Theorem txsconlem 29963

Description: Lemma for txscon 29964. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txscon.1	|- ( ph -> R e. Top )
txscon.2	|- ( ph -> S e. Top )
txscon.3	|- ( ph -> F e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
txscon.5	|- A = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F )
txscon.6	|- B = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F )
txscon.7	|- ( ph -> G e. ( A ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) )
txscon.8	|- ( ph -> H e. ( B ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
txsconlem	|- ( ph -> F ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )

Proof of Theorem txsconlem

Dummy variables x s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txscon.3	. 2 |- ( ph -> F e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
2		fconstmpt 4878	. . 3 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` 0 ) )
3		iitopon 21911	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
5		txscon.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Top )
6		eqid 2451	. . . . . . 7 |- U. R = U. R
7	6	toptopon 19948	. . . . . 6 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
8	5, 7	sylib 200	. . . . 5 |- ( ph -> R e. (TopOn ` U. R ) )
9		txscon.2	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Top )
10		eqid 2451	. . . . . . 7 |- U. S = U. S
11	10	toptopon 19948	. . . . . 6 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
12	9, 11	sylib 200	. . . . 5 |- ( ph -> S e. (TopOn ` U. S ) )
13		txtopon 20606	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
14	8, 12, 13	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ph -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
15		cnf2 20265	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) /\ F e. ( II Cn ( R tX S ) ) ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) )
16	4, 14, 1, 15	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) )
17		0elunit 11750	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
18		ffvelrn 6020	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) )
19	16, 17, 18	sylancl 668	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) )
20	4, 14, 19	cnmptc 20677	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` 0 ) ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
21	2, 20	syl5eqel 2533	. 2 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
22		txscon.5	. . . . . . . . . . 11 |- A = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F )
23		tx1cn 20624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
24	8, 12, 23	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
25		cnco 20282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) e. ( II Cn R ) )
26	1, 24, 25	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) e. ( II Cn R ) )
27	22, 26	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. ( II Cn R ) )
28		fconstmpt 4878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( A ` 0 ) )
29		iiuni 21913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
30	29, 6	cnf 20262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( II Cn R ) -> A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R )
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R )
32		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A ` 0 ) e. U. R )
33	31, 17, 32	sylancl 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. U. R )
34	4, 8, 33	cnmptc 20677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( A ` 0 ) ) e. ( II Cn R ) )
35	28, 34	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) e. ( II Cn R ) )
36	27, 35	phtpycn 22014	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) C_ ( ( II tX II ) Cn R ) )
37		txscon.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. ( A ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) )
38	36, 37	sseldd 3433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn R ) )
39		iitop 21912	. . . . . . . . . 10 |- II e. Top
40	39, 39, 29, 29	txunii 20608	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( II tX II )
41	40, 6	cnf 20262	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( ( II tX II ) Cn R ) -> G : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. R )
42		ffn 5728	. . . . . . . 8 |- ( G : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. R -> G Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
43	38, 41, 42	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> G Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
44		fnov 6404	. . . . . . 7 |- ( G Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) <-> G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G y ) ) )
45	43, 44	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ph -> G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G y ) ) )
46	45, 38	eqeltrrd 2530	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn R ) )
47		txscon.6	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F )
48		tx2cn 20625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
49	8, 12, 48	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
50		cnco 20282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) e. ( II Cn S ) )
51	1, 49, 50	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) e. ( II Cn S ) )
52	47, 51	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( II Cn S ) )
53		fconstmpt 4878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( B ` 0 ) )
54	29, 10	cnf 20262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ( II Cn S ) -> B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S )
56		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( B ` 0 ) e. U. S )
57	55, 17, 56	sylancl 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ` 0 ) e. U. S )
58	4, 12, 57	cnmptc 20677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( B ` 0 ) ) e. ( II Cn S ) )
59	53, 58	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) e. ( II Cn S ) )
60	52, 59	phtpycn 22014	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) C_ ( ( II tX II ) Cn S ) )
61		txscon.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H e. ( B ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) )
62	60, 61	sseldd 3433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H e. ( ( II tX II ) Cn S ) )
63	40, 10	cnf 20262	. . . . . . . 8 |- ( H e. ( ( II tX II ) Cn S ) -> H : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. S )
64		ffn 5728	. . . . . . . 8 |- ( H : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. S -> H Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> H Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
66		fnov 6404	. . . . . . 7 |- ( H Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) <-> H = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x H y ) ) )
67	65, 66	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ph -> H = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x H y ) ) )
68	67, 62	eqeltrrd 2530	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x H y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn S ) )
69	4, 4, 46, 68	cnmpt2t 20688	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) e. ( ( II tX II ) Cn ( R tX S ) ) )
70	27, 35	phtpyhtpy 22013	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) C_ ( A ( II Htpy R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) )
71	70, 37	sseldd 3433	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. ( A ( II Htpy R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) )
72	4, 27, 35, 71	htpyi 22005	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( s G 0 ) = ( A ` s ) /\ ( s G 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ` s ) ) )
73	72	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s G 0 ) = ( A ` s ) )
74	22	fveq1i 5866	. . . . . . . 8 |- ( A ` s ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s )
75		fvco3 5942	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
76	16, 75	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
77	74, 76	syl5eq 2497	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A ` s ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
78		ffvelrn 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) )
79	16, 78	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) )
80		fvres 5879	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) = ( 1st ` ( F ` s ) ) )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) = ( 1st ` ( F ` s ) ) )
82	73, 77, 81	3eqtrd 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s G 0 ) = ( 1st ` ( F ` s ) ) )
83	52, 59	phtpyhtpy 22013	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) C_ ( B ( II Htpy S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) )
84	83, 61	sseldd 3433	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H e. ( B ( II Htpy S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) )
85	4, 52, 59, 84	htpyi 22005	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( s H 0 ) = ( B ` s ) /\ ( s H 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ` s ) ) )
86	85	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s H 0 ) = ( B ` s ) )
87	47	fveq1i 5866	. . . . . . . 8 |- ( B ` s ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s )
88		fvco3 5942	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
89	16, 88	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
90	87, 89	syl5eq 2497	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( B ` s ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
91		fvres 5879	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) = ( 2nd ` ( F ` s ) ) )
92	79, 91	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) = ( 2nd ` ( F ` s ) ) )
93	86, 90, 92	3eqtrd 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s H 0 ) = ( 2nd ` ( F ` s ) ) )
94	82, 93	opeq12d 4174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. = <. ( 1st ` ( F ` s ) ) , ( 2nd ` ( F ` s ) ) >. )
95		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. ( 0 [,] 1 ) )
96		oveq12 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x G y ) = ( s G 0 ) )
97		oveq12 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x H y ) = ( s H 0 ) )
98	96, 97	opeq12d 4174	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. = <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. )
99		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. )
100		opex 4664	. . . . . . 7 |- <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. e. _V
101	98, 99, 100	ovmpt2a 6427	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 0 ) = <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. )
102	95, 17, 101	sylancl 668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 0 ) = <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. )
103		1st2nd2 6830	. . . . . 6 |- ( ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( F ` s ) = <. ( 1st ` ( F ` s ) ) , ( 2nd ` ( F ` s ) ) >. )
104	79, 103	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` s ) = <. ( 1st ` ( F ` s ) ) , ( 2nd ` ( F ` s ) ) >. )
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 0 ) = ( F ` s ) )
106	72	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s G 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ` s ) )
107		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- ( A ` 0 ) e. _V
108	107	fvconst2 6120	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ` s ) = ( A ` 0 ) )
109	108	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ` s ) = ( A ` 0 ) )
110	22	fveq1i 5866	. . . . . . . . 9 |- ( A ` 0 ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 )
111		fvco3 5942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) )
112	16, 17, 111	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) )
113		fvres 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
114	19, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
115	112, 114	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
116	110, 115	syl5eq 2497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ` 0 ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
117	116	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A ` 0 ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
118	106, 109, 117	3eqtrd 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s G 1 ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
119	85	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s H 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ` s ) )
120		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- ( B ` 0 ) e. _V
121	120	fvconst2 6120	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ` s ) = ( B ` 0 ) )
122	121	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ` s ) = ( B ` 0 ) )
123	47	fveq1i 5866	. . . . . . . . 9 |- ( B ` 0 ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 )
124		fvco3 5942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) )
125	16, 17, 124	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) )
126		fvres 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
127	19, 126	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
128	125, 127	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
129	123, 128	syl5eq 2497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` 0 ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
130	129	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( B ` 0 ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
131	119, 122, 130	3eqtrd 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s H 1 ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
132	118, 131	opeq12d 4174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
133		1elunit 11751	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
134		oveq12 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x G y ) = ( s G 1 ) )
135		oveq12 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x H y ) = ( s H 1 ) )
136	134, 135	opeq12d 4174	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. = <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. )
137		opex 4664	. . . . . . 7 |- <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. e. _V
138	136, 99, 137	ovmpt2a 6427	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 1 ) = <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. )
139	95, 133, 138	sylancl 668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 1 ) = <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. )
140		fvex 5875	. . . . . . . 8 |- ( F ` 0 ) e. _V
141	140	fvconst2 6120	. . . . . . 7 |- ( s e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ` s ) = ( F ` 0 ) )
142	141	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ` s ) = ( F ` 0 ) )
143	19	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) )
144		1st2nd2 6830	. . . . . . 7 |- ( ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( F ` 0 ) = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
145	143, 144	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
146	142, 145	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ` s ) = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
147	132, 139, 146	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ` s ) )
148	27, 35, 37	phtpyi 22015	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 G s ) = ( A ` 0 ) /\ ( 1 G s ) = ( A ` 1 ) ) )
149	148	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 G s ) = ( A ` 0 ) )
150	149, 117	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 G s ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
151	52, 59, 61	phtpyi 22015	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 H s ) = ( B ` 0 ) /\ ( 1 H s ) = ( B ` 1 ) ) )
152	151	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H s ) = ( B ` 0 ) )
153	152, 130	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H s ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
154	150, 153	opeq12d 4174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
155		oveq12 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( x G y ) = ( 0 G s ) )
156		oveq12 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( x H y ) = ( 0 H s ) )
157	155, 156	opeq12d 4174	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. = <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. )
158		opex 4664	. . . . . . 7 |- <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. e. _V
159	157, 99, 158	ovmpt2a 6427	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. )
160	17, 95, 159	sylancr 669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. )
161	154, 160, 145	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = ( F ` 0 ) )
162	148	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 G s ) = ( A ` 1 ) )
163	22	fveq1i 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( A ` 1 ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 )
164		fvco3 5942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
165	16, 133, 164	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
166	163, 165	syl5eq 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
167		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) )
168	16, 133, 167	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) )
169		fvres 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
170	168, 169	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
171	166, 170	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ` 1 ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
172	171	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A ` 1 ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
173	162, 172	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 G s ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
174	151	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H s ) = ( B ` 1 ) )
175	47	fveq1i 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( B ` 1 ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 )
176		fvco3 5942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
177	16, 133, 176	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
178	175, 177	syl5eq 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
179		fvres 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
180	168, 179	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
181	178, 180	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` 1 ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
182	181	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( B ` 1 ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
183	174, 182	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H s ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
184	173, 183	opeq12d 4174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. = <. ( 1st ` ( F ` 1 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) >. )
185		oveq12 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x G y ) = ( 1 G s ) )
186		oveq12 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x H y ) = ( 1 H s ) )
187	185, 186	opeq12d 4174	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. = <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. )
188		opex 4664	. . . . . . 7 |- <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. e. _V
189	187, 99, 188	ovmpt2a 6427	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. )
190	133, 95, 189	sylancr 669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. )
191	168	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) )
192		1st2nd2 6830	. . . . . 6 |- ( ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( F ` 1 ) = <. ( 1st ` ( F ` 1 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) >. )
193	191, 192	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) = <. ( 1st ` ( F ` 1 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) >. )
194	184, 190, 193	3eqtr4d 2495	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = ( F ` 1 ) )
195	1, 21, 69, 105, 147, 161, 194	isphtpy2d 22018	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) e. ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) )
196		ne0i 3737	. . 3 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) e. ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) -> ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) =/= (/) )
197	195, 196	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) =/= (/) )
198		isphtpc 22025	. 2 |- ( F ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) <-> ( F e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
199	1, 21, 197, 198	syl3anbrc 1192	1 |- ( ph -> F ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   |` cres 4836   o. ccom 4838   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   0cc0 9539   1c1 9540   [,]cicc 11638   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   Cn ccn 20240   tX ctx 20575   IIcii 21907   Htpy chtpy 21998   PHtpycphtpy 21999   ~=ph cphtpc 22000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-ii 21909  df-htpy 22001  df-phtpy 22002  df-phtpc 22023

This theorem is referenced by:  txscon  29964