Theorem txhmeo 19276

Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txhmeo.1	|- X = U. J
txhmeo.2	|- Y = U. K
txhmeo.3	|- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
txhmeo.4	|- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )

Assertion

Ref	Expression
txhmeo	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   ph, x, y   x, G, y   x, L, y   x, X, y   x, Y, y   x, M, y

Proof of Theorem txhmeo

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txhmeo.3	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Homeo L ) )
2		hmeocn 19233	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F e. ( J Cn L ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( J Cn L ) )
4		cntop1 18744	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn L ) -> J e. Top )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> J e. Top )
6		txhmeo.1	. . . . 5 |- X = U. J
7	6	toptopon 18438	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
8	5, 7	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
9		txhmeo.4	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( K Homeo M ) )
10		hmeocn 19233	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G e. ( K Cn M ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( K Cn M ) )
12		cntop1 18744	. . . . 5 |- ( G e. ( K Cn M ) -> K e. Top )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
14		txhmeo.2	. . . . 5 |- Y = U. K
15	14	toptopon 18438	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
16	13, 15	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	8, 16	cnmpt1st 19141	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
18	8, 16, 17, 3	cnmpt21f 19145	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` x ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
19	8, 16	cnmpt2nd 19142	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
20	8, 16, 19, 11	cnmpt21f 19145	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( G ` y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
21	8, 16, 18, 20	cnmpt2t 19146	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
22		vex 2973	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
23		vex 2973	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
24	22, 23	op1std 6586	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 1st ` u ) = x )
25	24	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( F ` x ) )
26	22, 23	op2ndd 6587	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( 2nd ` u ) = y )
27	26	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( G ` y ) )
28	25, 27	opeq12d 4064	. . . . . . . 8 |- ( u = <. x , y >. -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. = <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
29	28	mpt2mpt 6181	. . . . . . 7 |- ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. )
30	29	eqcomi 2445	. . . . . 6 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( u e. ( X X. Y ) |-> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. )
31		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- U. L = U. L
32	6, 31	cnf 18750	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( J Cn L ) -> F : X --> U. L )
33	3, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : X --> U. L )
34		xp1st 6605	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 1st ` u ) e. X )
35		ffvelrn 5838	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
36	33, 34, 35	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L )
37		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- U. M = U. M
38	14, 37	cnf 18750	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( K Cn M ) -> G : Y --> U. M )
39	11, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : Y --> U. M )
40		xp2nd 6606	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
41		ffvelrn 5838	. . . . . . . 8 |- ( ( G : Y --> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
42	39, 40, 41	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M )
43		opelxpi 4867	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` ( 1st ` u ) ) e. U. L /\ ( G ` ( 2nd ` u ) ) e. U. M ) -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. e. ( U. L X. U. M ) )
44	36, 42, 43	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( X X. Y ) ) -> <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. e. ( U. L X. U. M ) )
45	6, 31	hmeof1o 19237	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
46	1, 45	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X -1-1-onto-> U. L )
47		f1ocnv 5650	. . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> U. L -> `' F : U. L -1-1-onto-> X )
48		f1of 5638	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : U. L -1-1-onto-> X -> `' F : U. L --> X )
49	46, 47, 48	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : U. L --> X )
50		xp1st 6605	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
51		ffvelrn 5838	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F : U. L --> X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
52	49, 50, 51	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X )
53	14, 37	hmeof1o 19237	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
54	9, 53	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
55		f1ocnv 5650	. . . . . . . . 9 |- ( G : Y -1-1-onto-> U. M -> `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
56		f1of 5638	. . . . . . . . 9 |- ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y -> `' G : U. M --> Y )
57	54, 55, 56	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' G : U. M --> Y )
58		xp2nd 6606	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
59		ffvelrn 5838	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G : U. M --> Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
60	57, 58, 59	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y )
61		opelxpi 4867	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' F ` ( 1st ` v ) ) e. X /\ ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) e. Y ) -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. e. ( X X. Y ) )
62	52, 60, 61	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. e. ( X X. Y ) )
63	46	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> F : X -1-1-onto-> U. L )
64	34	ad2antrl 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` u ) e. X )
65	50	ad2antll 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 1st ` v ) e. U. L )
66		f1ocnvfvb 5983	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : X -1-1-onto-> U. L /\ ( 1st ` u ) e. X /\ ( 1st ` v ) e. U. L ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) ) )
68		eqcom 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( F ` ( 1st ` u ) ) = ( 1st ` v ) )
69		eqcom 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) <-> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( 1st ` u ) )
70	67, 68, 69	3bitr4g 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) <-> ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) ) )
71	54	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> G : Y -1-1-onto-> U. M )
72	40	ad2antrl 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` u ) e. Y )
73	58	ad2antll 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( 2nd ` v ) e. U. M )
74		f1ocnvfvb 5983	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M /\ ( 2nd ` u ) e. Y /\ ( 2nd ` v ) e. U. M ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
75	71, 72, 73, 74	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) ) )
76		eqcom 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( G ` ( 2nd ` u ) ) = ( 2nd ` v ) )
77		eqcom 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) <-> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( 2nd ` u ) )
78	75, 76, 77	3bitr4g 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) <-> ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) )
79	70, 78	anbi12d 705	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
80		eqop 6615	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
81	80	ad2antll 723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. <-> ( ( 1st ` v ) = ( F ` ( 1st ` u ) ) /\ ( 2nd ` v ) = ( G ` ( 2nd ` u ) ) ) ) )
82		eqop 6615	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
83	82	ad2antrl 722	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> ( ( 1st ` u ) = ( `' F ` ( 1st ` v ) ) /\ ( 2nd ` u ) = ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) ) ) )
84	79, 81, 83	3bitr4rd 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( U. L X. U. M ) ) ) -> ( u = <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. <-> v = <. ( F ` ( 1st ` u ) ) , ( G ` ( 2nd ` u ) ) >. ) )
85	30, 44, 62, 84	f1ocnv2d 6310	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( U. L X. U. M ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) ) )
86	85	simprd 460	. . . 4 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) )
87		vex 2973	. . . . . . . 8 |- z e. _V
88		vex 2973	. . . . . . . 8 |- w e. _V
89	87, 88	op1std 6586	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 1st ` v ) = z )
90	89	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' F ` ( 1st ` v ) ) = ( `' F ` z ) )
91	87, 88	op2ndd 6587	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( 2nd ` v ) = w )
92	91	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( v = <. z , w >. -> ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) = ( `' G ` w ) )
93	90, 92	opeq12d 4064	. . . . 5 |- ( v = <. z , w >. -> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. = <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
94	93	mpt2mpt 6181	. . . 4 |- ( v e. ( U. L X. U. M ) |-> <. ( `' F ` ( 1st ` v ) ) , ( `' G ` ( 2nd ` v ) ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. )
95	86, 94	syl6eq 2489	. . 3 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) = ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) )
96		cntop2 18745	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
97	3, 96	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> L e. Top )
98	31	toptopon 18438	. . . . 5 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
99	97, 98	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
100		cntop2 18745	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Cn M ) -> M e. Top )
101	11, 100	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> M e. Top )
102	37	toptopon 18438	. . . . 5 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
103	101, 102	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
104	99, 103	cnmpt1st 19141	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> z ) e. ( ( L tX M ) Cn L ) )
105		hmeocnvcn 19234	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo L ) -> `' F e. ( L Cn J ) )
106	1, 105	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> `' F e. ( L Cn J ) )
107	99, 103, 104, 106	cnmpt21f 19145	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' F ` z ) ) e. ( ( L tX M ) Cn J ) )
108	99, 103	cnmpt2nd 19142	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> w ) e. ( ( L tX M ) Cn M ) )
109		hmeocnvcn 19234	. . . . . 6 |- ( G e. ( K Homeo M ) -> `' G e. ( M Cn K ) )
110	9, 109	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> `' G e. ( M Cn K ) )
111	99, 103, 108, 110	cnmpt21f 19145	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> ( `' G ` w ) ) e. ( ( L tX M ) Cn K ) )
112	99, 103, 107, 111	cnmpt2t 19146	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U. L , w e. U. M |-> <. ( `' F ` z ) , ( `' G ` w ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
113	95, 112	eqeltrd 2515	. 2 |- ( ph -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) )
114		ishmeo 19232	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( L tX M ) Cn ( J tX K ) ) ) )
115	21, 113, 114	sylanbrc 659	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( F ` x ) , ( G ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   <.cop 3880   U.cuni 4088   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   `'ccnv 4835   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   Cn ccn 18728   tX ctx 19033   Homeochmeo 19226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7212  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cn 18731  df-tx 19035  df-hmeo 19228

This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  19282