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Theorem txhaus 19911
Description: The topological product of two Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txhaus  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Haus )

Proof of Theorem txhaus
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 19626 . . 3  |-  ( R  e.  Haus  ->  R  e. 
Top )
2 haustop 19626 . . 3  |-  ( S  e.  Haus  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 19833 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
75, 6txuni 19856 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
81, 2, 7syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
98eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  <-> 
x  e.  U. ( R  tX  S ) ) )
108eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
y  e.  ( U. R  X.  U. S )  <-> 
y  e.  U. ( R  tX  S ) ) )
119, 10anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  <->  ( x  e.  U. ( R  tX  S )  /\  y  e.  U. ( R  tX  S ) ) ) )
12 neorian 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y )  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y
) )  <->  -.  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
) ) )
13 xpopth 6823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  -> 
( ( ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  y ) )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  y
) )
1514necon3bbid 2714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( -.  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
) )  <->  x  =/=  y ) )
1612, 15syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y
)  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y ) )  <-> 
x  =/=  y ) )
17 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  R  e.  Haus )
18 xp1st 6814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 1st `  x
)  e.  U. R
)
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  U. R
)
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  x
)  e.  U. R
)
21 xp1st 6814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 1st `  y
)  e.  U. R
)
2221ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  U. R
)
2322adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  y
)  e.  U. R
)
24 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )
255hausnei 19623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  (
( 1st `  x
)  e.  U. R  /\  ( 1st `  y
)  e.  U. R  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
2617, 20, 23, 24, 25syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  R  e.  Top )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
292ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
30 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  R
)
316topopn 19210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  U. S  e.  S
)
33 txopn 19866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( u  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
u  X.  U. S
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3428, 29, 30, 32, 33syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
35 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  R
)
36 txopn 19866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( v  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
v  X.  U. S
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3728, 29, 35, 32, 36syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( v  X. 
U. S )  e.  ( R  tX  S
) )
38 1st2nd2 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x )
>. )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
41 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  u )
42 xp2nd 6815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4541, 44jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  e.  u  /\  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
) )
46 elxp6 6816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  <->  ( x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >.  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  x )  e.  U. S ) ) )
4740, 45, 46sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( u  X.  U. S
) )
48 1st2nd2 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
4948ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
51 simprr2 1045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  v )
52 xp2nd 6815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5352ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5551, 54jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  e.  v  /\  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
) )
56 elxp6 6816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( v  X. 
U. S )  <->  ( y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  /\  (
( 1st `  y
)  e.  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  U. S ) ) )
5750, 55, 56sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( v  X.  U. S
) )
58 simprr3 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
5958xpeq1d 5022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( u  i^i  v )  X. 
U. S )  =  ( (/)  X.  U. S
) )
60 xpindir 5137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  v )  X.  U. S )  =  ( ( u  X.  U. S )  i^i  ( v  X. 
U. S ) )
61 0xp 5080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  X. 
U. S )  =  (/)
6259, 60, 613eqtr3g 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( u  X.  U. S )  i^i  ( v  X. 
U. S ) )  =  (/) )
63 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( u  X.  U. S
) ) )
64 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( ( u  X.  U. S )  i^i  w ) )
6564eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( (
u  X.  U. S
)  i^i  w )  =  (/) ) )
6663, 653anbi13d 1301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  w  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
67 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  ( v  X. 
U. S ) ) )
68 ineq2 3694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  ( ( u  X.  U. S
)  i^i  ( v  X.  U. S ) ) )
6968eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( ( u  X.  U. S )  i^i  w )  =  (/) 
<->  ( ( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) )
7067, 693anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  w  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  ( v  X.  U. S )  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) ) )
7166, 70rspc2ev 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( v  X. 
U. S )  e.  ( R  tX  S
)  /\  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  ( v  X.  U. S )  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
7234, 37, 47, 57, 62, 71syl113anc 1240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
7372expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( u  e.  R  /\  v  e.  R
) )  ->  (
( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
7473rexlimdvva 2962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x )  e.  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
7526, 74mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
76 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  S  e.  Haus )
7743adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
7853adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
79 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )
806hausnei 19623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Haus  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  y
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) ) )  ->  E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
8176, 77, 78, 79, 80syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
8227ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
832ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
845topopn 19210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  U. R  e.  R
)
86 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  S
)
87 txopn 19866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S ) )
8882, 83, 85, 86, 87syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S ) )
89 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  S
)
90 txopn 19866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  v  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) )
9182, 83, 85, 89, 90syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) )
9239ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
9319ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  U. R
)
94 simprr1 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  u )
9593, 94jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  e.  U. R  /\  ( 2nd `  x
)  e.  u ) )
96 elxp6 6816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  <->  ( x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >.  /\  (
( 1st `  x
)  e.  U. R  /\  ( 2nd `  x
)  e.  u ) ) )
9792, 95, 96sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( U. R  X.  u
) )
9849ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
9922ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  U. R
)
100 simprr2 1045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  v )
10199, 100jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  e.  U. R  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v ) )
102 elxp6 6816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  v )  <->  ( y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  /\  (
( 1st `  y
)  e.  U. R  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v ) ) )
10398, 101, 102sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( U. R  X.  v
) )
104 simprr3 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
105104xpeq2d 5023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  ( u  i^i  v
) )  =  ( U. R  X.  (/) ) )
106 xpindi 5136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. R  X.  ( u  i^i  v ) )  =  ( ( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v
) )
107 xp0 5425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. R  X.  (/) )  =  (/)
108105, 106, 1073eqtr3g 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) )
109 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( U. R  X.  u
) ) )
110 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( ( U. R  X.  u )  i^i  w ) )
111110eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  w )  =  (/) ) )
112109, 1113anbi13d 1301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  /\  y  e.  w  /\  (
( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
113 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  ( U. R  X.  v
) ) )
114 ineq2 3694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) ) )
115114eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( ( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) ) )
116113, 1153anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  u
)  /\  y  e.  w  /\  ( ( U. R  X.  u )  i^i  w )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  ( U. R  X.  u
)  /\  y  e.  ( U. R  X.  v
)  /\  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) ) ) )
117112, 116rspc2ev 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  /\  y  e.  ( U. R  X.  v )  /\  (
( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v
) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
11888, 91, 97, 103, 108, 117syl113anc 1240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
119118expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  (
( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
120119rexlimdvva 2962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x )  e.  u  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
12181, 120mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
12275, 121jaodan 783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y )  \/  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
123122ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y
)  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
12416, 123sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
125124ex 434 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) ) )
12611, 125sylbird 235 . . 3  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  U. ( R  tX  S )  /\  y  e.  U. ( R  tX  S ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
127126ralrimivv 2884 . 2  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) A. y  e.  U. ( R  tX  S ) ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
128 eqid 2467 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
129128ishaus 19617 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Haus  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) A. y  e.  U. ( R  tX  S ) ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
1304, 127, 129sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475   (/)c0 3785   <.cop 4033   U.cuni 4245    X. cxp 4997   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   Topctop 19189   Hauscha 19603    tX ctx 19824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-haus 19610  df-tx 19826
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