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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > txhmeo | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
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txhmeo.1 |
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txhmeo.2 |
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txhmeo.3 |
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txhmeo.4 |
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Ref | Expression |
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txhmeo |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | txhmeo.3 |
. . . . . 6
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2 | hmeocn 20823 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . 5
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4 | cntop1 20304 |
. . . . 5
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5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . 4
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6 | txhmeo.1 |
. . . . 5
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7 | 6 | toptopon 19996 |
. . . 4
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8 | 5, 7 | sylib 201 |
. . 3
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9 | txhmeo.4 |
. . . . . 6
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10 | hmeocn 20823 |
. . . . . 6
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11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . 5
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12 | cntop1 20304 |
. . . . 5
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13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . 4
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14 | txhmeo.2 |
. . . . 5
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15 | 14 | toptopon 19996 |
. . . 4
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16 | 13, 15 | sylib 201 |
. . 3
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17 | 8, 16 | cnmpt1st 20731 |
. . . 4
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18 | 8, 16, 17, 3 | cnmpt21f 20735 |
. . 3
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19 | 8, 16 | cnmpt2nd 20732 |
. . . 4
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20 | 8, 16, 19, 11 | cnmpt21f 20735 |
. . 3
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21 | 8, 16, 18, 20 | cnmpt2t 20736 |
. 2
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22 | vex 3059 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | vex 3059 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 22, 23 | op1std 6829 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | fveq2d 5891 |
. . . . . . . . 9
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26 | 22, 23 | op2ndd 6830 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | fveq2d 5891 |
. . . . . . . . 9
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28 | 25, 27 | opeq12d 4187 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | mpt2mpt 6414 |
. . . . . . 7
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30 | 29 | eqcomi 2470 |
. . . . . 6
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31 | eqid 2461 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 6, 31 | cnf 20310 |
. . . . . . . . 9
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33 | 3, 32 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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34 | xp1st 6849 |
. . . . . . . 8
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35 | ffvelrn 6042 |
. . . . . . . 8
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36 | 33, 34, 35 | syl2an 484 |
. . . . . . 7
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37 | eqid 2461 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 14, 37 | cnf 20310 |
. . . . . . . . 9
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39 | 11, 38 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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40 | xp2nd 6850 |
. . . . . . . 8
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41 | ffvelrn 6042 |
. . . . . . . 8
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42 | 39, 40, 41 | syl2an 484 |
. . . . . . 7
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43 | opelxpi 4884 |
. . . . . . 7
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44 | 36, 42, 43 | syl2anc 671 |
. . . . . 6
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45 | 6, 31 | hmeof1o 20827 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 1, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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47 | f1ocnv 5848 |
. . . . . . . . 9
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48 | f1of 5836 |
. . . . . . . . 9
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49 | 46, 47, 48 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
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50 | xp1st 6849 |
. . . . . . . 8
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51 | ffvelrn 6042 |
. . . . . . . 8
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52 | 49, 50, 51 | syl2an 484 |
. . . . . . 7
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53 | 14, 37 | hmeof1o 20827 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 9, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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55 | f1ocnv 5848 |
. . . . . . . . 9
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56 | f1of 5836 |
. . . . . . . . 9
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57 | 54, 55, 56 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
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58 | xp2nd 6850 |
. . . . . . . 8
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59 | ffvelrn 6042 |
. . . . . . . 8
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60 | 57, 58, 59 | syl2an 484 |
. . . . . . 7
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61 | opelxpi 4884 |
. . . . . . 7
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62 | 52, 60, 61 | syl2anc 671 |
. . . . . 6
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63 | 46 | adantr 471 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 34 | ad2antrl 739 |
. . . . . . . . . 10
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65 | 50 | ad2antll 740 |
. . . . . . . . . 10
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66 | f1ocnvfvb 6202 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 63, 64, 65, 66 | syl3anc 1276 |
. . . . . . . . 9
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68 | eqcom 2468 |
. . . . . . . . 9
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69 | eqcom 2468 |
. . . . . . . . 9
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70 | 67, 68, 69 | 3bitr4g 296 |
. . . . . . . 8
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71 | 54 | adantr 471 |
. . . . . . . . . 10
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72 | 40 | ad2antrl 739 |
. . . . . . . . . 10
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73 | 58 | ad2antll 740 |
. . . . . . . . . 10
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75 | 71, 72, 73, 74 | syl3anc 1276 |
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76 | eqcom 2468 |
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78 | 75, 76, 77 | 3bitr4g 296 |
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79 | 70, 78 | anbi12d 722 |
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82 | eqop 6859 |
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84 | 79, 81, 83 | 3bitr4rd 294 |
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85 | 30, 44, 62, 84 | f1ocnv2d 6546 |
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93 | 90, 92 | opeq12d 4187 |
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95 | 86, 94 | syl6eq 2511 |
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97 | 3, 96 | syl 17 |
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98 | 31 | toptopon 19996 |
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99 | 97, 98 | sylib 201 |
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100 | cntop2 20305 |
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101 | 11, 100 | syl 17 |
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102 | 37 | toptopon 19996 |
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103 | 101, 102 | sylib 201 |
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104 | 99, 103 | cnmpt1st 20731 |
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105 | hmeocnvcn 20824 |
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107 | 99, 103, 104, 106 | cnmpt21f 20735 |
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108 | 99, 103 | cnmpt2nd 20732 |
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109 | hmeocnvcn 20824 |
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111 | 99, 103, 108, 110 | cnmpt21f 20735 |
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112 | 99, 103, 107, 111 | cnmpt2t 20736 |
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113 | 95, 112 | eqeltrd 2539 |
. 2
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114 | ishmeo 20822 |
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115 | 21, 113, 114 | sylanbrc 675 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-8 1899 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pow 4594 ax-pr 4652 ax-un 6609 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3an 993 df-tru 1457 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-ral 2753 df-rex 2754 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-csb 3375 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-nul 3743 df-if 3893 df-pw 3964 df-sn 3980 df-pr 3982 df-op 3986 df-uni 4212 df-iun 4293 df-br 4416 df-opab 4475 df-mpt 4476 df-id 4767 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-rn 4863 df-res 4864 df-ima 4865 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fo 5606 df-f1o 5607 df-fv 5608 df-ov 6317 df-oprab 6318 df-mpt2 6319 df-1st 6819 df-2nd 6820 df-map 7499 df-topgen 15390 df-top 19969 df-bases 19970 df-topon 19971 df-cn 20291 df-tx 20625 df-hmeo 20818 |
This theorem is referenced by: xpstopnlem1 20872 |
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