MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txswaphmeolem Structured version   Unicode version

Theorem txswaphmeolem 19277
Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txswaphmeolem  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
Distinct variable groups:    x, y, X    x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4867 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
21ancoms 450 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
32adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
4 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )
5 sneq 3884 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  { z }  =  { <. y ,  x >. } )
65cnveqd 5011 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  `' { z }  =  `' { <. y ,  x >. } )
76unieqd 4098 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  U. `' { z }  =  U. `' { <. y ,  x >. } )
8 opswap 5323 . . . . . . . 8  |-  U. `' { <. y ,  x >. }  =  <. x ,  y >.
97, 8syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  U. `' { z }  =  <. x ,  y >. )
109mpt2mpt 6181 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  U. `' { z } )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )
1110eqcomi 2445 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y >. )  =  ( z  e.  ( Y  X.  X
)  |->  U. `' { z } )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |-> 
<. x ,  y >.
)  =  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  U. `' { z } ) )
133, 4, 12, 9fmpt2co 6655 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. x ,  y >. )
)
1413trud 1373 . 2  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. x ,  y >.
)
15 id 22 . . 3  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  =  <. x ,  y >. )
1615mpt2mpt 6181 . 2  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. x ,  y
>. )
17 mptresid 5157 . 2  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
1814, 16, 173eqtr2i 2467 1  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761   {csn 3874   <.cop 3880   U.cuni 4088    e. cmpt 4347    _I cid 4627    X. cxp 4834   `'ccnv 4835    |` cres 4838    o. ccom 4840    e. cmpt2 6092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577
This theorem is referenced by:  txswaphmeo  19278
  Copyright terms: Public domain W3C validator