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Theorem txnlly 20264
Description: If the property  A is preserved under topological products, then so is the property of being n-locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
txnlly  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A )
Distinct variable groups:    j, k, A    R, j, k    S, k
Allowed substitution hint:    S( j)

Proof of Theorem txnlly
Dummy variables  a 
b  r  s  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 20100 . . 3  |-  ( R  e. 𝑛Locally  A  ->  R  e.  Top )
2 nllytop 20100 . . 3  |-  ( S  e. 𝑛Locally  A  ->  S  e.  Top )
3 txtop 20196 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eltx 20195 . . . 4  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  (
x  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )
6 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  R  e. 𝑛Locally  A )
7 simprll 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  u  e.  R )
8 simprrl 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  y  e.  ( u  X.  v
) )
9 xp1st 6829 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
11 nlly2i 20103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  u  e.  R  /\  ( 1st `  y )  e.  u )  ->  E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A ) )
126, 7, 10, 11syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A ) )
13 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e. 𝑛Locally  A )
14 simprlr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  v  e.  S )
15 xp2nd 6830 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
168, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
17 nlly2i 20103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. 𝑛Locally  A  /\  v  e.  S  /\  ( 2nd `  y )  e.  v )  ->  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )
1813, 14, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )
19 reeanv 3025 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ~P  u E. b  e.  ~P  v ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  <->  ( E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A
)  /\  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) ) )
20 reeanv 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A
)  /\  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )  <-> 
( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )
214ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( R  tX  S
)  e.  Top )
221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  R  e.  Top )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  R  e.  Top )
2413, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e.  Top )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  S  e.  Top )
26 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  r  e.  R )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
r  e.  R )
28 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  s  e.  S )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
s  e.  S )
30 txopn 20229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S ) )
3123, 25, 27, 29, 30syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( R 
tX  S ) )
328ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( u  X.  v ) )
33 1st2nd2 6836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
35 simprl1 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( 1st `  y
)  e.  r )
36 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  s )
37 opelxpi 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( 2nd `  y )  e.  s )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  e.  ( r  X.  s ) )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  e.  ( r  X.  s ) )
3934, 38eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( r  X.  s ) )
40 opnneip 19747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( r  X.  s
)  e.  ( R 
tX  S )  /\  y  e.  ( r  X.  s ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
4121, 31, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
42 simprl2 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
r  C_  a )
43 simprr2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
s  C_  b )
44 xpss12 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  C_  a  /\  s  C_  b )  -> 
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b ) )
4542, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b ) )
46 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  a  e.  ~P u )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  e.  ~P u
)
4847elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  C_  u )
497ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  u  e.  R )
50 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  R  ->  u  C_ 
U. R )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  u  C_  U. R )
5248, 51sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  C_  U. R )
53 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  b  e.  ~P v )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  e.  ~P v
)
5554elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  C_  v )
5614ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
v  e.  S )
57 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  S  ->  v  C_ 
U. S )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
v  C_  U. S )
5955, 58sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  C_  U. S )
60 xpss12 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  C_  U. R  /\  b  C_  U. S )  ->  ( a  X.  b )  C_  ( U. R  X.  U. S
) )
6152, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( U. R  X.  U. S ) )
62 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. R  =  U. R
63 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. S  =  U. S
6462, 63txuni 20219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
6523, 25, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
6661, 65sseqtrd 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  U. ( R  tX  S ) )
67 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
6867ssnei2 19744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  tX  S )  e.  Top  /\  ( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )  /\  (
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  X.  b )  e.  ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } ) )
6921, 41, 45, 66, 68syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
70 xpss12 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  C_  u  /\  b  C_  v )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( u  X.  v ) )
7148, 55, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( u  X.  v ) )
72 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  x )
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  x )
7471, 73sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  x )
75 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
7675elpw2 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  X.  b )  e.  ~P x  <->  ( a  X.  b )  C_  x
)
7774, 76sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ~P x
)
7869, 77elind 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) )
79 txrest 20258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  =  ( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) ) )
8023, 25, 47, 54, 79syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  =  ( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) ) )
81 simprl3 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( Rt  a )  e.  A )
82 simprr3 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( St  b )  e.  A )
83 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
8483caovcl 6468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Rt  a )  e.  A  /\  ( St  b )  e.  A )  ->  ( ( Rt  a )  tX  ( St  b ) )  e.  A
)
8581, 82, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) )  e.  A )
8680, 85eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A )
87 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  X.  b )  ->  (
( R  tX  S
)t  z )  =  ( ( R  tX  S
)t  ( a  X.  b
) ) )
8887eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  X.  b )  ->  (
( ( R  tX  S )t  z )  e.  A  <->  ( ( R 
tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A ) )
8988rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  X.  b
)  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
)  /\  ( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A )
9078, 86, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A )
9190ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  (
( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9291anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9392rexlimdvva 2956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A ) )
9420, 93syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9594rexlimdvva 2956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( E. a  e.  ~P  u E. b  e.  ~P  v ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9619, 95syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
( E. a  e. 
~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9712, 18, 96mp2and 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
)
9897expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( u  e.  R  /\  v  e.  S
) )  ->  (
( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9998rexlimdvva 2956 . . . . 5  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
10099ralimdv 2867 . . . 4  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
1015, 100sylbid 215 . . 3  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  (
x  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A ) )
102101ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  A. x  e.  ( R  tX  S
) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
)
103 isnlly 20096 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  ( R  tX  S
) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
1044, 102, 103sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251    X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   ↾t crest 14838   Topctop 19521   neicnei 19725  𝑛Locally cnlly 20092    tX ctx 20187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-nei 19726  df-nlly 20094  df-tx 20189
This theorem is referenced by:  xkohmeo  20442  cvmlift2lem13  28957
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