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Theorem txhaus 20674
Description: The topological product of two Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txhaus  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Haus )

Proof of Theorem txhaus
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 20359 . . 3  |-  ( R  e.  Haus  ->  R  e. 
Top )
2 haustop 20359 . . 3  |-  ( S  e.  Haus  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 20596 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 480 . 2  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
75, 6txuni 20619 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
81, 2, 7syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
98eleq2d 2516 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  <-> 
x  e.  U. ( R  tX  S ) ) )
108eleq2d 2516 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
y  e.  ( U. R  X.  U. S )  <-> 
y  e.  U. ( R  tX  S ) ) )
119, 10anbi12d 718 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  <->  ( x  e.  U. ( R  tX  S )  /\  y  e.  U. ( R  tX  S ) ) ) )
12 neorian 2720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y )  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y
) )  <->  -.  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
) ) )
13 xpopth 6837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  -> 
( ( ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  y ) )
1413adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  y
) )
1514necon3bbid 2663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( -.  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
) )  <->  x  =/=  y ) )
1612, 15syl5bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y
)  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y ) )  <-> 
x  =/=  y ) )
17 simplll 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  R  e.  Haus )
18 xp1st 6828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 1st `  x
)  e.  U. R
)
1918ad2antrl 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  U. R
)
2019adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  x
)  e.  U. R
)
21 xp1st 6828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 1st `  y
)  e.  U. R
)
2221ad2antll 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  U. R
)
2322adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  y
)  e.  U. R
)
24 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )
255hausnei 20356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  (
( 1st `  x
)  e.  U. R  /\  ( 1st `  y
)  e.  U. R  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
2617, 20, 23, 24, 25syl13anc 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
271ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  R  e.  Top )
2827ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
292ad4antlr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
30 simprll 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  R
)
316topopn 19948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  U. S  e.  S
)
33 txopn 20629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( u  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
u  X.  U. S
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3428, 29, 30, 32, 33syl22anc 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
35 simprlr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  R
)
36 txopn 20629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( v  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
v  X.  U. S
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3728, 29, 35, 32, 36syl22anc 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( v  X. 
U. S )  e.  ( R  tX  S
) )
38 1st2nd2 6835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x )
>. )
3938ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
4039ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
41 simprr1 1057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  u )
42 xp2nd 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4342ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4443ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4541, 44jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  e.  u  /\  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
) )
46 elxp6 6830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  <->  ( x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >.  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  x )  e.  U. S ) ) )
4740, 45, 46sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( u  X.  U. S
) )
48 1st2nd2 6835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
4948ad2antll 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
5049ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
51 simprr2 1058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  v )
52 xp2nd 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5352ad2antll 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5453ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5551, 54jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  e.  v  /\  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
) )
56 elxp6 6830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( v  X. 
U. S )  <->  ( y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  /\  (
( 1st `  y
)  e.  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  U. S ) ) )
5750, 55, 56sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( v  X.  U. S
) )
58 simprr3 1059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
5958xpeq1d 4860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( u  i^i  v )  X. 
U. S )  =  ( (/)  X.  U. S
) )
60 xpindir 4972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  v )  X.  U. S )  =  ( ( u  X.  U. S )  i^i  ( v  X. 
U. S ) )
61 0xp 4918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  X. 
U. S )  =  (/)
6259, 60, 613eqtr3g 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( u  X.  U. S )  i^i  ( v  X. 
U. S ) )  =  (/) )
63 eleq2 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( u  X.  U. S
) ) )
64 ineq1 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( ( u  X.  U. S )  i^i  w ) )
6564eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( (
u  X.  U. S
)  i^i  w )  =  (/) ) )
6663, 653anbi13d 1343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  w  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
67 eleq2 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  ( v  X. 
U. S ) ) )
68 ineq2 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  ( ( u  X.  U. S
)  i^i  ( v  X.  U. S ) ) )
6968eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( ( u  X.  U. S )  i^i  w )  =  (/) 
<->  ( ( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) )
7067, 693anbi23d 1344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  w  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  ( v  X.  U. S )  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) ) )
7166, 70rspc2ev 3163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( v  X. 
U. S )  e.  ( R  tX  S
)  /\  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  ( v  X.  U. S )  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
7234, 37, 47, 57, 62, 71syl113anc 1281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
7372expr 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( u  e.  R  /\  v  e.  R
) )  ->  (
( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
7473rexlimdvva 2888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x )  e.  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
7526, 74mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
76 simpllr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  S  e.  Haus )
7743adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
7853adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
79 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )
806hausnei 20356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Haus  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  y
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) ) )  ->  E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
8176, 77, 78, 79, 80syl13anc 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
8227ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
832ad4antlr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
845topopn 19948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
8582, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  U. R  e.  R
)
86 simprll 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  S
)
87 txopn 20629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S ) )
8882, 83, 85, 86, 87syl22anc 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S ) )
89 simprlr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  S
)
90 txopn 20629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  v  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) )
9182, 83, 85, 89, 90syl22anc 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) )
9239ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
9319ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  U. R
)
94 simprr1 1057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  u )
9593, 94jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  e.  U. R  /\  ( 2nd `  x
)  e.  u ) )
96 elxp6 6830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  <->  ( x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >.  /\  (
( 1st `  x
)  e.  U. R  /\  ( 2nd `  x
)  e.  u ) ) )
9792, 95, 96sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( U. R  X.  u
) )
9849ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
9922ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  U. R
)
100 simprr2 1058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  v )
10199, 100jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  e.  U. R  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v ) )
102 elxp6 6830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  v )  <->  ( y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  /\  (
( 1st `  y
)  e.  U. R  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v ) ) )
10398, 101, 102sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( U. R  X.  v
) )
104 simprr3 1059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
105104xpeq2d 4861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  ( u  i^i  v
) )  =  ( U. R  X.  (/) ) )
106 xpindi 4971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. R  X.  ( u  i^i  v ) )  =  ( ( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v
) )
107 xp0 5258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. R  X.  (/) )  =  (/)
108105, 106, 1073eqtr3g 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) )
109 eleq2 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( U. R  X.  u
) ) )
110 ineq1 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( ( U. R  X.  u )  i^i  w ) )
111110eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  w )  =  (/) ) )
112109, 1113anbi13d 1343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  /\  y  e.  w  /\  (
( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
113 eleq2 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  ( U. R  X.  v
) ) )
114 ineq2 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) ) )
115114eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( ( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) ) )
116113, 1153anbi23d 1344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  u
)  /\  y  e.  w  /\  ( ( U. R  X.  u )  i^i  w )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  ( U. R  X.  u
)  /\  y  e.  ( U. R  X.  v
)  /\  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) ) ) )
117112, 116rspc2ev 3163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  /\  y  e.  ( U. R  X.  v )  /\  (
( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v
) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
11888, 91, 97, 103, 108, 117syl113anc 1281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
119118expr 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  (
( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
120119rexlimdvva 2888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x )  e.  u  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
12181, 120mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
12275, 121jaodan 795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y )  \/  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
123122ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y
)  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
12416, 123sylbird 239 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
125124ex 436 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) ) )
12611, 125sylbird 239 . . 3  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  U. ( R  tX  S )  /\  y  e.  U. ( R  tX  S ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
127126ralrimivv 2810 . 2  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) A. y  e.  U. ( R  tX  S ) ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
128 eqid 2453 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
129128ishaus 20350 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Haus  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) A. y  e.  U. ( R  tX  S ) ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
1304, 127, 129sylanbrc 671 1  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740    i^i cin 3405   (/)c0 3733   <.cop 3976   U.cuni 4201    X. cxp 4835   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797   Topctop 19929   Hauscha 20336    tX ctx 20587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-topgen 15354  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-haus 20343  df-tx 20589
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