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Theorem txlm 20022
Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. (Contributed by NM, 16-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
txlm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
txlm.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txlm.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txlm.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
txlm.g  |-  ( ph  ->  G : Z --> Y )
txlm.h  |-  H  =  ( n  e.  Z  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)
Assertion
Ref Expression
txlm  |-  ( ph  ->  ( ( F ( ~~> t `  J ) R  /\  G ( ~~> t `  K ) S )  <->  H ( ~~> t `  ( J  tX  K ) ) <. R ,  S >. ) )
Distinct variable groups:    n, F    ph, n    n, G    n, J    n, K    n, X    n, Y    n, Z
Allowed substitution hints:    R( n)    S( n)    H( n)    M( n)

Proof of Theorem txlm
Dummy variables  j 
k  u  v  w  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.27av 2976 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  A. u  e.  J  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
2 r19.28av 2977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
32ralimi 2836 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  J  (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
41, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
5 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  w  e.  ( J  tX  K ) )
6 txlm.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 topontop 19300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
9 txlm.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
10 topontop 19300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )
1312txval 19938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
148, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  ( J  tX  K )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
165, 15eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  w  e.  ( topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
17 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  <. R ,  S >.  e.  w )
18 tg2 19339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) )  /\  <. R ,  S >.  e.  w )  ->  E. t  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v
) ) ( <. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  E. t  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) (
<. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w ) )
20 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  u  e. 
_V
21 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  v  e. 
_V
2220, 21xpex 6589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  X.  v )  e. 
_V
2322rgen2w 2805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( u  X.  v )  e.  _V
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )  =  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )
25 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  X.  v )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  t  <->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
26 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  X.  v )  ->  (
t  C_  w  <->  ( u  X.  v )  C_  w
) )
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( u  X.  v )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w )  <->  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2824, 27rexrnmpt2 6403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  (
u  X.  v )  e.  _V  ->  ( E. t  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v
) ) ( <. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w )  <->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2923, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. t  e.  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ( <. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w )  <->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )
3019, 29sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )
3130ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w ) ) )
32 r19.29 2978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. u  e.  J  ( A. v  e.  K  (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )
) )
33 r19.29 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. v  e.  K  ( (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )
) )
34 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v ) )
35 opelxp 5019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( R  e.  u  /\  S  e.  v ) )
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  ( R  e.  u  /\  S  e.  v )
)
37 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  u  ->  (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
38 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  v  ->  (
( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )
3937, 38im2anan9 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  u  /\  S  e.  v )  ->  ( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
4036, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  (
( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
41 txlm.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4241rexanuz2 13161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )
4341uztrn2 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
44 opelxpi 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  ->  <. ( F `  k
) ,  ( G `
 k ) >.  e.  ( u  X.  v
) )
45 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
46 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
4745, 46opeq12d 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  k  ->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  =  <. ( F `  k ) ,  ( G `  k ) >. )
48 txlm.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  H  =  ( n  e.  Z  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)
49 opex 4701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  <. ( F `  k ) ,  ( G `  k ) >.  e.  _V
5047, 48, 49fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  Z  ->  ( H `  k )  =  <. ( F `  k ) ,  ( G `  k )
>. )
5150eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( u  X.  v )  <->  <. ( F `
 k ) ,  ( G `  k
) >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
5244, 51syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k
)  e.  v )  ->  ( H `  k )  e.  ( u  X.  v ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k
)  e.  v )  ->  ( H `  k )  e.  ( u  X.  v ) ) )
54 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  w )
5554sseld 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( H `  k
)  e.  ( u  X.  v )  -> 
( H `  k
)  e.  w ) )
5653, 55syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k
)  e.  v )  ->  ( H `  k )  e.  w
) )
5743, 56sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  ->  ( H `  k )  e.  w ) )
5857anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K )  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
)  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  -> 
( H `  k
)  e.  w ) )
5958ralimdva 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) )
6059reximdva 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) )
6142, 60syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  (
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 k )  e.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6240, 61syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  (
( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6362ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  -> 
( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K )  ->  (
( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  ( ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
6564impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K )  ->  (
( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6665rexlimdva 2935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. v  e.  K  ( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6733, 66syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6867rexlimdva 2935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  J  ( A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  K  (
<. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6932, 68syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 k )  e.  v ) )  /\  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
7069expcomd 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
7131, 70syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w )  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 k )  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
7271expdimp 437 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
7372com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
7473ralrimdva 2861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
754, 74syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
7675adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
778adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  J  e.  Top )
7811adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  K  e.  Top )
79 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  u  e.  J )
80 toponmax 19302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
819, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  Y  e.  K )
83 txopn 19976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( u  e.  J  /\  Y  e.  K
) )  ->  (
u  X.  Y )  e.  ( J  tX  K ) )
8477, 78, 79, 82, 83syl22anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( u  X.  Y
)  e.  ( J 
tX  K ) )
85 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( u  X.  Y )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  w  <->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y ) ) )
86 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( u  X.  Y )  ->  (
( H `  k
)  e.  w  <->  ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y ) ) )
8786rexralbidv 2962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( u  X.  Y )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y ) ) )
8885, 87imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( u  X.  Y )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  <-> 
( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y ) ) ) )
8988rspcv 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  X.  Y )  e.  ( J  tX  K )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y ) ) ) )
9084, 89syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y ) ) ) )
91 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  S  e.  Y )
92 opelxpi 5021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  u  /\  S  e.  Y )  -> 
<. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y
) )
9391, 92sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  u  /\  ( ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) ) )  ->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y ) )
9493expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( R  e.  u  -> 
<. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y
) ) )
9550eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y )  <->  <. ( F `
 k ) ,  ( G `  k
) >.  e.  ( u  X.  Y ) ) )
96 opelxp1 5022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  k
) ,  ( G `
 k ) >.  e.  ( u  X.  Y
)  ->  ( F `  k )  e.  u
)
9795, 96syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y )  -> 
( F `  k
)  e.  u ) )
9843, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y )  ->  ( F `  k )  e.  u
) )
9998ralimdva 2851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) )
10099reximia 2909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( H `
 k )  e.  ( u  X.  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )
101100a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
10294, 101imim12d 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y ) )  -> 
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
10390, 102syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
104103anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Y )  /\  u  e.  J )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) ) )
105104ralrimdva 2861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Y )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
106105adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  ->  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
1078adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  ->  J  e.  Top )
10811adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  ->  K  e.  Top )
109 toponmax 19302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1106, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  ->  X  e.  J )
112 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
v  e.  K )
113 txopn 19976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( X  e.  J  /\  v  e.  K
) )  ->  ( X  X.  v )  e.  ( J  tX  K
) )
114107, 108, 111, 112, 113syl22anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( X  X.  v
)  e.  ( J 
tX  K ) )
115 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( X  X.  v )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  w  <->  <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v ) ) )
116 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( X  X.  v )  ->  (
( H `  k
)  e.  w  <->  ( H `  k )  e.  ( X  X.  v ) ) )
117116rexralbidv 2962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( X  X.  v )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v ) ) )
118115, 117imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( X  X.  v )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  <-> 
( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v ) ) ) )
119118rspcv 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  X.  v )  e.  ( J  tX  K )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( X  X.  v ) ) ) )
120114, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v ) ) ) )
121 opelxpi 5021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  v )  -> 
<. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v
) )
122121ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  X  ->  ( S  e.  v  ->  <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v
) ) )
123122ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( S  e.  v  ->  <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v ) ) )
12450eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v )  <->  <. ( F `
 k ) ,  ( G `  k
) >.  e.  ( X  X.  v ) ) )
125 opelxp2 5023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  k
) ,  ( G `
 k ) >.  e.  ( X  X.  v
)  ->  ( G `  k )  e.  v )
126124, 125syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v )  -> 
( G `  k
)  e.  v ) )
12743, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( H `  k )  e.  ( X  X.  v )  ->  ( G `  k )  e.  v ) )
128127ralimdva 2851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( X  X.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )
129128reximia 2909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( H `
 k )  e.  ( X  X.  v
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v )
130129a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )
131123, 130imim12d 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( X  X.  v ) )  -> 
( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )
132120, 131syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )
133132anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  X )  /\  v  e.  K )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
134133ralrimdva 2861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  e.  X )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )
135134adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  ->  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )
136106, 135jcad 533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) )
13776, 136impbid 191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  <->  A. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
138137pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  A. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) ) )
139 opelxp 5019 . . . 4  |-  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )
140139anbi1i 695 . . 3  |-  ( (
<. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y
)  /\  A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) )  <-> 
( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  A. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
141138, 140syl6bbr 263 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )  <->  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  A. w  e.  ( J 
tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) ) )
142 txlm.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
143 txlm.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
144 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
1456, 41, 142, 143, 144lmbrf 19634 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) R  <->  ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
146 txlm.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Z --> Y )
147 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
1489, 41, 142, 146, 147lmbrf 19634 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  K ) S  <->  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) )
149145, 148anbi12d 710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( ~~> t `  J ) R  /\  G ( ~~> t `  K ) S )  <->  ( ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )  /\  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) ) )
150 an4 824 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )  /\  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) )
151149, 150syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( ~~> t `  J ) R  /\  G ( ~~> t `  K ) S )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) ) )
152 txtopon 19965 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
1536, 9, 152syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
154143ffvelrnda 6016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  X )
155146ffvelrnda 6016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  Y )
156 opelxpi 5021 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  X  /\  ( G `  n )  e.  Y )  ->  <. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
157154, 155, 156syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
158157, 48fmptd 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  H : Z --> ( X  X.  Y ) )
159 eqidd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  k ) )
160153, 41, 142, 158, 159lmbrf 19634 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( ~~> t `  ( J  tX  K ) ) <. R ,  S >.  <-> 
( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  A. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) ) )
161141, 151, 1603bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( ~~> t `  J ) R  /\  G ( ~~> t `  K ) S )  <->  H ( ~~> t `  ( J  tX  K ) ) <. R ,  S >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   <.cop 4020   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   topGenctg 14712   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   ~~> tclm 19600    tX ctx 19934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-neg 9813  df-z 10871  df-uz 11091  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-lm 19603  df-tx 19936
This theorem is referenced by:  lmcn2  20023
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