Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txrest Structured version   Unicode version

Theorem txrest 20583
 Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txrest t t t

Proof of Theorem txrest
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . . . 6
21txval 20516 . . . . 5
32adantr 466 . . . 4
43oveq1d 6311 . . 3 t t
51txbasex 20518 . . . 4
6 xpexg 6598 . . . 4
7 tgrest 20112 . . . 4 t t
85, 6, 7syl2an 479 . . 3 t t
9 elrest 15286 . . . . . . . 8 t
105, 6, 9syl2an 479 . . . . . . 7 t
11 vex 3081 . . . . . . . . . . 11
1211inex1 4557 . . . . . . . . . 10
1312a1i 11 . . . . . . . . 9
14 elrest 15286 . . . . . . . . . 10 t
1514ad2ant2r 751 . . . . . . . . 9 t
16 xpeq1 4859 . . . . . . . . . . . 12
1716eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . 11
1817rexbidv 2937 . . . . . . . . . 10 t t
19 vex 3081 . . . . . . . . . . . . 13
2019inex1 4557 . . . . . . . . . . . 12
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11
22 elrest 15286 . . . . . . . . . . . 12 t
2322ad2ant2l 750 . . . . . . . . . . 11 t
24 xpeq2 4860 . . . . . . . . . . . . 13
2524eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . . 12
2625adantl 467 . . . . . . . . . . 11
2721, 23, 26rexxfr2d 4630 . . . . . . . . . 10 t
2818, 27sylan9bbr 705 . . . . . . . . 9 t
2913, 15, 28rexxfr2d 4630 . . . . . . . 8 t t
3011, 19xpex 6600 . . . . . . . . . 10
3130rgen2w 2785 . . . . . . . . 9
32 eqid 2420 . . . . . . . . . 10
33 ineq1 3654 . . . . . . . . . . . 12
34 inxp 4978 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34syl6eq 2477 . . . . . . . . . . 11
3635eqeq2d 2434 . . . . . . . . . 10
3732, 36rexrnmpt2 6417 . . . . . . . . 9
3831, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8
3929, 38syl6bbr 266 . . . . . . 7 t t
4010, 39bitr4d 259 . . . . . 6 t t t
4140abbi2dv 2557 . . . . 5 t t t
42 eqid 2420 . . . . . 6 t t t t
4342rnmpt2 6411 . . . . 5 t t t t
4441, 43syl6eqr 2479 . . . 4 t t t
4544fveq2d 5876 . . 3 t t t
464, 8, 453eqtr2d 2467 . 2 t t t
47 ovex 6324 . . 3 t
48 ovex 6324 . . 3 t
49 eqid 2420 . . . 4 t t t t
5049txval 20516 . . 3 t t t t t t
5147, 48, 50mp2an 676 . 2 t t t t
5246, 51syl6eqr 2479 1 t t t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867  cab 2405  wral 2773  wrex 2774  cvv 3078   cin 3432   cxp 4843   crn 4846  cfv 5592  (class class class)co 6296   cmpt2 6298   ↾t crest 15279  ctg 15296   ctx 20512 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-rest 15281  df-topgen 15302  df-tx 20514 This theorem is referenced by:  txlly  20588  txnlly  20589  txkgen  20604  cnmpt2res  20629  xkoinjcn  20639  cnmpt2pc  21878  cnheiborlem  21904  lhop1lem  22872  cxpcn3  23592  raddcn  28615  cvmlift2lem6  29860  cvmlift2lem9  29863  cvmlift2lem12  29866
 Copyright terms: Public domain W3C validator