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Theorem txsconlem 28952
Description: Lemma for txscon 28953. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txscon.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
txscon.2  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
txscon.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) )
txscon.5  |-  A  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
txscon.6  |-  B  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
txscon.7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
txscon.8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
txsconlem  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )

Proof of Theorem txsconlem
Dummy variables  x  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txscon.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) )
2 fconstmpt 5032 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 0 ) )
3 iitopon 21552 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
5 txscon.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
6 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
76toptopon 19604 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
85, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
9 txscon.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
10 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  U. S  =  U. S
1110toptopon 19604 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
129, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
13 txtopon 20261 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
148, 12, 13syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
15 cnf2 19920 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) )  /\  F  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
164, 14, 1, 15syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S ) )
17 0elunit 11641 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
18 ffvelrn 6005 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
1916, 17, 18sylancl 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
204, 14, 19cnmptc 20332 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  0
) )  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) )
212, 20syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
22 txscon.5 . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
23 tx1cn 20279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
248, 12, 23syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  R ) )
25 cnco 19937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F )  e.  ( II  Cn  R ) )
261, 24, 25syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  R ) )
2722, 26syl5eqel 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( II 
Cn  R ) )
28 fconstmpt 5032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( A `
 0 ) )
29 iiuni 21554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
3029, 6cnf 19917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( II  Cn  R )  ->  A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R
)
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R )
32 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  0 )  e.  U. R )
3331, 17, 32sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  U. R
)
344, 8, 33cnmptc 20332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( A `  0
) )  e.  ( II  Cn  R ) )
3528, 34syl5eqel 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } )  e.  ( II  Cn  R
) )
3627, 35phtpycn 21652 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) )  C_  (
( II  tX  II )  Cn  R ) )
37 txscon.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
3836, 37sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  R ) )
39 iitop 21553 . . . . . . . . . 10  |-  II  e.  Top
4039, 39, 29, 29txunii 20263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
4140, 6cnf 19917 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  R )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. R
)
42 ffn 5713 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. R  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
4338, 41, 423syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
44 fnov 6383 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  <->  G  =  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G y ) ) )
4543, 44sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x G y ) ) )
4645, 38eqeltrrd 2543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  R ) )
47 txscon.6 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
48 tx2cn 20280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
498, 12, 48syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) )
50 cnco 19937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F )  e.  ( II  Cn  S ) )
511, 49, 50syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  S ) )
5247, 51syl5eqel 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( II 
Cn  S ) )
53 fconstmpt 5032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( B `
 0 ) )
5429, 10cnf 19917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( II  Cn  S )  ->  B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S
)
5552, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S )
56 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  0 )  e.  U. S )
5755, 17, 56sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B `  0
)  e.  U. S
)
584, 12, 57cnmptc 20332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( B `  0
) )  e.  ( II  Cn  S ) )
5953, 58syl5eqel 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } )  e.  ( II  Cn  S
) )
6052, 59phtpycn 21652 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) )  C_  (
( II  tX  II )  Cn  S ) )
61 txscon.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
6260, 61sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  S ) )
6340, 10cnf 19917 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  S )  ->  H : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. S
)
64 ffn 5713 . . . . . . . 8  |-  ( H : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. S  ->  H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
6562, 63, 643syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
66 fnov 6383 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  <->  H  =  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H y ) ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x H y ) ) )
6867, 62eqeltrrd 2543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  S ) )
694, 4, 46, 68cnmpt2t 20343 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )  e.  (
( II  tX  II )  Cn  ( R  tX  S ) ) )
7027, 35phtpyhtpy 21651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) )  C_  ( A ( II Htpy  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( A ` 
0 ) } ) ) )
7170, 37sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( II Htpy  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
724, 27, 35, 71htpyi 21643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( s G 0 )  =  ( A `
 s )  /\  ( s G 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( A `  0 ) } ) `  s
) ) )
7372simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 0 )  =  ( A `  s ) )
7422fveq1i 5849 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 s )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  s
)
75 fvco3 5925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
7616, 75sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
7774, 76syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
78 ffvelrn 6005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
7916, 78sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
80 fvres 5862 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  s )
)  =  ( 1st `  ( F `  s
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 s ) )  =  ( 1st `  ( F `  s )
) )
8273, 77, 813eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 0 )  =  ( 1st `  ( F `  s )
) )
8352, 59phtpyhtpy 21651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) )  C_  ( B ( II Htpy  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( B ` 
0 ) } ) ) )
8483, 61sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( II Htpy  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
854, 52, 59, 84htpyi 21643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( s H 0 )  =  ( B `
 s )  /\  ( s H 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( B `  0 ) } ) `  s
) ) )
8685simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( B `  s ) )
8747fveq1i 5849 . . . . . . . 8  |-  ( B `
 s )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  s
)
88 fvco3 5925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
8916, 88sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
9087, 89syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
91 fvres 5862 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  s )
)  =  ( 2nd `  ( F `  s
) ) )
9279, 91syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 s ) )  =  ( 2nd `  ( F `  s )
) )
9386, 90, 923eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( 2nd `  ( F `  s )
) )
9482, 93opeq12d 4211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 s ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  s )
) >. )
95 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1
) )
96 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x G y )  =  ( s G 0 ) )
97 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x H y )  =  ( s H 0 ) )
9896, 97opeq12d 4211 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >. )
99 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
x G y ) ,  ( x H y ) >. )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )
100 opex 4701 . . . . . . 7  |-  <. (
s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.  e.  _V
10198, 99, 100ovmpt2a 6406 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) 0 )  = 
<. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.
)
10295, 17, 101sylancl 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 0 )  = 
<. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.
)
103 1st2nd2 6810 . . . . . 6  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  s
)  =  <. ( 1st `  ( F `  s ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  s )
) >. )
10479, 103syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  =  <. ( 1st `  ( F `  s )
) ,  ( 2nd `  ( F `  s
) ) >. )
10594, 102, 1043eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 0 )  =  ( F `  s
) )
10672simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) `  s ) )
107 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 0 )  e. 
_V
108107fvconst2 6103 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) `  s )  =  ( A `  0 ) )
109108adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) `  s )  =  ( A `  0 ) )
11022fveq1i 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)
111 fvco3 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  0 ) ) )
11216, 17, 111sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 0 ) ) )
113 fvres 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
11419, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
115112, 114eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
116110, 115syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
117116adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  0 )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
118106, 109, 1173eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 1 )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
11985simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) `  s ) )
120 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 0 )  e. 
_V
121120fvconst2 6103 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) `  s )  =  ( B `  0 ) )
122121adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) `  s )  =  ( B `  0 ) )
12347fveq1i 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)
124 fvco3 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  0 ) ) )
12516, 17, 124sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 0 ) ) )
126 fvres 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
12719, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
128125, 127eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
129123, 128syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  0
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
130129adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  0 )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
131119, 122, 1303eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
132118, 131opeq12d 4211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
133 1elunit 11642 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
134 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x G y )  =  ( s G 1 ) )
135 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x H y )  =  ( s H 1 ) )
136134, 135opeq12d 4211 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >. )
137 opex 4701 . . . . . . 7  |-  <. (
s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.  e.  _V
138136, 99, 137ovmpt2a 6406 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) 1 )  = 
<. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.
)
13995, 133, 138sylancl 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 1 )  = 
<. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.
)
140 fvex 5858 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 0 )  e. 
_V
141140fvconst2 6103 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  ( F `  0 ) )
142141adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  ( F `  0 ) )
14319adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
144 1st2nd2 6810 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  0
)  =  <. ( 1st `  ( F ` 
0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
145143, 144syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  <. ( 1st `  ( F `  0 )
) ,  ( 2nd `  ( F `  0
) ) >. )
146142, 145eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
147132, 139, 1463eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) `
 s ) )
14827, 35, 37phtpyi 21653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 G s )  =  ( A `
 0 )  /\  ( 1 G s )  =  ( A `
 1 ) ) )
149148simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 G s )  =  ( A ` 
0 ) )
150149, 117eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 G s )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
15152, 59, 61phtpyi 21653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H s )  =  ( B `
 0 )  /\  ( 1 H s )  =  ( B `
 1 ) ) )
152151simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( B ` 
0 ) )
153152, 130eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
154150, 153opeq12d 4211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
155 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( x G y )  =  ( 0 G s ) )
156 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( x H y )  =  ( 0 H s ) )
157155, 156opeq12d 4211 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >. )
158 opex 4701 . . . . . . 7  |-  <. (
0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.  e.  _V
159157, 99, 158ovmpt2a 6406 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) s )  = 
<. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.
)
16017, 95, 159sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  = 
<. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.
)
161154, 160, 1453eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  =  ( F `  0
) )
162148simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 G s )  =  ( A ` 
1 ) )
16322fveq1i 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( A `
 1 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)
164 fvco3 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  1 ) ) )
16516, 133, 164sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
166163, 165syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  1
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
167 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
16816, 133, 167sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
169 fvres 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
171166, 170eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  1
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
172171adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  1 )  =  ( 1st `  ( F `  1 )
) )
173162, 172eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 G s )  =  ( 1st `  ( F `  1 )
) )
174151simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( B ` 
1 ) )
17547fveq1i 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( B `
 1 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)
176 fvco3 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  1 ) ) )
17716, 133, 176sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
178175, 177syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  1
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
179 fvres 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
180168, 179syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
181178, 180eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  1
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
182181adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  1 )  =  ( 2nd `  ( F `  1 )
) )
183174, 182eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( 2nd `  ( F `  1 )
) )
184173, 183opeq12d 4211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 1 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  1 )
) >. )
185 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x G y )  =  ( 1 G s ) )
186 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x H y )  =  ( 1 H s ) )
187185, 186opeq12d 4211 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >. )
188 opex 4701 . . . . . . 7  |-  <. (
1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.  e.  _V
189187, 99, 188ovmpt2a 6406 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) s )  = 
<. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.
)
190133, 95, 189sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  = 
<. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.
)
191168adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
192 1st2nd2 6810 . . . . . 6  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  1
)  =  <. ( 1st `  ( F ` 
1 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  1 )
) >. )
193191, 192syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  =  <. ( 1st `  ( F `  1 )
) ,  ( 2nd `  ( F `  1
) ) >. )
194184, 190, 1933eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  =  ( F `  1
) )
1951, 21, 69, 105, 147, 161, 194isphtpy2d 21656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )  e.  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ) )
196 ne0i 3789 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
)  e.  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) )  -> 
( F ( PHtpy `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) )  =/=  (/) )
197195, 196syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) )  =/=  (/) )
198 isphtpc 21663 . 2  |-  ( F (  ~=ph  `  ( R 
tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )  <->  ( F  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } )  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) )  =/=  (/) ) )
1991, 21, 197, 198syl3anbrc 1178 1  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986    |` cres 4990    o. ccom 4992    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   0cc0 9481   1c1 9482   [,]cicc 11535   Topctop 19564  TopOnctopon 19565    Cn ccn 19895    tX ctx 20230   IIcii 21548   Htpy chtpy 21636   PHtpycphtpy 21637    ~=ph cphtpc 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-topgen 14936  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-tx 20232  df-ii 21550  df-htpy 21639  df-phtpy 21640  df-phtpc 21661
This theorem is referenced by:  txscon  28953
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