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Theorem txflf 17991
Description: Two sequences converge in a filter iff the sequence of their ordered pairs converges. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txflf.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txflf.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txflf.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  Z ) )
txflf.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
txflf.g  |-  ( ph  ->  G : Z --> Y )
txflf.h  |-  H  =  ( n  e.  Z  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)
Assertion
Ref Expression
txflf  |-  ( ph  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( ( ( J  tX  K ) 
fLimf  L ) `  H
)  <->  ( R  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  S  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 G ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, n    n, F    n, G    n, Z    n, X    n, Y
Allowed substitution hints:    R( n)    S( n)    H( n)    J( n)    K( n)    L( n)

Proof of Theorem txflf
Dummy variables  u  h  v  z  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
2 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
_V
31, 2xpex 4949 . . . . . . 7  |-  ( u  X.  v )  e. 
_V
43rgen2w 2734 . . . . . 6  |-  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( u  X.  v )  e.  _V
5 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )  =  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )
6 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  X.  v )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  z  <->  <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
7 sseq2 3330 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( u  X.  v )  ->  (
( H " h
)  C_  z  <->  ( H " h )  C_  (
u  X.  v ) ) )
87rexbidv 2687 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( u  X.  v )  ->  ( E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  z  <->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  (
u  X.  v ) ) )
96, 8imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( u  X.  v )  ->  (
( <. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  z
)  <->  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) ) ) )
105, 9ralrnmpt2 6143 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  (
u  X.  v )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v
) ) ( <. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  z
)  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  (
u  X.  v ) ) ) )
114, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ( <. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  z
)  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  (
u  X.  v ) ) )
12 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( R  e.  u  /\  S  e.  v ) )
13 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  u  /\  S  e.  v )  <->  ( S  e.  v  /\  R  e.  u )
)
1412, 13bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( S  e.  v  /\  R  e.  u ) )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  <->  ( S  e.  v  /\  R  e.  u ) ) )
16 r19.40 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v )  ->  ( E. h  e.  L  A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  E. h  e.  L  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) )
17 raleq 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  f  ->  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  <->  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u
) )
1817cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. h  e.  L  A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  <->  E. f  e.  L  A. n  e.  f 
( F `  n
)  e.  u )
19 raleq 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  g  ->  ( A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v  <->  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) )
2019cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. h  e.  L  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v  <->  E. g  e.  L  A. n  e.  g 
( G `  n
)  e.  v )
2118, 20anbi12i 679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. h  e.  L  A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  E. h  e.  L  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v )  <->  ( E. f  e.  L  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  /\  E. g  e.  L  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) )
2216, 21sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v )  ->  ( E. f  e.  L  A. n  e.  f 
( F `  n
)  e.  u  /\  E. g  e.  L  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) )
23 reeanv 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. f  e.  L  E. g  e.  L  ( A. n  e.  f 
( F `  n
)  e.  u  /\  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v )  <->  ( E. f  e.  L  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  /\  E. g  e.  L  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) )
24 txflf.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  Z ) )
25 filin 17839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Z )  /\  f  e.  L  /\  g  e.  L )  ->  (
f  i^i  g )  e.  L )
26253expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Z )  /\  (
f  e.  L  /\  g  e.  L )
)  ->  ( f  i^i  g )  e.  L
)
2724, 26sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  L  /\  g  e.  L ) )  -> 
( f  i^i  g
)  e.  L )
28 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  i^i  g )  C_  f
29 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  i^i  g ) 
C_  f  ->  ( A. n  e.  f 
( F `  n
)  e.  u  ->  A. n  e.  (
f  i^i  g )
( F `  n
)  e.  u ) )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  ->  A. n  e.  ( f  i^i  g
) ( F `  n )  e.  u
)
31 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  i^i  g )  C_  g
32 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  i^i  g ) 
C_  g  ->  ( A. n  e.  g 
( G `  n
)  e.  v  ->  A. n  e.  (
f  i^i  g )
( G `  n
)  e.  v ) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v  ->  A. n  e.  ( f  i^i  g
) ( G `  n )  e.  v )
3430, 33anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. n  e.  f  ( F `  n
)  e.  u  /\  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v )  -> 
( A. n  e.  ( f  i^i  g
) ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  ( f  i^i  g ) ( G `  n
)  e.  v ) )
35 raleq 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  ( f  i^i  g )  ->  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  <->  A. n  e.  ( f  i^i  g
) ( F `  n )  e.  u
) )
36 raleq 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  ( f  i^i  g )  ->  ( A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v  <->  A. n  e.  ( f  i^i  g
) ( G `  n )  e.  v ) )
3735, 36anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( f  i^i  g )  ->  (
( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v )  <->  ( A. n  e.  ( f  i^i  g ) ( F `
 n )  e.  u  /\  A. n  e.  ( f  i^i  g
) ( G `  n )  e.  v ) ) )
3837rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f  i^i  g
)  e.  L  /\  ( A. n  e.  ( f  i^i  g ) ( F `  n
)  e.  u  /\  A. n  e.  ( f  i^i  g ) ( G `  n )  e.  v ) )  ->  E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) )
3927, 34, 38syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  L  /\  g  e.  L )
)  /\  ( A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) )  ->  E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) )
4039ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  L  /\  g  e.  L ) )  -> 
( ( A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  g  ( G `  n
)  e.  v )  ->  E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) ) )
4140rexlimdvva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  L  E. g  e.  L  ( A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  g  ( G `  n
)  e.  v )  ->  E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) ) )
4223, 41syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( E. f  e.  L  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  /\  E. g  e.  L  A. n  e.  g 
( G `  n
)  e.  v )  ->  E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) ) )
4322, 42impbid2 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v )  <->  ( E. f  e.  L  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  /\  E. g  e.  L  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) ) )
44 df-ima 4850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( H
" h )  =  ran  ( H  |`  h )
45 filelss 17837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Z )  /\  h  e.  L )  ->  h  C_  Z )
4624, 45sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  h  e.  L )  ->  h  C_  Z )
47 txflf.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  H  =  ( n  e.  Z  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)
4847reseq1i 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( H  |`  h )  =  ( ( n  e.  Z  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)  |`  h )
49 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h 
C_  Z  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)  |`  h )  =  ( n  e.  h  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
) )
5048, 49syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h 
C_  Z  ->  ( H  |`  h )  =  ( n  e.  h  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
) )
5146, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  h  e.  L )  ->  ( H  |`  h )  =  ( n  e.  h  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
) )
5251rneqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  h  e.  L )  ->  ran  ( H  |`  h )  =  ran  ( n  e.  h  |->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >. )
)
5344, 52syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  h  e.  L )  ->  ( H " h )  =  ran  ( n  e.  h  |->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n )
>. ) )
5453sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  h  e.  L )  ->  (
( H " h
)  C_  ( u  X.  v )  <->  ran  ( n  e.  h  |->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >. )  C_  ( u  X.  v
) ) )
55 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( ( F `
 n )  e.  u  /\  ( G `
 n )  e.  v ) )
5655ralbii 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  h  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  e.  ( u  X.  v )  <->  A. n  e.  h  ( ( F `  n )  e.  u  /\  ( G `  n
)  e.  v ) )
57 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  h  |->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >. )  =  ( n  e.  h  |->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n )
>. )
5857fmpt 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. n  e.  h  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  e.  ( u  X.  v )  <-> 
( n  e.  h  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
) : h --> ( u  X.  v ) )
59 opex 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  e.  _V
6059, 57fnmpti 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  h  |->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >. )  Fn  h
61 df-f 5417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  h  |->  <.
( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
) : h --> ( u  X.  v )  <->  ( (
n  e.  h  |->  <.
( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)  Fn  h  /\  ran  ( n  e.  h  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)  C_  ( u  X.  v ) ) )
6260, 61mpbiran 885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  h  |->  <.
( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
) : h --> ( u  X.  v )  <->  ran  ( n  e.  h  |->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >. )  C_  ( u  X.  v
) )
6358, 62bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  h  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  e.  ( u  X.  v )  <->  ran  ( n  e.  h  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)  C_  ( u  X.  v ) )
64 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  h  (
( F `  n
)  e.  u  /\  ( G `  n )  e.  v )  <->  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) )
6556, 63, 643bitr3i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( n  e.  h  |-> 
<. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.
)  C_  ( u  X.  v )  <->  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) )
6654, 65syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  h  e.  L )  ->  (
( H " h
)  C_  ( u  X.  v )  <->  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) ) )
6766rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E. h  e.  L  ( H "
h )  C_  (
u  X.  v )  <->  E. h  e.  L  ( A. n  e.  h  ( F `  n )  e.  u  /\  A. n  e.  h  ( G `  n )  e.  v ) ) )
68 txflf.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  L )  ->  F : Z --> X )
70 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : Z --> X  ->  Fun  F )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  L )  ->  Fun  F )
72 filelss 17837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Z )  /\  f  e.  L )  ->  f  C_  Z )
7324, 72sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  L )  ->  f  C_  Z )
74 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
7569, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  L )  ->  dom  F  =  Z )
7673, 75sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  L )  ->  f  C_ 
dom  F )
77 funimass4 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  f  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
f )  C_  u  <->  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u ) )
7871, 76, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  L )  ->  (
( F " f
)  C_  u  <->  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u
) )
7978rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  L  ( F "
f )  C_  u  <->  E. f  e.  L  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u ) )
80 txflf.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G : Z --> Y )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  g  e.  L )  ->  G : Z --> Y )
82 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G : Z --> Y  ->  Fun  G )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  g  e.  L )  ->  Fun  G )
84 filelss 17837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Z )  /\  g  e.  L )  ->  g  C_  Z )
8524, 84sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  g  e.  L )  ->  g  C_  Z )
86 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : Z --> Y  ->  dom  G  =  Z )
8781, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  g  e.  L )  ->  dom  G  =  Z )
8885, 87sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  g  e.  L )  ->  g  C_ 
dom  G )
89 funimass4 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  G  /\  g  C_ 
dom  G )  -> 
( ( G "
g )  C_  v  <->  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) )
9083, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  g  e.  L )  ->  (
( G " g
)  C_  v  <->  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) )
9190rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  L  ( G "
g )  C_  v  <->  E. g  e.  L  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) )
9279, 91anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v )  <->  ( E. f  e.  L  A. n  e.  f  ( F `  n )  e.  u  /\  E. g  e.  L  A. n  e.  g  ( G `  n )  e.  v ) ) )
9343, 67, 923bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E. h  e.  L  ( H "
h )  C_  (
u  X.  v )  <-> 
( E. f  e.  L  ( F "
f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
9415, 93imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  ( ( S  e.  v  /\  R  e.  u )  ->  ( E. f  e.  L  ( F "
f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) ) )
95 impexp 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  v  /\  R  e.  u
)  ->  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G "
g )  C_  v
) )  <->  ( S  e.  v  ->  ( R  e.  u  ->  ( E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v ) ) ) )
9694, 95syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  ( S  e.  v  ->  ( R  e.  u  ->  ( E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v ) ) ) ) )
9796ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  ( R  e.  u  ->  ( E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v ) ) ) ) )
98 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  v  ->  ( S  e.  x  <->  S  e.  v ) )
9998ralrab 3056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( R  e.  u  ->  ( E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v ) )  <->  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  ( R  e.  u  ->  ( E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v ) ) ) )
100 r19.21v 2753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( R  e.  u  ->  ( E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v ) )  <->  ( R  e.  u  ->  A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
10199, 100bitr3i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  ( R  e.  u  -> 
( E. f  e.  L  ( F "
f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )  <->  ( R  e.  u  ->  A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
10297, 101syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  ( R  e.  u  ->  A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) ) )
103102ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) ) )
104 eleq2 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  ( R  e.  x  <->  R  e.  u ) )
105104ralrab 3056 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v )  <->  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
106103, 105syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } A. v  e.  {
x  e.  K  |  S  e.  x } 
( E. f  e.  L  ( F "
f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
107106adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } A. v  e.  {
x  e.  K  |  S  e.  x } 
( E. f  e.  L  ( F "
f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
108 txflf.j . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
109 toponmax 16948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
111 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( R  e.  x  <->  R  e.  X ) )
112111rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  R  e.  X )  ->  E. x  e.  J  R  e.  x )
113 rabn0 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  J  |  R  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  J  R  e.  x )
114112, 113sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  J  /\  R  e.  X )  ->  { x  e.  J  |  R  e.  x }  =/=  (/) )
115110, 114sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  X )  ->  { x  e.  J  |  R  e.  x }  =/=  (/) )
116 txflf.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
117 toponmax 16948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
119 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  ( S  e.  x  <->  S  e.  Y ) )
120119rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  K  /\  S  e.  Y )  ->  E. x  e.  K  S  e.  x )
121 rabn0 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  K  |  S  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  K  S  e.  x )
122120, 121sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  K  /\  S  e.  Y )  ->  { x  e.  K  |  S  e.  x }  =/=  (/) )
123118, 122sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Y )  ->  { x  e.  K  |  S  e.  x }  =/=  (/) )
124115, 123anim12dan 811 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( { x  e.  J  |  R  e.  x }  =/=  (/)  /\  {
x  e.  K  |  S  e.  x }  =/=  (/) ) )
125 r19.28zv 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  K  |  S  e.  x }  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v )  <->  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  A. v  e. 
{ x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
126125ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  K  |  S  e.  x }  =/=  (/)  ->  ( A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v )  <->  A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  A. v  e.  {
x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
127 r19.27zv 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  J  |  R  e.  x }  =/=  (/)  ->  ( A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x }  ( E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
)  <->  ( A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
) ) )
128126, 127sylan9bbr 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  J  |  R  e.  x }  =/=  (/)  /\  { x  e.  K  |  S  e.  x }  =/=  (/) )  -> 
( A. u  e. 
{ x  e.  J  |  R  e.  x } A. v  e.  {
x  e.  K  |  S  e.  x } 
( E. f  e.  L  ( F "
f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v )  <->  ( A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  A. v  e.  {
x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
129124, 128syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. u  e. 
{ x  e.  J  |  R  e.  x } A. v  e.  {
x  e.  K  |  S  e.  x } 
( E. f  e.  L  ( F "
f )  C_  u  /\  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v )  <->  ( A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  A. v  e.  {
x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
130107, 129bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  ( A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  /\  A. v  e.  {
x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) )
131104ralrab 3056 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  { x  e.  J  |  R  e.  x } E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u  <->  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u ) )
13298ralrab 3056 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v  <->  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) )
133131, 132anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  {
x  e.  J  |  R  e.  x } E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u  /\  A. v  e.  { x  e.  K  |  S  e.  x } E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
)  <->  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u
)  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
) ) )
134130, 133syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. u  e.  J  A. v  e.  K  ( <. R ,  S >.  e.  ( u  X.  v )  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  ( u  X.  v ) )  <->  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u )  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) ) )
13511, 134syl5bb 249 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) (
<. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  z
)  <->  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u
)  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
) ) ) )
136135pm5.32da 623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  A. z  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ( <. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  z
) )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u
)  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
) ) ) ) )
137 opelxp 4867 . . . 4  |-  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( R  e.  X  /\  S  e.  Y ) )
138137anbi1i 677 . . 3  |-  ( (
<. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y
)  /\  A. z  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) (
<. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  z
) )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  A. z  e.  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v
) ) ( <. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  z
) ) )
139 an4 798 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f ) 
C_  u ) )  /\  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
) ) )  <->  ( ( R  e.  X  /\  S  e.  Y )  /\  ( A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u
)  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
) ) ) )
140136, 138, 1393bitr4g 280 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  A. z  e.  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ( <. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  z ) )  <-> 
( ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u
) )  /\  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) ) ) )
141 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) )
142141txval 17549 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
143108, 116, 142syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
144143oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  K )  fLimf  L )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) 
fLimf  L ) )
145144fveq1d 5689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
tX  K )  fLimf  L ) `  H )  =  ( ( (
topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) )  fLimf  L ) `  H ) )
146145eleq2d 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( ( ( J  tX  K ) 
fLimf  L ) `  H
)  <->  <. R ,  S >.  e.  ( ( (
topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) )  fLimf  L ) `  H ) ) )
147 txtopon 17576 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
148108, 116, 147syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
149143, 148eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
15068ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  X )
15180ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  Y )
152 opelxpi 4869 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  X  /\  ( G `  n )  e.  Y )  ->  <. ( F `  n
) ,  ( G `
 n ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
153150, 151, 152syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  <. ( F `  n ) ,  ( G `  n ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
154153, 47fmptd 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : Z --> ( X  X.  Y ) )
155 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v
) ) )
156155flftg 17981 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  ( Fil `  Z
)  /\  H : Z
--> ( X  X.  Y
) )  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ) 
fLimf  L ) `  H
)  <->  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  A. z  e.  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ( <. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  z ) ) ) )
157149, 24, 154, 156syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( ( (
topGen `  ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) )  fLimf  L ) `  H )  <->  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  A. z  e. 
ran  ( u  e.  J ,  v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) (
<. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h )  C_  z
) ) ) )
158146, 157bitrd 245 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( ( ( J  tX  K ) 
fLimf  L ) `  H
)  <->  ( <. R ,  S >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  A. z  e.  ran  (
u  e.  J , 
v  e.  K  |->  ( u  X.  v ) ) ( <. R ,  S >.  e.  z  ->  E. h  e.  L  ( H " h ) 
C_  z ) ) ) )
159 isflf 17978 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Z
)  /\  F : Z
--> X )  ->  ( R  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u
) ) ) )
160108, 24, 68, 159syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( ( J  fLimf  L ) `
 F )  <->  ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u
) ) ) )
161 isflf 17978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  Z
)  /\  G : Z
--> Y )  ->  ( S  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  G )  <->  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
) ) ) )
162116, 24, 80, 161syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 G )  <->  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g )  C_  v
) ) ) )
163160, 162anbi12d 692 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  S  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 G ) )  <-> 
( ( R  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( R  e.  u  ->  E. f  e.  L  ( F " f )  C_  u
) )  /\  ( S  e.  Y  /\  A. v  e.  K  ( S  e.  v  ->  E. g  e.  L  ( G " g ) 
C_  v ) ) ) ) )
164140, 158, 1633bitr4d 277 1  |-  ( ph  ->  ( <. R ,  S >.  e.  ( ( ( J  tX  K ) 
fLimf  L ) `  H
)  <->  ( R  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  S  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   <.cop 3777    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   topGenctg 13620  TopOnctopon 16914    tX ctx 17545   Filcfil 17830    fLimf cflf 17920
This theorem is referenced by:  flfcnp2  17992
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-topgen 13622  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-ntr 17039  df-nei 17117  df-tx 17547  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925
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