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Theorem txlm 20711
Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. (Contributed by NM, 16-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
txlm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
txlm.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txlm.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txlm.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
txlm.g  |-  ( ph  ->  G : Z --> Y )
txlm.h  |-  H  =  ( n  e.  Z  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)
Assertion
Ref Expression
txlm  |-  ( ph  ->  ( ( F ( ~~> t `  J ) R  /\  G ( ~~> t `  K ) S )  <->  H ( ~~> t `  ( J  tX  K ) ) <. R ,  S >. ) )
Distinct variable groups:    n, F    ph, n    n, G    n, J    n, K    n, X    n, Y    n, Z
Allowed substitution hints:    R( n)    S( n)    H( n)    M( n)

Proof of Theorem txlm
Dummy variables  j 
k  u  v  w  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.27v 2934 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  A. u  e.  J  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
2 r19.28v 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
32ralimi 2792 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  J  (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
41, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
5 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  w  e.  ( J  tX  K ) )
6 txlm.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 topontop 19989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
9 txlm.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
10 topontop 19989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
12 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )
1312txval 20627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
148, 11, 13syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
1514adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  ( J  tX  K )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
165, 15eleqtrd 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  w  e.  ( topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
17 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  <. R ,  S >.  e.  w )
18 tg2 20028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) )  /\  <. R ,  S >.  e.  w )  ->  E. t  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v
) ) ( <. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w ) )
1916, 17, 18syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  E. t  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) (
<. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w ) )
20 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  u  e. 
_V
21 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  v  e. 
_V
2220, 21xpex 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  X.  v )  e. 
_V
2322rgen2w 2761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( u  X.  v )  e.  _V
24 eqid 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )  =  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )
25 eleq2 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  X.  v )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  t  <->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
26 sseq1 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  X.  v )  ->  (
t  C_  w  <->  ( u  X.  v )  C_  w
) )
2725, 26anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( u  X.  v )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w )  <->  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2824, 27rexrnmpt2 6438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  (
u  X.  v )  e.  _V  ->  ( E. t  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v
) ) ( <. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w )  <->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2923, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. t  e.  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ( <. R ,  S >.  e.  t  /\  t  C_  w )  <->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )
3019, 29sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )
3130ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w ) ) )
32 r19.29 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. u  e.  J  ( A. v  e.  K  (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )
) )
33 r19.29 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. v  e.  K  ( (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )
) )
34 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v ) )
35 opelxp 4882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( R  e.  u  /\  S  e.  v ) )
3634, 35sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  ( R  e.  u  /\  S  e.  v )
)
37 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  u  ->  (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
38 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  v  ->  (
( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )
3937, 38im2anan9 851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  u  /\  S  e.  v )  ->  ( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
4036, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  (
( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
41 txlm.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4241rexanuz2 13460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )
4341uztrn2 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
44 opelxpi 4884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  ->  <. ( F `  k
) ,  ( G `
 k ) >.  e.  ( u  X.  v
) )
45 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
46 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
4745, 46opeq12d 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  k  ->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  =  <. ( F `  k ) ,  ( G `  k ) >. )
48 txlm.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  H  =  ( n  e.  Z  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)
49 opex 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  <. ( F `  k ) ,  ( G `  k ) >.  e.  _V
5047, 48, 49fvmpt 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  Z  ->  ( H `  k )  =  <. ( F `  k ) ,  ( G `  k )
>. )
5150eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( u  X.  v )  <->  <. ( F `
 k ) ,  ( G `  k
) >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
5244, 51syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k
)  e.  v )  ->  ( H `  k )  e.  ( u  X.  v ) ) )
5352adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k
)  e.  v )  ->  ( H `  k )  e.  ( u  X.  v ) ) )
54 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  w )
5554sseld 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( H `  k
)  e.  ( u  X.  v )  -> 
( H `  k
)  e.  w ) )
5653, 55syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k
)  e.  v )  ->  ( H `  k )  e.  w
) )
5743, 56sylan2 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  ->  ( H `  k )  e.  w ) )
5857anassrs 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K )  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
)  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  -> 
( H `  k
)  e.  w ) )
5958ralimdva 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) )
6059reximdva 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  u  /\  ( G `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) )
6142, 60syl5bir 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  (
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 k )  e.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6240, 61syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K
)  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  (
( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6362ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  -> 
( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
6463com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K )  ->  (
( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  ( ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
6564impd 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  K )  ->  (
( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6665rexlimdva 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. v  e.  K  ( ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6733, 66syl5 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  /\  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6867rexlimdva 2890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  J  ( A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  K  (
<. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
6932, 68syl5 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 k )  e.  v ) )  /\  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) )
7069expcomd 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
7131, 70syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J  tX  K
)  /\  <. R ,  S >.  e.  w )  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( G `
 k )  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
7271expdimp 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
7372com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  (
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
7473ralrimdva 2817 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
754, 74syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
7675adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  ->  A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) ) )
778adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  J  e.  Top )
7811adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  K  e.  Top )
79 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  u  e.  J )
80 toponmax 19991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
8281adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  Y  e.  K )
83 txopn 20665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( u  e.  J  /\  Y  e.  K
) )  ->  (
u  X.  Y )  e.  ( J  tX  K ) )
8477, 78, 79, 82, 83syl22anc 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( u  X.  Y
)  e.  ( J 
tX  K ) )
85 eleq2 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( u  X.  Y )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  w  <->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y ) ) )
86 eleq2 2528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( u  X.  Y )  ->  (
( H `  k
)  e.  w  <->  ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y ) ) )
8786rexralbidv 2920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( u  X.  Y )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y ) ) )
8885, 87imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( u  X.  Y )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  <-> 
( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y ) ) ) )
8988rspcv 3157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  X.  Y )  e.  ( J  tX  K )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y ) ) ) )
9084, 89syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y ) ) ) )
91 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  ->  S  e.  Y )
92 opelxpi 4884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  u  /\  S  e.  Y )  -> 
<. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y
) )
9391, 92sylan2 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  u  /\  ( ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) ) )  ->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y ) )
9493expcom 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( R  e.  u  -> 
<. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y
) ) )
9550eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y )  <->  <. ( F `
 k ) ,  ( G `  k
) >.  e.  ( u  X.  Y ) ) )
96 opelxp1 4885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  k
) ,  ( G `
 k ) >.  e.  ( u  X.  Y
)  ->  ( F `  k )  e.  u
)
9795, 96syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y )  -> 
( F `  k
)  e.  u ) )
9843, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y )  ->  ( F `  k )  e.  u
) )
9998ralimdva 2807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) )
10099reximia 2864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( H `
 k )  e.  ( u  X.  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )
101100a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
10294, 101imim12d 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( u  X.  Y ) )  -> 
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
10390, 102syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  Y  /\  u  e.  J ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
104103anassrs 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Y )  /\  u  e.  J )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) ) )
105104ralrimdva 2817 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Y )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
106105adantrl 727 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  ->  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
1078adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  ->  J  e.  Top )
10811adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  ->  K  e.  Top )
109 toponmax 19991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1106, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
111110adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  ->  X  e.  J )
112 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
v  e.  K )
113 txopn 20665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( X  e.  J  /\  v  e.  K
) )  ->  ( X  X.  v )  e.  ( J  tX  K
) )
114107, 108, 111, 112, 113syl22anc 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( X  X.  v
)  e.  ( J 
tX  K ) )
115 eleq2 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( X  X.  v )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  w  <->  <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v ) ) )
116 eleq2 2528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( X  X.  v )  ->  (
( H `  k
)  e.  w  <->  ( H `  k )  e.  ( X  X.  v ) ) )
117116rexralbidv 2920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( X  X.  v )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v ) ) )
118115, 117imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( X  X.  v )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  <-> 
( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v ) ) ) )
119118rspcv 3157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  X.  v )  e.  ( J  tX  K )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( X  X.  v ) ) ) )
120114, 119syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v ) ) ) )
121 opelxpi 4884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  v )  -> 
<. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v
) )
122121ex 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  X  ->  ( S  e.  v  ->  <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v
) ) )
123122ad2antrl 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( S  e.  v  ->  <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v ) ) )
12450eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v )  <->  <. ( F `
 k ) ,  ( G `  k
) >.  e.  ( X  X.  v ) ) )
125 opelxp2 4886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  k
) ,  ( G `
 k ) >.  e.  ( X  X.  v
)  ->  ( G `  k )  e.  v )
126124, 125syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v )  -> 
( G `  k
)  e.  v ) )
12743, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( H `  k )  e.  ( X  X.  v )  ->  ( G `  k )  e.  v ) )
128127ralimdva 2807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( X  X.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )
129128reximia 2864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( H `
 k )  e.  ( X  X.  v
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v )
130129a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) )
131123, 130imim12d 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  v )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  ( X  X.  v ) )  -> 
( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )
132120, 131syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  v  e.  K ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )
133132anassrs 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  X )  /\  v  e.  K )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )
134133ralrimdva 2817 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  e.  X )  ->  ( A. w  e.  ( J  tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w )  ->  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )
135134adantrr 728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  ->  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )
136106, 135jcad 540 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w )  -> 
( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) )
13776, 136impbid 195 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) )  <->  A. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
138137pm5.32da 651 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  A. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) ) )
139 opelxp 4882 . . . 4  |-  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )
140139anbi1i 706 . . 3  |-  ( (
<. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y
)  /\  A. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( H `  k )  e.  w ) )  <-> 
( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  A. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) )
141138, 140syl6bbr 271 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( G `  k )  e.  v ) ) )  <->  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  A. w  e.  ( J 
tX  K ) (
<. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) ) )
142 txlm.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
143 txlm.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
144 eqidd 2462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
1456, 41, 142, 143, 144lmbrf 20324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) R  <->  ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
146 txlm.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : Z --> Y )
147 eqidd 2462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
1489, 41, 142, 146, 147lmbrf 20324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  K ) S  <->  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) )
149145, 148anbi12d 722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( ~~> t `  J ) R  /\  G ( ~~> t `  K ) S )  <->  ( ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )  /\  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) ) )
150 an4 838 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )  /\  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) )
151149, 150syl6bb 269 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( ~~> t `  J ) R  /\  G ( ~~> t `  K ) S )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( G `  k
)  e.  v ) ) ) ) )
152 txtopon 20654 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
1536, 9, 152syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
154143ffvelrnda 6044 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  X )
155146ffvelrnda 6044 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  Y )
156 opelxpi 4884 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  X  /\  ( G `  n )  e.  Y )  ->  <. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
157154, 155, 156syl2anc 671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
158157, 48fmptd 6068 . . 3  |-  ( ph  ->  H : Z --> ( X  X.  Y ) )
159 eqidd 2462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  k ) )
160153, 41, 142, 158, 159lmbrf 20324 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( ~~> t `  ( J  tX  K ) ) <. R ,  S >.  <-> 
( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  A. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. R ,  S >.  e.  w  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( H `  k
)  e.  w ) ) ) )
161141, 151, 1603bitr4d 293 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( ~~> t `  J ) R  /\  G ( ~~> t `  K ) S )  <->  H ( ~~> t `  ( J  tX  K ) ) <. R ,  S >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056    C_ wss 3415   <.cop 3985   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474    X. cxp 4850   ran crn 4853   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   topGenctg 15384   Topctop 19965  TopOnctopon 19966   ~~> tclm 20290    tX ctx 20623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-er 7388  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-neg 9888  df-z 10966  df-uz 11188  df-topgen 15390  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-lm 20293  df-tx 20625
This theorem is referenced by:  lmcn2  20712
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