Theorem txtube 20710

Description: The "tube lemma". If X is compact and there is an open set U containing the line X X. { A }, then there is a "tube" X X. u for some neighborhood u of A which is entirely contained within U. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txtube.x	|- X = U. R
txtube.y	|- Y = U. S
txtube.r	|- ( ph -> R e. Comp )
txtube.s	|- ( ph -> S e. Top )
txtube.w	|- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
txtube.u	|- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
txtube.a	|- ( ph -> A e. Y )

Assertion

Ref	Expression
txtube	|- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, R   u, S   u, Y   ph, u   u, U   u, X

Proof of Theorem txtube

Dummy variables t f v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txtube.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Comp )
2		txtube.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X X. { A } ) C_ U )
3	2	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( X X. { A } ) C_ U )
4		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x e. X -> x e. X )
5		txtube.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Y )
6		snidg 4006	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Y -> A e. { A } )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. { A } )
8		opelxpi 4888	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ A e. { A } ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
9	4, 7, 8	syl2anr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. ( X X. { A } ) )
10	3, 9	sseldd 3445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. x , A >. e. U )
11		txtube.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. ( R tX S ) )
12		txtube.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. Top )
13		eltx 20638	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Top ) -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
14	1, 12, 13	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U e. ( R tX S ) <-> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
15	11, 14	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
16	15	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
17		eleq1 2528	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , A >. -> ( y e. ( u X. v ) <-> <. x , A >. e. ( u X. v ) ) )
18	17	anbi1d 716	. . . . . . . 8 |- ( y = <. x , A >. -> ( ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
19	18	2rexbidv 2920	. . . . . . 7 |- ( y = <. x , A >. -> ( E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
20	19	rspcv 3158	. . . . . 6 |- ( <. x , A >. e. U -> ( A. y e. U E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
21	10, 16, 20	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
22		opelxp 4886	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , A >. e. ( u X. v ) <-> ( x e. u /\ A e. v ) )
23	22	anbi1i 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) )
24		anass 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. u /\ A e. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
25	23, 24	bitri 257	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
26	25	rexbii 2901	. . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
27		r19.42v 2957	. . . . . . 7 |- ( E. v e. S ( x e. u /\ ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
28	26, 27	bitri 257	. . . . . 6 |- ( E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
29	28	rexbii 2901	. . . . 5 |- ( E. u e. R E. v e. S ( <. x , A >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
30	21, 29	sylib 201	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
31	30	ralrimiva 2814	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) )
32		txtube.x	. . . 4 |- X = U. R
33		eleq2 2529	. . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( A e. v <-> A e. ( f ` u ) ) )
34		xpeq2 4871	. . . . . 6 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u X. v ) = ( u X. ( f ` u ) ) )
35	34	sseq1d 3471	. . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( u X. v ) C_ U <-> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
36	33, 35	anbi12d 722	. . . 4 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) <-> ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) )
37	32, 36	cmpcovf 20461	. . 3 |- ( ( R e. Comp /\ A. x e. X E. u e. R ( x e. u /\ E. v e. S ( A e. v /\ ( u X. v ) C_ U ) ) ) -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
38	1, 31, 37	syl2anc 671	. 2 |- ( ph -> E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) )
39		rint0 4289	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = (/) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
40	39	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = Y )
41		txtube.y	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = U. S
42	41	topopn 19991	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Top -> Y e. S )
43	12, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. S )
44	43	ad3antrrr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> Y e. S )
45	40, 44	eqeltrd 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f = (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
46	12	ad3antrrr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> S e. Top )
47		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t --> S )
48		frn 5762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : t --> S -> ran f C_ S )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f C_ S )
50	49	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f C_ S )
51		simpr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f =/= (/) )
52		inss2 3665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P R i^i Fin ) C_ Fin
53		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. ( ~P R i^i Fin ) )
54	52, 53	sseldi 3442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> t e. Fin )
55		ffn 5755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : t --> S -> f Fn t )
56	47, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f Fn t )
57		dffn4 5826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn t <-> f : t -onto-> ran f )
58	56, 57	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> f : t -onto-> ran f )
59		fofi 7891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. Fin /\ f : t -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
60	54, 58, 59	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
61	60	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ran f e. Fin )
62		fiinopn 19986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Top -> ( ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) -> |^| ran f e. S ) )
63	62	imp 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. Top /\ ( ran f C_ S /\ ran f =/= (/) /\ ran f e. Fin ) ) -> |^| ran f e. S )
64	46, 50, 51, 61, 63	syl13anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f e. S )
65		elssuni 4241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| ran f e. S -> |^| ran f C_ U. S )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ U. S )
67	66, 41	syl6sseqr 3491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> |^| ran f C_ Y )
68		dfss1 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( |^| ran f C_ Y <-> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
69	67, 68	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) = |^| ran f )
70	69, 64	eqeltrd 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) /\ ran f =/= (/) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
71	45, 70	pm2.61dane 2723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( Y i^i |^| ran f ) e. S )
72	5	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. Y )
73		simprrr 780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) )
74		simpl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A e. ( f ` u ) )
75	74	ralimi 2793	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t A e. ( f ` u ) )
77		eliin 4298	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Y -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) <-> A. u e. t A e. ( f ` u ) ) )
79	76, 78	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^|_ u e. t ( f ` u ) )
80		fniinfv 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
81	56, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
82	79, 81	eleqtrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. |^| ran f )
83	72, 82	elind 3630	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A e. ( Y i^i |^| ran f ) )
84		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U. t )
85		uniiun 4345	. . . . . . . . . . 11 |- U. t = U_ u e. t u
86	84, 85	syl6eq 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> X = U_ u e. t u )
87	86	xpeq1d 4879	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
88		xpiundir 4912	. . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) )
89	87, 88	syl6eq 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) = U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
90		simpr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
91	90	ralimi 2793	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
92	73, 91	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U )
93		inss2 3665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y i^i |^| ran f ) C_ |^| ran f
94	80	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) = |^| ran f )
95		iinss2 4344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. t -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
96	95	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^|_ u e. t ( f ` u ) C_ ( f ` u ) )
97	94, 96	eqsstr3d 3479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> |^| ran f C_ ( f ` u ) )
98	93, 97	syl5ss 3455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) )
99		xpss2 4966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y i^i |^| ran f ) C_ ( f ` u ) -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) )
100		sstr2 3451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ ( u X. ( f ` u ) ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
101	98, 99, 100	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn t /\ u e. t ) -> ( ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
102	101	ralimdva 2808	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn t -> ( A. u e. t ( u X. ( f ` u ) ) C_ U -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
103	56, 92, 102	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
104		iunss 4333	. . . . . . . . 9 |- ( U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U <-> A. u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
105	103, 104	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> U_ u e. t ( u X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
106	89, 105	eqsstrd 3478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U )
107		eleq2 2529	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( A e. u <-> A e. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
108		xpeq2 4871	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( X X. u ) = ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) )
109	108	sseq1d 3471	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( X X. u ) C_ U <-> ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) )
110	107, 109	anbi12d 722	. . . . . . . 8 |- ( u = ( Y i^i |^| ran f ) -> ( ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) <-> ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) )
111	110	rspcev 3162	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y i^i |^| ran f ) e. S /\ ( A e. ( Y i^i |^| ran f ) /\ ( X X. ( Y i^i |^| ran f ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
112	71, 83, 106, 111	syl12anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ ( X = U. t /\ ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )
113	112	expr 624	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
114	113	exlimdv 1790	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) /\ X = U. t ) -> ( E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
115	114	expimpd 612	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ( ~P R i^i Fin ) ) -> ( ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
116	115	rexlimdva 2891	. 2 |- ( ph -> ( E. t e. ( ~P R i^i Fin ) ( X = U. t /\ E. f ( f : t --> S /\ A. u e. t ( A e. ( f ` u ) /\ ( u X. ( f ` u ) ) C_ U ) ) ) -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) ) )
117	38, 116	mpd 15	1 |- ( ph -> E. u e. S ( A e. u /\ ( X X. u ) C_ U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   <.cop 3986   U.cuni 4212   |^|cint 4248   U_ciun 4292   |^|_ciin 4293   X. cxp 4854   ran crn 4857   Fn wfn 5600   -->wf 5601   -onto->wfo 5603   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   Fincfn 7600   Topctop 19972   Compccmp 20456   tX ctx 20630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-fin 7604  df-topgen 15397  df-top 19976  df-cmp 20457  df-tx 20632

This theorem is referenced by:  txcmplem1  20711  xkoinjcn  20757  cvmlift2lem12  30087