MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txrest Structured version   Unicode version

Theorem txrest 19959
Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txrest  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) ) )

Proof of Theorem txrest
Dummy variables  s 
r  u  v  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
21txval 19892 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
43oveq1d 6300 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( topGen `  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
51txbasex 19894 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V )
6 xpexg 6587 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
7 tgrest 19466 . . . 4  |-  ( ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
85, 6, 7syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
9 elrest 14686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
105, 6, 9syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
11 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
1211inex1 4588 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  i^i  A )  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  r  e.  R )  ->  (
r  i^i  A )  e.  _V )
14 elrest 14686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( u  e.  ( Rt  A )  <->  E. r  e.  R  u  =  ( r  i^i  A
) ) )
1514ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( u  e.  ( Rt  A )  <->  E. r  e.  R  u  =  ( r  i^i  A
) ) )
16 xpeq1 5013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  (
u  X.  v )  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v ) )
1716eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  (
x  =  ( u  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
) ) )
1817rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  ( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
) ) )
19 vex 3116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
2019inex1 4588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  i^i  B )  e. 
_V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  s  e.  S )  ->  (
s  i^i  B )  e.  _V )
22 elrest 14686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  W  /\  B  e.  Y )  ->  ( v  e.  ( St  B )  <->  E. s  e.  S  v  =  ( s  i^i  B
) ) )
2322ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( v  e.  ( St  B )  <->  E. s  e.  S  v  =  ( s  i^i  B
) ) )
24 xpeq2 5014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( s  i^i 
B )  ->  (
( r  i^i  A
)  X.  v )  =  ( ( r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) )
2524eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( s  i^i 
B )  ->  (
x  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  v  =  ( s  i^i  B
) )  ->  (
x  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
2721, 23, 26rexxfr2d 4664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
)  <->  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
2818, 27sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  u  =  ( r  i^i  A
) )  ->  ( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
2913, 15, 28rexxfr2d 4664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
3011, 19xpex 6589 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
3130rgen2w 2826 . . . . . . . . 9  |-  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( r  X.  s )  e.  _V
32 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
33 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
w  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) ) )
34 inxp 5135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
)
3533, 34syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
w  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) )
3635eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
3732, 36rexrnmpt2 6403 . . . . . . . . 9  |-  ( A. r  e.  R  A. s  e.  S  (
r  X.  s )  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
3831, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) )
3929, 38syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
4010, 39bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) ) )
4140abbi2dv 2604 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  =  { x  |  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) } )
42 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) )
4342rnmpt2 6397 . . . . 5  |-  ran  (
u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  { x  |  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) }
4441, 43syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  =  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) )
4544fveq2d 5870 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) ) ) )
464, 8, 453eqtr2d 2514 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
47 ovex 6310 . . 3  |-  ( Rt  A )  e.  _V
48 ovex 6310 . . 3  |-  ( St  B )  e.  _V
49 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )
5049txval 19892 . . 3  |-  ( ( ( Rt  A )  e.  _V  /\  ( St  B )  e.  _V )  ->  ( ( Rt  A )  tX  ( St  B ) )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
5147, 48, 50mp2an 672 . 2  |-  ( ( Rt  A )  tX  ( St  B ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) )
5246, 51syl6eqr 2526 1  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    X. cxp 4997   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   ↾t crest 14679   topGenctg 14696    tX ctx 19888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-tx 19890
This theorem is referenced by:  txlly  19964  txnlly  19965  txkgen  19980  cnmpt2res  20005  xkoinjcn  20015  cnmpt2pc  21255  cnheiborlem  21281  lhop1lem  22241  cxpcn3  22947  raddcn  27662  cvmlift2lem6  28504  cvmlift2lem9  28507  cvmlift2lem12  28510
  Copyright terms: Public domain W3C validator