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Theorem txrest 20583
Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txrest  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) ) )

Proof of Theorem txrest
Dummy variables  s 
r  u  v  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
21txval 20516 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
32adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
43oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( topGen `  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
51txbasex 20518 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V )
6 xpexg 6598 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
7 tgrest 20112 . . . 4  |-  ( ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
85, 6, 7syl2an 479 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
9 elrest 15286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
105, 6, 9syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
11 vex 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
1211inex1 4557 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  i^i  A )  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  r  e.  R )  ->  (
r  i^i  A )  e.  _V )
14 elrest 15286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( u  e.  ( Rt  A )  <->  E. r  e.  R  u  =  ( r  i^i  A
) ) )
1514ad2ant2r 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( u  e.  ( Rt  A )  <->  E. r  e.  R  u  =  ( r  i^i  A
) ) )
16 xpeq1 4859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  (
u  X.  v )  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v ) )
1716eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  (
x  =  ( u  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
) ) )
1817rexbidv 2937 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  ( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
) ) )
19 vex 3081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
2019inex1 4557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  i^i  B )  e. 
_V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  s  e.  S )  ->  (
s  i^i  B )  e.  _V )
22 elrest 15286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  W  /\  B  e.  Y )  ->  ( v  e.  ( St  B )  <->  E. s  e.  S  v  =  ( s  i^i  B
) ) )
2322ad2ant2l 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( v  e.  ( St  B )  <->  E. s  e.  S  v  =  ( s  i^i  B
) ) )
24 xpeq2 4860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( s  i^i 
B )  ->  (
( r  i^i  A
)  X.  v )  =  ( ( r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) )
2524eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( s  i^i 
B )  ->  (
x  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
2625adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  v  =  ( s  i^i  B
) )  ->  (
x  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
2721, 23, 26rexxfr2d 4630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
)  <->  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
2818, 27sylan9bbr 705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  u  =  ( r  i^i  A
) )  ->  ( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
2913, 15, 28rexxfr2d 4630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
3011, 19xpex 6600 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
3130rgen2w 2785 . . . . . . . . 9  |-  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( r  X.  s )  e.  _V
32 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
33 ineq1 3654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
w  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) ) )
34 inxp 4978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
)
3533, 34syl6eq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
w  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) )
3635eqeq2d 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
3732, 36rexrnmpt2 6417 . . . . . . . . 9  |-  ( A. r  e.  R  A. s  e.  S  (
r  X.  s )  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
3831, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) )
3929, 38syl6bbr 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
4010, 39bitr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) ) )
4140abbi2dv 2557 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  =  { x  |  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) } )
42 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) )
4342rnmpt2 6411 . . . . 5  |-  ran  (
u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  { x  |  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) }
4441, 43syl6eqr 2479 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  =  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) )
4544fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) ) ) )
464, 8, 453eqtr2d 2467 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
47 ovex 6324 . . 3  |-  ( Rt  A )  e.  _V
48 ovex 6324 . . 3  |-  ( St  B )  e.  _V
49 eqid 2420 . . . 4  |-  ran  (
u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )
5049txval 20516 . . 3  |-  ( ( ( Rt  A )  e.  _V  /\  ( St  B )  e.  _V )  ->  ( ( Rt  A )  tX  ( St  B ) )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
5147, 48, 50mp2an 676 . 2  |-  ( ( Rt  A )  tX  ( St  B ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) )
5246, 51syl6eqr 2479 1  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078    i^i cin 3432    X. cxp 4843   ran crn 4846   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   ↾t crest 15279   topGenctg 15296    tX ctx 20512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-rest 15281  df-topgen 15302  df-tx 20514
This theorem is referenced by:  txlly  20588  txnlly  20589  txkgen  20604  cnmpt2res  20629  xkoinjcn  20639  cnmpt2pc  21878  cnheiborlem  21904  lhop1lem  22872  cxpcn3  23592  raddcn  28615  cvmlift2lem6  29860  cvmlift2lem9  29863  cvmlift2lem12  29866
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