MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txswaphmeolem Structured version   Unicode version

Theorem txswaphmeolem 20173
Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txswaphmeolem  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
Distinct variable groups:    x, y, X    x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5037 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
21ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
4 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )
5 sneq 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  { z }  =  { <. y ,  x >. } )
65cnveqd 5184 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  `' { z }  =  `' { <. y ,  x >. } )
76unieqd 4261 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  U. `' { z }  =  U. `' { <. y ,  x >. } )
8 opswap 5501 . . . . . . . 8  |-  U. `' { <. y ,  x >. }  =  <. x ,  y >.
97, 8syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  U. `' { z }  =  <. x ,  y >. )
109mpt2mpt 6389 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  U. `' { z } )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )
1110eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y >. )  =  ( z  e.  ( Y  X.  X
)  |->  U. `' { z } )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |-> 
<. x ,  y >.
)  =  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  U. `' { z } ) )
133, 4, 12, 9fmpt2co 6878 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. x ,  y >. )
)
1413trud 1388 . 2  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. x ,  y >.
)
15 id 22 . . 3  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  =  <. x ,  y >. )
1615mpt2mpt 6389 . 2  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. x ,  y
>. )
17 mptresid 5334 . 2  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
1814, 16, 173eqtr2i 2502 1  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   {csn 4033   <.cop 4039   U.cuni 4251    |-> cmpt 4511    _I cid 4796    X. cxp 5003   `'ccnv 5004    |` cres 5007    o. ccom 5009    |-> cmpt2 6297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796
This theorem is referenced by:  txswaphmeo  20174
  Copyright terms: Public domain W3C validator