MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtop Structured version   Unicode version

Theorem txtop 19140
Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txtop  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )

Proof of Theorem txtop
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
21txval 19135 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
3 topbas 18575 . . . 4  |-  ( R  e.  Top  ->  R  e. 
TopBases )
4 topbas 18575 . . . 4  |-  ( S  e.  Top  ->  S  e. 
TopBases )
51txbas 19138 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  TopBases )
63, 4, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  TopBases )
7 tgcl 18572 . . 3  |-  ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  Top )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  Top )
92, 8eqeltrd 2515 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    X. cxp 4836   ran crn 4839   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   topGenctg 14374   Topctop 18496   TopBasesctb 18500    tX ctx 19131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-topgen 14380  df-top 18501  df-bases 18503  df-tx 19133
This theorem is referenced by:  txtopi  19161  txtopon  19162  txcld  19174  neitx  19178  txlly  19207  txnlly  19208  txcmplem1  19212  txcmp  19214  hausdiag  19216  txhaus  19218  tx1stc  19221  txkgen  19223  xkococn  19231  xkoinjcn  19258  txcon  19260  imasnopn  19261  imasncls  19263  utop2nei  19823  utop3cls  19824  txpcon  27119
  Copyright terms: Public domain W3C validator