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Theorem txpcon 28333
Description: The topological product of two path-connected spaces is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txpcon  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )

Proof of Theorem txpcon
Dummy variables  f  x  y  g  h  t  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcontop 28326 . . 3  |-  ( R  e. PCon  ->  R  e.  Top )
2 pcontop 28326 . . 3  |-  ( S  e. PCon  ->  S  e.  Top )
3 txtop 19821 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
5 an6 1308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  /\  ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S
) )  <->  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon
)  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S )  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) ) )
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. R  =  U. R
76pconcn 28325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  ->  E. g  e.  (
II  Cn  R )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z ) )
8 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. S  =  U. S
98pconcn 28325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S )  ->  E. h  e.  (
II  Cn  S )
( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )
107, 9anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  /\  ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S
) )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  R )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II  Cn  S
) ( ( h `
 0 )  =  y  /\  ( h `
 1 )  =  w ) ) )
115, 10sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R
) ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II  Cn  S ) ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) )
12 reeanv 3029 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  ( II 
Cn  R ) E. h  e.  ( II 
Cn  S ) ( ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) )  <->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R ) ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II 
Cn  S ) ( ( h `  0
)  =  y  /\  ( h `  1
)  =  w ) ) )
1311, 12sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  R ) E. h  e.  ( II  Cn  S ) ( ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  z )  /\  (
( h `  0
)  =  y  /\  ( h `  1
)  =  w ) ) )
14 iiuni 21136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
15 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )
1614, 15txcnmpt 19876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
18 0elunit 11637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
19 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
g `  t )  =  ( g ` 
0 ) )
20 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
h `  t )  =  ( h ` 
0 ) )
2119, 20opeq12d 4221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  0  ->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >.  =  <. ( g `  0 ) ,  ( h ` 
0 ) >. )
22 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
g `  0 ) ,  ( h ` 
0 ) >.  e.  _V
2321, 15, 22fvmpt 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 )  =  <. ( g ` 
0 ) ,  ( h `  0 )
>. )
2418, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. ( g ` 
0 ) ,  ( h `  0 )
>.
25 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z ) )
2625simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( g `  0 )  =  x )
27 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) )
2827simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( h `  0 )  =  y )
2926, 28opeq12d 4221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  <. ( g `
 0 ) ,  ( h `  0
) >.  =  <. x ,  y >. )
3024, 29syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. x ,  y
>. )
31 1elunit 11638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
32 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  1  ->  (
g `  t )  =  ( g ` 
1 ) )
33 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  1  ->  (
h `  t )  =  ( h ` 
1 ) )
3432, 33opeq12d 4221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  1  ->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >.  =  <. ( g `  1 ) ,  ( h ` 
1 ) >. )
35 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
g `  1 ) ,  ( h ` 
1 ) >.  e.  _V
3634, 15, 35fvmpt 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. ( g ` 
1 ) ,  ( h `  1 )
>. )
3731, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  1 )  =  <. ( g ` 
1 ) ,  ( h `  1 )
>.
3825simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( g `  1 )  =  z )
3927simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( h `  1 )  =  w )
4038, 39opeq12d 4221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  <. ( g `
 1 ) ,  ( h `  1
) >.  =  <. z ,  w >. )
4137, 40syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  1 )  =  <. z ,  w >. )
42 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( f `
 0 )  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 ) )
4342eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( f `  0 )  =  <. x ,  y
>. 
<->  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 )  =  <. x ,  y
>. ) )
44 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( f `
 1 )  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 ) )
4544eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( f `  1 )  =  <. z ,  w >.  <-> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4643, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. ) `  1 )  = 
<. z ,  w >. ) ) )
4746rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. ) `  0 )  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4817, 30, 41, 47syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4948expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  R
)  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) ) )  -> 
( ( ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5049rexlimdvva 2962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R
) E. h  e.  ( II  Cn  S
) ( ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5113, 50mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
52513expa 1196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
) )  /\  (
z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
5352ralrimivva 2885 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
) )  ->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
5453ralrimivva 2885 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. x  e.  U. R A. y  e.  U. S A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
55 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( f `
 1 )  =  v  <->  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
)
5655anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  v )  <->  ( (
f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5756rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
) )
5857ralxp 5143 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
)
59 eqeq2 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( f `
 0 )  =  u  <->  ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >. )
)
6059anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  ( ( f `
 0 )  = 
<. x ,  y >.  /\  ( f `  1
)  =  <. z ,  w >. ) ) )
6160rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  E. f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
62612ralbidv 2908 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
6358, 62syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
6463ralxp 5143 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. x  e.  U. R A. y  e.  U. S A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
6554, 64sylibr 212 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) )
666, 8txuni 19844 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
671, 2, 66syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R 
tX  S ) )
6867raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
6967, 68raleqbidv 3072 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
7065, 69mpbid 210 . 2  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) )
71 eqid 2467 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
7271ispcon 28324 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. PCon 
<->  ( ( R  tX  S )  e.  Top  /\ 
A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
734, 70, 72sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   <.cop 4033   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   0cc0 9491   1c1 9492   [,]cicc 11531   Topctop 19177    Cn ccn 19507    tX ctx 19812   IIcii 21130  PConcpcon 28320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-icc 11535  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-topgen 14698  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-cn 19510  df-tx 19814  df-ii 21132  df-pcon 28322
This theorem is referenced by:  txscon  28342
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