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Theorem txhaus 19200
Description: The topological product of two Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txhaus  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Haus )

Proof of Theorem txhaus
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 18915 . . 3  |-  ( R  e.  Haus  ->  R  e. 
Top )
2 haustop 18915 . . 3  |-  ( S  e.  Haus  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 19122 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
75, 6txuni 19145 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
81, 2, 7syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
98eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  <-> 
x  e.  U. ( R  tX  S ) ) )
108eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
y  e.  ( U. R  X.  U. S )  <-> 
y  e.  U. ( R  tX  S ) ) )
119, 10anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  <->  ( x  e.  U. ( R  tX  S )  /\  y  e.  U. ( R  tX  S ) ) ) )
12 neorian 2694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y )  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y
) )  <->  -.  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
) ) )
13 xpopth 6610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  -> 
( ( ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  y ) )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =  ( 1st `  y
)  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  y
) )
1514necon3bbid 2637 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( -.  (
( 1st `  x
)  =  ( 1st `  y )  /\  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  y
) )  <->  x  =/=  y ) )
1612, 15syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y
)  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y ) )  <-> 
x  =/=  y ) )
17 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  R  e.  Haus )
18 xp1st 6601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 1st `  x
)  e.  U. R
)
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  U. R
)
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  x
)  e.  U. R
)
21 xp1st 6601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 1st `  y
)  e.  U. R
)
2221ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  U. R
)
2322adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  y
)  e.  U. R
)
24 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )
255hausnei 18912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  (
( 1st `  x
)  e.  U. R  /\  ( 1st `  y
)  e.  U. R  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
2617, 20, 23, 24, 25syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  R  e.  Top )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
292ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
30 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  R
)
316topopn 18499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  U. S  e.  S
)
33 txopn 19155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( u  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
u  X.  U. S
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3428, 29, 30, 32, 33syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
35 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  R
)
36 txopn 19155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( v  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
v  X.  U. S
)  e.  ( R 
tX  S ) )
3728, 29, 35, 32, 36syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( v  X. 
U. S )  e.  ( R  tX  S
) )
38 1st2nd2 6608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x )
>. )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
41 simprr1 1036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  u )
42 xp2nd 6602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
4541, 44jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  e.  u  /\  ( 2nd `  x
)  e.  U. S
) )
46 elxp6 6603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  <->  ( x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >.  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  x )  e.  U. S ) ) )
4740, 45, 46sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( u  X.  U. S
) )
48 1st2nd2 6608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
4948ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
51 simprr2 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  v )
52 xp2nd 6602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5352ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
5551, 54jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  e.  v  /\  ( 2nd `  y
)  e.  U. S
) )
56 elxp6 6603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( v  X. 
U. S )  <->  ( y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  /\  (
( 1st `  y
)  e.  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  U. S ) ) )
5750, 55, 56sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( v  X.  U. S
) )
58 simprr3 1038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
5958xpeq1d 4858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( u  i^i  v )  X. 
U. S )  =  ( (/)  X.  U. S
) )
60 xpindir 4969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  v )  X.  U. S )  =  ( ( u  X.  U. S )  i^i  ( v  X. 
U. S ) )
61 0xp 4912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  X. 
U. S )  =  (/)
6259, 60, 613eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( u  X.  U. S )  i^i  ( v  X. 
U. S ) )  =  (/) )
63 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( u  X.  U. S
) ) )
64 ineq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( ( u  X.  U. S )  i^i  w ) )
6564eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( (
u  X.  U. S
)  i^i  w )  =  (/) ) )
6663, 653anbi13d 1291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( u  X.  U. S )  ->  (
( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  w  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
67 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  ( v  X. 
U. S ) ) )
68 ineq2 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  ( ( u  X.  U. S
)  i^i  ( v  X.  U. S ) ) )
6968eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( ( u  X.  U. S )  i^i  w )  =  (/) 
<->  ( ( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) )
7067, 693anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( v  X. 
U. S )  -> 
( ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  w  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  ( v  X.  U. S )  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) ) )
7166, 70rspc2ev 3076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( v  X. 
U. S )  e.  ( R  tX  S
)  /\  ( x  e.  ( u  X.  U. S )  /\  y  e.  ( v  X.  U. S )  /\  (
( u  X.  U. S )  i^i  (
v  X.  U. S
) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
7234, 37, 47, 57, 62, 71syl113anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  R )  /\  (
( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
7372expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  /\  ( u  e.  R  /\  v  e.  R
) )  ->  (
( ( 1st `  x
)  e.  u  /\  ( 1st `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
7473rexlimdvva 2843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  -> 
( E. u  e.  R  E. v  e.  R  ( ( 1st `  x )  e.  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
7526, 74mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 1st `  x
)  =/=  ( 1st `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
76 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  S  e.  Haus )
7743adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  x
)  e.  U. S
)
7853adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  U. S
)
79 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )
806hausnei 18912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Haus  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  y
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) ) )  ->  E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
8176, 77, 78, 79, 80syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
8227ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
832ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
845topopn 18499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  U. R  e.  R
)
86 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  S
)
87 txopn 19155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S ) )
8882, 83, 85, 86, 87syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S ) )
89 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  S
)
90 txopn 19155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  v  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) )
9182, 83, 85, 89, 90syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S ) )
9239ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >. )
9319ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  x
)  e.  U. R
)
94 simprr1 1036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  u )
9593, 94jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  e.  U. R  /\  ( 2nd `  x
)  e.  u ) )
96 elxp6 6603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  <->  ( x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >.  /\  (
( 1st `  x
)  e.  U. R  /\  ( 2nd `  x
)  e.  u ) ) )
9792, 95, 96sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( U. R  X.  u
) )
9849ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
9922ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  U. R
)
100 simprr2 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  v )
10199, 100jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  e.  U. R  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v ) )
102 elxp6 6603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U. R  X.  v )  <->  ( y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  /\  (
( 1st `  y
)  e.  U. R  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v ) ) )
10398, 101, 102sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( U. R  X.  v
) )
104 simprr3 1038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
105104xpeq2d 4859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( U. R  X.  ( u  i^i  v
) )  =  ( U. R  X.  (/) ) )
106 xpindi 4968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. R  X.  ( u  i^i  v ) )  =  ( ( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v
) )
107 xp0 5251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. R  X.  (/) )  =  (/)
108105, 106, 1073eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) )
109 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( U. R  X.  u
) ) )
110 ineq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( ( U. R  X.  u )  i^i  w ) )
111110eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  w )  =  (/) ) )
112109, 1113anbi13d 1291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( U. R  X.  u )  ->  (
( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  /\  y  e.  w  /\  (
( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
113 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  ( U. R  X.  v
) ) )
114 ineq2 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) ) )
115114eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( ( U. R  X.  u )  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) ) )
116113, 1153anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( U. R  X.  v )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  u
)  /\  y  e.  w  /\  ( ( U. R  X.  u )  i^i  w )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  ( U. R  X.  u
)  /\  y  e.  ( U. R  X.  v
)  /\  ( ( U. R  X.  u
)  i^i  ( U. R  X.  v ) )  =  (/) ) ) )
117112, 116rspc2ev 3076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U. R  X.  u )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( U. R  X.  v )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  u )  /\  y  e.  ( U. R  X.  v )  /\  (
( U. R  X.  u )  i^i  ( U. R  X.  v
) )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
11888, 91, 97, 103, 108, 117syl113anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  /\  (
( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
119118expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e. 
Haus )  /\  (
x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S
) )  ->  (
( ( 2nd `  x
)  e.  u  /\  ( 2nd `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
120119rexlimdvva 2843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  -> 
( E. u  e.  S  E. v  e.  S  ( ( 2nd `  x )  e.  u  /\  ( 2nd `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
12181, 120mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
12275, 121jaodan 783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  /\  ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y )  \/  ( 2nd `  x
)  =/=  ( 2nd `  y ) ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
123122ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  x )  =/=  ( 1st `  y
)  \/  ( 2nd `  x )  =/=  ( 2nd `  y ) )  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
12416, 123sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  /\  ( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
125124ex 434 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  ( U. R  X.  U. S )  /\  y  e.  ( U. R  X.  U. S ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S ) E. w  e.  ( R  tX  S ) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) ) )
12611, 125sylbird 235 . . 3  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  (
( x  e.  U. ( R  tX  S )  /\  y  e.  U. ( R  tX  S ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
127126ralrimivv 2802 . 2  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) A. y  e.  U. ( R  tX  S ) ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
128 eqid 2438 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
129128ishaus 18906 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Haus  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) A. y  e.  U. ( R  tX  S ) ( x  =/=  y  ->  E. z  e.  ( R  tX  S
) E. w  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
1304, 127, 129sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Haus  /\  S  e.  Haus )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    i^i cin 3322   (/)c0 3632   <.cop 3878   U.cuni 4086    X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571   Topctop 18478   Hauscha 18892    tX ctx 19113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-topgen 14374  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-haus 18899  df-tx 19115
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