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Theorem txscon 29976
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txscon  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. SCon )

Proof of Theorem txscon
Dummy variables  f 
g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 29962 . . 3  |-  ( R  e. SCon  ->  R  e. PCon )
2 sconpcon 29962 . . 3  |-  ( S  e. SCon  ->  S  e. PCon )
3 txpcon 29967 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
41, 2, 3syl2an 480 . 2  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
5 simpll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e. SCon )
6 simprl 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
7 scontop 29963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. SCon  ->  R  e.  Top )
87ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e.  Top )
9 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. R  =  U. R
109toptopon 19960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
118, 10sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
12 scontop 29963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. SCon  ->  S  e.  Top )
1312ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e.  Top )
14 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. S  =  U. S
1514toptopon 19960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
1613, 15sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
17 tx1cn 20636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
1811, 16, 17syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
19 cnco 20294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R ) )
206, 18, 19syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R
) )
21 simprr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )
2221fveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `
 ( f ` 
0 ) )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
23 iitopon 21923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
25 txtopon 20618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
2611, 16, 25syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
27 cnf2 20277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) )  /\  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
2824, 26, 6, 27syl3anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
29 0elunit 11757 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
30 fvco3 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  0
) ) )
3128, 29, 30sylancl 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  0 )
) )
32 1elunit 11758 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
33 fvco3 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  1
) ) )
3428, 32, 33sylancl 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
3522, 31, 343eqtr4d 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  1
) )
36 sconpht 29964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SCon  /\  (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) (  ~=ph  `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
375, 20, 35, 36syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( 
~=ph  `  R ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
38 isphtpc 22037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) (  ~=ph  `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } )  <->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  R )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
3937, 38sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  R )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
4039simp3d 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) )
41 n0 3743 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  =/=  (/)  <->  E. g 
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )
4240, 41sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  E. g 
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )
43 simplr 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e. SCon )
44 tx2cn 20637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
4511, 16, 44syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
46 cnco 20294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S ) )
476, 45, 46syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S
) )
4821fveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `
 ( f ` 
0 ) )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
49 fvco3 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  0
) ) )
5028, 29, 49sylancl 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  0 )
) )
51 fvco3 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  1
) ) )
5228, 32, 51sylancl 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
5348, 50, 523eqtr4d 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  1
) )
54 sconpht 29964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. SCon  /\  (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) (  ~=ph  `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
5543, 47, 53, 54syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( 
~=ph  `  S ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
56 isphtpc 22037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) (  ~=ph  `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } )  <->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  S )  /\  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
5755, 56sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  S )  /\  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
5857simp3d 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) )
59 n0 3743 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) )
6058, 59sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  E. h  h  e.  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) )
61 eeanv 2080 . . . . . 6  |-  ( E. g E. h ( g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )  <-> 
( E. g  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  /\  E. h  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) ) )
628adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
6313adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
646adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
65 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )
66 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )
67 simprl 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )
68 simprr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconlem 29975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
7069ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
7170exlimdvv 1782 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( E. g E. h ( g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) )
7261, 71syl5bir 222 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( E. g  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )  /\  E. h  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) )
7342, 60, 72mp2and 686 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
7473expr 620 . . 3  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  ( (
f `  0 )  =  ( f ` 
1 )  ->  f
(  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ) )
7574ralrimiva 2804 . 2  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  A. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
76 isscon 29961 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. SCon 
<->  ( ( R  tX  S )  e. PCon  /\  A. f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  ( f `
 1 )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) ) )
774, 75, 76sylanbrc 671 1  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. SCon )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   (/)c0 3733   {csn 3970   U.cuni 4201   class class class wbr 4405    X. cxp 4835    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797   0cc0 9544   1c1 9545   [,]cicc 11645   Topctop 19929  TopOnctopon 19930    Cn ccn 20252    tX ctx 20587   IIcii 21919   PHtpycphtpy 22011    ~=ph cphtpc 22012  PConcpcon 29954  SConcscon 29955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-tx 20589  df-ii 21921  df-htpy 22013  df-phtpy 22014  df-phtpc 22035  df-pcon 29956  df-scon 29957
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