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Theorem txsconlem 28436
Description: Lemma for txscon 28437. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txscon.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
txscon.2  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
txscon.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) )
txscon.5  |-  A  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
txscon.6  |-  B  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
txscon.7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
txscon.8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
txsconlem  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )

Proof of Theorem txsconlem
Dummy variables  x  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txscon.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) )
2 fconstmpt 5043 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 0 ) )
3 iitopon 21210 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
5 txscon.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
6 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
76toptopon 19241 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
85, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
9 txscon.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
10 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  U. S  =  U. S
1110toptopon 19241 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
129, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
13 txtopon 19919 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
148, 12, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
15 cnf2 19556 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) )  /\  F  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
164, 14, 1, 15syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S ) )
17 0elunit 11639 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
18 ffvelrn 6020 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
204, 14, 19cnmptc 19990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  0
) )  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) )
212, 20syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
22 txscon.5 . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
23 tx1cn 19937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
248, 12, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  R ) )
25 cnco 19573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F )  e.  ( II  Cn  R ) )
261, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  R ) )
2722, 26syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( II 
Cn  R ) )
28 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( A `
 0 ) )
29 iiuni 21212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
3029, 6cnf 19553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( II  Cn  R )  ->  A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R
)
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R )
32 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  0 )  e.  U. R )
3331, 17, 32sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  U. R
)
344, 8, 33cnmptc 19990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( A `  0
) )  e.  ( II  Cn  R ) )
3528, 34syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } )  e.  ( II  Cn  R
) )
3627, 35phtpycn 21310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) )  C_  (
( II  tX  II )  Cn  R ) )
37 txscon.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
3836, 37sseldd 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  R ) )
39 iitop 21211 . . . . . . . . . 10  |-  II  e.  Top
4039, 39, 29, 29txunii 19921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
4140, 6cnf 19553 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  R )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. R
)
42 ffn 5731 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. R  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
4338, 41, 423syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
44 fnov 6395 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  <->  G  =  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G y ) ) )
4543, 44sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x G y ) ) )
4645, 38eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  R ) )
47 txscon.6 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
48 tx2cn 19938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
498, 12, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) )
50 cnco 19573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F )  e.  ( II  Cn  S ) )
511, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  S ) )
5247, 51syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( II 
Cn  S ) )
53 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( B `
 0 ) )
5429, 10cnf 19553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( II  Cn  S )  ->  B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S
)
5552, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S )
56 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  0 )  e.  U. S )
5755, 17, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B `  0
)  e.  U. S
)
584, 12, 57cnmptc 19990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( B `  0
) )  e.  ( II  Cn  S ) )
5953, 58syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } )  e.  ( II  Cn  S
) )
6052, 59phtpycn 21310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) )  C_  (
( II  tX  II )  Cn  S ) )
61 txscon.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
6260, 61sseldd 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  S ) )
6340, 10cnf 19553 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  S )  ->  H : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. S
)
64 ffn 5731 . . . . . . . 8  |-  ( H : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. S  ->  H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
6562, 63, 643syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
66 fnov 6395 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  <->  H  =  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H y ) ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x H y ) ) )
6867, 62eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  S ) )
694, 4, 46, 68cnmpt2t 20001 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )  e.  (
( II  tX  II )  Cn  ( R  tX  S ) ) )
7027, 35phtpyhtpy 21309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) )  C_  ( A ( II Htpy  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( A ` 
0 ) } ) ) )
7170, 37sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( II Htpy  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
724, 27, 35, 71htpyi 21301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( s G 0 )  =  ( A `
 s )  /\  ( s G 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( A `  0 ) } ) `  s
) ) )
7372simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 0 )  =  ( A `  s ) )
7422fveq1i 5867 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 s )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  s
)
75 fvco3 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
7616, 75sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
7774, 76syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
78 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
7916, 78sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
80 fvres 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  s )
)  =  ( 1st `  ( F `  s
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 s ) )  =  ( 1st `  ( F `  s )
) )
8273, 77, 813eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 0 )  =  ( 1st `  ( F `  s )
) )
8352, 59phtpyhtpy 21309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) )  C_  ( B ( II Htpy  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( B ` 
0 ) } ) ) )
8483, 61sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( II Htpy  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
854, 52, 59, 84htpyi 21301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( s H 0 )  =  ( B `
 s )  /\  ( s H 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( B `  0 ) } ) `  s
) ) )
8685simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( B `  s ) )
8747fveq1i 5867 . . . . . . . 8  |-  ( B `
 s )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  s
)
88 fvco3 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
8916, 88sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
9087, 89syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
91 fvres 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  s )
)  =  ( 2nd `  ( F `  s
) ) )
9279, 91syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 s ) )  =  ( 2nd `  ( F `  s )
) )
9386, 90, 923eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( 2nd `  ( F `  s )
) )
9482, 93opeq12d 4221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 s ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  s )
) >. )
95 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1
) )
96 oveq12 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x G y )  =  ( s G 0 ) )
97 oveq12 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x H y )  =  ( s H 0 ) )
9896, 97opeq12d 4221 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >. )
99 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
x G y ) ,  ( x H y ) >. )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )
100 opex 4711 . . . . . . 7  |-  <. (
s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.  e.  _V
10198, 99, 100ovmpt2a 6418 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) 0 )  = 
<. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.
)
10295, 17, 101sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 0 )  = 
<. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.
)
103 1st2nd2 6822 . . . . . 6  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  s
)  =  <. ( 1st `  ( F `  s ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  s )
) >. )
10479, 103syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  =  <. ( 1st `  ( F `  s )
) ,  ( 2nd `  ( F `  s
) ) >. )
10594, 102, 1043eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 0 )  =  ( F `  s
) )
10672simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) `  s ) )
107 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 0 )  e. 
_V
108107fvconst2 6117 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) `  s )  =  ( A `  0 ) )
109108adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) `  s )  =  ( A `  0 ) )
11022fveq1i 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)
111 fvco3 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  0 ) ) )
11216, 17, 111sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 0 ) ) )
113 fvres 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
11419, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
115112, 114eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
116110, 115syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
117116adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  0 )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
118106, 109, 1173eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 1 )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
11985simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) `  s ) )
120 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 0 )  e. 
_V
121120fvconst2 6117 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) `  s )  =  ( B `  0 ) )
122121adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) `  s )  =  ( B `  0 ) )
12347fveq1i 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)
124 fvco3 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  0 ) ) )
12516, 17, 124sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 0 ) ) )
126 fvres 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
12719, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
128125, 127eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
129123, 128syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  0
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
130129adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  0 )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
131119, 122, 1303eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
132118, 131opeq12d 4221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
133 1elunit 11640 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
134 oveq12 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x G y )  =  ( s G 1 ) )
135 oveq12 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x H y )  =  ( s H 1 ) )
136134, 135opeq12d 4221 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >. )
137 opex 4711 . . . . . . 7  |-  <. (
s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.  e.  _V
138136, 99, 137ovmpt2a 6418 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) 1 )  = 
<. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.
)
13995, 133, 138sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 1 )  = 
<. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.
)
140 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 0 )  e. 
_V
141140fvconst2 6117 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  ( F `  0 ) )
142141adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  ( F `  0 ) )
14319adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
144 1st2nd2 6822 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  0
)  =  <. ( 1st `  ( F ` 
0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
145143, 144syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  <. ( 1st `  ( F `  0 )
) ,  ( 2nd `  ( F `  0
) ) >. )
146142, 145eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
147132, 139, 1463eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) `
 s ) )
14827, 35, 37phtpyi 21311 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 G s )  =  ( A `
 0 )  /\  ( 1 G s )  =  ( A `
 1 ) ) )
149148simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 G s )  =  ( A ` 
0 ) )
150149, 117eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 G s )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
15152, 59, 61phtpyi 21311 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H s )  =  ( B `
 0 )  /\  ( 1 H s )  =  ( B `
 1 ) ) )
152151simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( B ` 
0 ) )
153152, 130eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
154150, 153opeq12d 4221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
155 oveq12 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( x G y )  =  ( 0 G s ) )
156 oveq12 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( x H y )  =  ( 0 H s ) )
157155, 156opeq12d 4221 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >. )
158 opex 4711 . . . . . . 7  |-  <. (
0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.  e.  _V
159157, 99, 158ovmpt2a 6418 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) s )  = 
<. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.
)
16017, 95, 159sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  = 
<. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.
)
161154, 160, 1453eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  =  ( F `  0
) )
162148simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 G s )  =  ( A ` 
1 ) )
16322fveq1i 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( A `
 1 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)
164 fvco3 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  1 ) ) )
16516, 133, 164sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
166163, 165syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  1
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
167 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
16816, 133, 167sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
169 fvres 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
171166, 170eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  1
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
172171adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  1 )  =  ( 1st `  ( F `  1 )
) )
173162, 172eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 G s )  =  ( 1st `  ( F `  1 )
) )
174151simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( B ` 
1 ) )
17547fveq1i 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( B `
 1 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)
176 fvco3 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  1 ) ) )
17716, 133, 176sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
178175, 177syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  1
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
179 fvres 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
180168, 179syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
181178, 180eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  1
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
182181adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  1 )  =  ( 2nd `  ( F `  1 )
) )
183174, 182eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( 2nd `  ( F `  1 )
) )
184173, 183opeq12d 4221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 1 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  1 )
) >. )
185 oveq12 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x G y )  =  ( 1 G s ) )
186 oveq12 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x H y )  =  ( 1 H s ) )
187185, 186opeq12d 4221 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >. )
188 opex 4711 . . . . . . 7  |-  <. (
1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.  e.  _V
189187, 99, 188ovmpt2a 6418 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) s )  = 
<. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.
)
190133, 95, 189sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  = 
<. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.
)
191168adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
192 1st2nd2 6822 . . . . . 6  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  1
)  =  <. ( 1st `  ( F ` 
1 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  1 )
) >. )
193191, 192syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  =  <. ( 1st `  ( F `  1 )
) ,  ( 2nd `  ( F `  1
) ) >. )
194184, 190, 1933eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  =  ( F `  1
) )
1951, 21, 69, 105, 147, 161, 194isphtpy2d 21314 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )  e.  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ) )
196 ne0i 3791 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
)  e.  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) )  -> 
( F ( PHtpy `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) )  =/=  (/) )
197195, 196syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) )  =/=  (/) )
198 isphtpc 21321 . 2  |-  ( F (  ~=ph  `  ( R 
tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )  <->  ( F  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } )  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) )  =/=  (/) ) )
1991, 21, 197, 198syl3anbrc 1180 1  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    |` cres 5001    o. ccom 5003    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   0cc0 9493   1c1 9494   [,]cicc 11533   Topctop 19201  TopOnctopon 19202    Cn ccn 19531    tX ctx 19888   IIcii 21206   Htpy chtpy 21294   PHtpycphtpy 21295    ~=ph cphtpc 21296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-icc 11537  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-tx 19890  df-ii 21208  df-htpy 21297  df-phtpy 21298  df-phtpc 21319
This theorem is referenced by:  txscon  28437
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