Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcnp Structured version   Unicode version

Theorem txmetcnp 21549
 Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2
metcn.4
txmetcnp.4
Assertion
Ref Expression
txmetcnp
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem txmetcnp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . 4 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
2 simpl1 1008 . . . 4
3 simpl2 1009 . . . 4
41, 2, 3tmsxps 21538 . . 3 toMetSp s toMetSp
5 simpl3 1010 . . 3
6 opelxpi 4882 . . . 4
8 eqid 2422 . . . 4 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
9 txmetcnp.4 . . . 4
108, 9metcnp 21543 . . 3 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
114, 5, 7, 10syl3anc 1264 . 2 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
12 metcn.2 . . . . . 6
13 metcn.4 . . . . . 6
141, 2, 3, 12, 13, 8tmsxpsmopn 21539 . . . . 5 toMetSp s toMetSp
1514oveq1d 6317 . . . 4 toMetSp s toMetSp
1615fveq1d 5880 . . 3 toMetSp s toMetSp
1716eleq2d 2492 . 2 toMetSp s toMetSp
18 oveq2 6310 . . . . . . . . 9 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
1918breq1d 4430 . . . . . . . 8 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
20 df-ov 6305 . . . . . . . . . . 11
2120oveq1i 6312 . . . . . . . . . 10
22 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . 12
23 df-ov 6305 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11
2524oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10
2621, 25syl5eqr 2477 . . . . . . . . 9
2726breq1d 4430 . . . . . . . 8
2819, 27imbi12d 321 . . . . . . 7 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
2928ralxp 4992 . . . . . 6 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
302ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12
313ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12
32 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . 13
3332simpld 460 . . . . . . . . . . . 12
3432simprd 464 . . . . . . . . . . . 12
35 simprrl 772 . . . . . . . . . . . 12
36 simprrr 773 . . . . . . . . . . . 12
371, 30, 31, 33, 34, 35, 36tmsxpsval2 21541 . . . . . . . . . . 11 toMetSp s toMetSp
3837breq1d 4430 . . . . . . . . . 10 toMetSp s toMetSp
39 xmetcl 21333 . . . . . . . . . . . 12
4030, 33, 35, 39syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
41 xmetcl 21333 . . . . . . . . . . . 12
4231, 34, 36, 41syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
43 rpxr 11310 . . . . . . . . . . . 12
4443ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11
45 xrmaxlt 11477 . . . . . . . . . . 11
4640, 42, 44, 45syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
4738, 46bitrd 256 . . . . . . . . 9 toMetSp s toMetSp
4847imbi1d 318 . . . . . . . 8 toMetSp s toMetSp
4948anassrs 652 . . . . . . 7 toMetSp s toMetSp
50492ralbidva 2867 . . . . . 6 toMetSp s toMetSp
5129, 50syl5bb 260 . . . . 5 toMetSp s toMetSp
5251rexbidva 2936 . . . 4 toMetSp s toMetSp
5352ralbidv 2864 . . 3 toMetSp s toMetSp
5453pm5.32da 645 . 2 toMetSp s toMetSp
5511, 17, 543bitr3d 286 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776  cif 3909  cop 4002   class class class wbr 4420   cxp 4848  wf 5594  cfv 5598  (class class class)co 6302  cxr 9675   clt 9676   cle 9677  crp 11303  cds 15187   s cxps 15393  cxmt 18943  cmopn 18948   ccnp 20228   ctx 20562  toMetSpctmt 21321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-xms 21322  df-tms 21324 This theorem is referenced by:  txmetcn  21550  cxpcn3  23675
 Copyright terms: Public domain W3C validator