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Theorem txscon 27269
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txscon |- ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) -> ( R tX S ) e. SCon )
Proof of Theorem txscon
Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 27255 . . 3 |- ( R e. SCon -> R e. PCon )
2 sconpcon 27255 . . 3 |- ( S e. SCon -> S e. PCon )
3 txpcon 27260 . . 3 |- ( ( R e. PCon /\ S e. PCon ) -> ( R tX S ) e. PCon )
41, 2, 3syl2an 477 . 2 |- ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) -> ( R tX S ) e. PCon )
5 simpll 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> R e. SCon )
6 simprl 755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> f e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
7 scontop 27256 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. SCon -> R e. Top )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> R e. Top )
9 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . 13 |- U. R = U. R
109toptopon 18665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
118, 10sylib 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
12 scontop 27256 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. SCon -> S e. Top )
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> S e. Top )
14 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . 13 |- U. S = U. S
1514toptopon 18665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
1613, 15sylib 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> S e. (TopOn ` U. S ) )
17 tx1cn 19309 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
1811, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
19 cnco 18997 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) )
206, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) )
21 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) )
2221fveq2d 5798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
23 iitopon 20582 . . . . . . . . . . . . 13 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
25 txtopon 19291 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
2611, 16, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
27 cnf2 18980 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) /\ f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) )
2824, 26, 6, 27syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) )
29 0elunit 11515 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
30 fvco3 5872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) )
3128, 29, 30sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) )
32 1elunit 11516 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
33 fvco3 5872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
3428, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
3522, 31, 343eqtr4d 2503 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) )
36 sconpht 27257 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SCon /\ ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) )
375, 20, 35, 36syl3anc 1219 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) )
38 isphtpc 20693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) <-> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
3937, 38sylib 196 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) e. ( II Cn R ) /\ ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
4039simp3d 1002 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) )
41 n0 3749 . . . . . 6 |- ( ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) <-> E. g g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
4240, 41sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> E. g g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
43 simplr 754 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> S e. SCon )
44 tx2cn 19310 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
4511, 16, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
46 cnco 18997 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) )
476, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) )
4821fveq2d 5798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
49 fvco3 5872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) )
5028, 29, 49sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 0 ) ) )
51 fvco3 5872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
5228, 32, 51sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( f ` 1 ) ) )
5348, 50, 523eqtr4d 2503 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) )
54 sconpht 27257 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. SCon /\ ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 1 ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) )
5543, 47, 53, 54syl3anc 1219 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) )
56 isphtpc 20693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( ~=ph ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) <-> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
5755, 56sylib 196 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) e. ( II Cn S ) /\ ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
5857simp3d 1002 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) )
59 n0 3749 . . . . . 6 |- ( ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) =/= (/) <-> E. h h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
6058, 59sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> E. h h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
61 eeanv 1943 . . . . . 6 |- ( E. g E. h ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) <-> ( E. g g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ E. h h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) )
628adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> R e. Top )
6313adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> S e. Top )
646adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> f e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
65 eqid 2452 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f )
66 eqid 2452 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f )
67 simprl 755 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
68 simprr 756 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) )
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconlem 27268 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) /\ ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) )
7069ex 434 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
7170exlimdvv 1692 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( E. g E. h ( g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
7261, 71syl5bir 218 . . . . 5 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> ( ( E. g g e. ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) /\ E. h h e. ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. f ) ` 0 ) } ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
7342, 60, 72mp2and 679 . . . 4 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ ( f e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) ) ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) )
7473expr 615 . . 3 |- ( ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) /\ f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ) -> ( ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
7574ralrimiva 2827 . 2 |- ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) -> A. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
76 isscon 27254 . 2 |- ( ( R tX S ) e. SCon <-> ( ( R tX S ) e. PCon /\ A. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = ( f ` 1 ) -> f ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( f ` 0 ) } ) ) ) )
774, 75, 76sylanbrc 664 1 |- ( ( R e. SCon /\ S e. SCon ) -> ( R tX S ) e. SCon )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2645   A.wral 2796   (/)c0 3740   {csn 3980   U.cuni 4194   class class class wbr 4395   X. cxp 4941   |` cres 4945   o. ccom 4947   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   1stc1st 6680   2ndc2nd 6681   0cc0 9388   1c1 9389   [,]cicc 11409   Topctop 18625  TopOnctopon 18626   Cn ccn 18955   tX ctx 19260   IIcii 20578   PHtpycphtpy 20667   ~=ph cphtpc 20668  PConcpcon 27247  SConcscon 27248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-icc 11413  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-topgen 14496  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-tx 19262  df-ii 20580  df-htpy 20669  df-phtpy 20670  df-phtpc 20691  df-pcon 27249  df-scon 27250
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