MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcn Structured version   Unicode version

Theorem txmetcn 20122
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
txmetcnp.4  |-  L  =  ( MetOpen `  E )
Assertion
Ref Expression
txmetcn  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  <->  ( F : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( x C u )  <  w  /\  (
y D v )  <  w )  -> 
( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, F   
u, J, v, w, x, y, z    u, K, v, w, x, y, z    u, X, v, w, x, y, z   
u, Y, v, w, x, y, z    u, Z, v, w, x, y, z    u, C, v, w, x, y, z   
u, D, v, w, x, y, z    u, E, v, w, x, y, z    w, L, x, y, z
Allowed substitution hints:    L( v, u)

Proof of Theorem txmetcn
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 20013 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 metcn.4 . . . . . 6  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
43mopntopon 20013 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 txtopon 19163 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
62, 4, 5syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
763adant3 1008 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
8 txmetcnp.4 . . . . 5  |-  L  =  ( MetOpen `  E )
98mopntopon 20013 . . . 4  |-  ( E  e.  ( *Met `  Z )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
1093ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
11 cncnp 18883 . . 3  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( F  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  <->  ( F :
( X  X.  Y
) --> Z  /\  A. t  e.  ( X  X.  Y ) F  e.  ( ( ( J 
tX  K )  CnP 
L ) `  t
) ) ) )
127, 10, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  <->  ( F : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  A. t  e.  ( X  X.  Y ) F  e.  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L ) `  t ) ) ) )
13 fveq2 5690 . . . . . 6  |-  ( t  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L ) `  t )  =  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L
) `  <. x ,  y >. ) )
1413eleq2d 2509 . . . . 5  |-  ( t  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F  e.  ( ( ( J 
tX  K )  CnP 
L ) `  t
)  <->  F  e.  (
( ( J  tX  K )  CnP  L
) `  <. x ,  y >. ) ) )
1514ralxp 4980 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( X  X.  Y ) F  e.  ( ( ( J 
tX  K )  CnP 
L ) `  t
)  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  F  e.  ( (
( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. x ,  y
>. ) )
161, 3, 8txmetcnp 20121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F  e.  ( ( ( J 
tX  K )  CnP 
L ) `  <. x ,  y >. )  <->  ( F : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( x C u )  <  w  /\  ( y D v )  <  w )  ->  ( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z
) ) ) )
1716adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  E  e.  ( *Met `  Z ) )  /\  F : ( X  X.  Y ) --> Z )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L
) `  <. x ,  y >. )  <->  ( F : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( x C u )  <  w  /\  (
y D v )  <  w )  -> 
( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z ) ) ) )
18 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  E  e.  ( *Met `  Z ) )  /\  F : ( X  X.  Y ) --> Z )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  F : ( X  X.  Y ) --> Z )
1918biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  E  e.  ( *Met `  Z ) )  /\  F : ( X  X.  Y ) --> Z )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( x C u )  <  w  /\  ( y D v )  <  w )  ->  ( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z
)  <->  ( F :
( X  X.  Y
) --> Z  /\  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( x C u )  <  w  /\  (
y D v )  <  w )  -> 
( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z ) ) ) )
2017, 19bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  E  e.  ( *Met `  Z ) )  /\  F : ( X  X.  Y ) --> Z )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L
) `  <. x ,  y >. )  <->  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( x C u )  < 
w  /\  ( y D v )  < 
w )  ->  (
( x F y ) E ( u F v ) )  <  z ) ) )
21202ralbidva 2754 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  /\  F : ( X  X.  Y ) --> Z )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  F  e.  ( ( ( J 
tX  K )  CnP 
L ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( x C u )  <  w  /\  (
y D v )  <  w )  -> 
( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z ) ) )
2215, 21syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  /\  F : ( X  X.  Y ) --> Z )  ->  ( A. t  e.  ( X  X.  Y
) F  e.  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L
) `  t )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( x C u )  <  w  /\  (
y D v )  <  w )  -> 
( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z ) ) )
2322pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  ->  (
( F : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  A. t  e.  ( X  X.  Y
) F  e.  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L
) `  t )
)  <->  ( F :
( X  X.  Y
) --> Z  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( x C u )  <  w  /\  (
y D v )  <  w )  -> 
( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z ) ) ) )
2412, 23bitrd 253 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  E  e.  ( *Met `  Z
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  <->  ( F : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( x C u )  <  w  /\  (
y D v )  <  w )  -> 
( ( x F y ) E ( u F v ) )  <  z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715   <.cop 3882   class class class wbr 4291    X. cxp 4837   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    < clt 9417   RR+crp 10990   *Metcxmt 17800   MetOpencmopn 17805  TopOnctopon 18498    Cn ccn 18827    CnP ccnp 18828    tX ctx 19132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-xms 19894  df-tms 19896
This theorem is referenced by:  ngptgp  20221  nlmvscn  20267  xmetdcn2  20413  addcnlem  20439  ipcn  20757  vacn  24088  smcnlem  24091
  Copyright terms: Public domain W3C validator