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Theorem txscon 28883
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txscon  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. SCon )

Proof of Theorem txscon
Dummy variables  f 
g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 28869 . . 3  |-  ( R  e. SCon  ->  R  e. PCon )
2 sconpcon 28869 . . 3  |-  ( S  e. SCon  ->  S  e. PCon )
3 txpcon 28874 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
5 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e. SCon )
6 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
7 scontop 28870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. SCon  ->  R  e.  Top )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e.  Top )
9 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. R  =  U. R
109toptopon 19561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
118, 10sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
12 scontop 28870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. SCon  ->  S  e.  Top )
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e.  Top )
14 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. S  =  U. S
1514toptopon 19561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
1613, 15sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
17 tx1cn 20236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
1811, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
19 cnco 19894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R ) )
206, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R
) )
21 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )
2221fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `
 ( f ` 
0 ) )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
23 iitopon 21509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
25 txtopon 20218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
2611, 16, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
27 cnf2 19877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) )  /\  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
2824, 26, 6, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
29 0elunit 11663 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
30 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  0
) ) )
3128, 29, 30sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  0 )
) )
32 1elunit 11664 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
33 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  1
) ) )
3428, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
3522, 31, 343eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  1
) )
36 sconpht 28871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SCon  /\  (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) (  ~=ph  `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
375, 20, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( 
~=ph  `  R ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
38 isphtpc 21620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) (  ~=ph  `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } )  <->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  R )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
3937, 38sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  R )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
4039simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) )
41 n0 3803 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  =/=  (/)  <->  E. g 
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )
4240, 41sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  E. g 
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )
43 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e. SCon )
44 tx2cn 20237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
4511, 16, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
46 cnco 19894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S ) )
476, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S
) )
4821fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `
 ( f ` 
0 ) )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
49 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  0
) ) )
5028, 29, 49sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  0 )
) )
51 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  1
) ) )
5228, 32, 51sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
5348, 50, 523eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  1
) )
54 sconpht 28871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. SCon  /\  (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) (  ~=ph  `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
5543, 47, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( 
~=ph  `  S ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
56 isphtpc 21620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) (  ~=ph  `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } )  <->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  S )  /\  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
5755, 56sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  S )  /\  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
5857simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) )
59 n0 3803 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) )
6058, 59sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  E. h  h  e.  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) )
61 eeanv 1989 . . . . . 6  |-  ( E. g E. h ( g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )  <-> 
( E. g  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  /\  E. h  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) ) )
628adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
6313adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
646adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
65 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )
66 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )
67 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )
68 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconlem 28882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
7069ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
7170exlimdvv 1726 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( E. g E. h ( g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) )
7261, 71syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( E. g  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )  /\  E. h  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) )
7342, 60, 72mp2and 679 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
7473expr 615 . . 3  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  ( (
f `  0 )  =  ( f ` 
1 )  ->  f
(  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ) )
7574ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  A. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
76 isscon 28868 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. SCon 
<->  ( ( R  tX  S )  e. PCon  /\  A. f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  ( f `
 1 )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) ) )
774, 75, 76sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. SCon )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    X. cxp 5006    |` cres 5010    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   0cc0 9509   1c1 9510   [,]cicc 11557   Topctop 19521  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852    tX ctx 20187   IIcii 21505   PHtpycphtpy 21594    ~=ph cphtpc 21595  PConcpcon 28861  SConcscon 28862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-ii 21507  df-htpy 21596  df-phtpy 21597  df-phtpc 21618  df-pcon 28863  df-scon 28864
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