68 dfss1 3505 . . . . . . . . . 10 |- ( |^| ran f C_ Y <-> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
6967, 68sylib 189 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
7069, 64eqeltrd 2478 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
7145, 70pm2.61dane 2645 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
725ad2antrr 707 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. Y )
73 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
74 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A e. ( f ` u ) )
7574ralimi 2741 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
77 eliin 4058 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Y -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
7976, 78mpbird 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) )
80 fniinfv 5744 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
8156, 80syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
8279, 81eleqtrd 2480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^| ran f )
83 elin 3490 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) <-> ( A e. Y /\ A e. |^| ran f ) )
8472, 82, 83sylanbrc 646 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. ( Y i^i |^| ran f ) )
85 simprl 733 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U. t )
86 uniiun 4104 . . . . . . . . . . 11 |- U. t = U_ u e. t u
8785, 86syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U_ u e. t u )
8887xpeq1d 4860 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
89 xpiundir 4892 . . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) )
9088, 89syl6eq 2452 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
91 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
9291ralimi 2741 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
9373, 92syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
94 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
9580adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
96 iinss2 4103 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
9895, 97eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^| ran f C_ ( f ` u ) )
9994, 98syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) )
100 xpss2 4944 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) )
101 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
10299, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
103102ralimdva 2744 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> ( A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
10456, 93, 103sylc 58 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
105 iunss 4092 . . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U <-> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
106104, 105sylibr 204 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
10790, 106eqsstrd 3342 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
108 eleq2 2465 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( A e. u <-> A e. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
109 xpeq2 4852 . . . . . . . . . 10 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( X X. u ) = ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
110109sseq1d 3335 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( X X. u ) C_ U <-> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
111108, 110anbi12d 692 . . . . . . . 8 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) <-> ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) )
112111rspcev 3012 . . . . . . 7 |- ( ( ( Y i^i |^| ran f ) e. S /\ ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
11371, 84, 107, 112syl12anc 1182 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
114113expr 599 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
115114exlimdv 1643 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
116115expimpd 587 . . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
117116rexlimdva 2790 . 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
11838, 117mpd 15 1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   |^|cint 4010   U_ciun 4053   |^|_ciin 4054   X. cxp 4835   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   Topctop 16913   Compccmp 17403   tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  txcmplem1  17626  xkoinjcn  17672  cvmlift2lem12  24954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-topgen 13622  df-top 16918  df-cmp 17404  df-tx 17547
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