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Theorem txflf 21021
Description: Two sequences converge in a filter iff the sequence of their ordered pairs converges. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txflf.j |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txflf.k |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txflf.l |- ( ph -> L e. ( Fil ` Z ) )
txflf.f |- ( ph -> F : Z --> X )
txflf.g |- ( ph -> G : Z --> Y )
txflf.h |- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )
Assertion
Ref Expression
txflf |- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) <-> ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) /\ S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) ) ) )
Distinct variable groups:   ph, n   n, F   n, G   n, Z   n, X   n, Y
Allowed substitution hints:   R( n)   S( n)   H( n)   J( n)   K( n)   L( n)
Proof of Theorem txflf
Dummy variables u h v z f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3048 . . . . . . . 8 |- u e. _V
2 vex 3048 . . . . . . . 8 |- v e. _V
31, 2xpex 6595 . . . . . . 7 |- ( u X. v ) e. _V
43rgen2w 2750 . . . . . 6 |- A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V
5 eqid 2451 . . . . . . 7 |- ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) )
6 eleq2 2518 . . . . . . . 8 |- ( z = ( u X. v ) -> ( <. R , S >. e. z <-> <. R , S >. e. ( u X. v ) ) )
7 sseq2 3454 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( u X. v ) -> ( ( H " h ) C_ z <-> ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) )
87rexbidv 2901 . . . . . . . 8 |- ( z = ( u X. v ) -> ( E. h e. L ( H " h ) C_ z <-> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) )
96, 8imbi12d 322 . . . . . . 7 |- ( z = ( u X. v ) -> ( ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) <-> ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) ) )
105, 9ralrnmpt2 6411 . . . . . 6 |- ( A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V -> ( A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) <-> A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) ) )
114, 10ax-mp 5 . . . . 5 |- ( A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) <-> A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) )
12 opelxp 4864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( R e. u /\ S e. v ) )
13 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. u /\ S e. v ) <-> ( S e. v /\ R e. u ) )
1412, 13bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( S e. v /\ R e. u ) )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( S e. v /\ R e. u ) ) )
16 r19.40 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) -> ( E. h e. L A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ E. h e. L A. n e. h ( G ` n ) e. v ) )
17 raleq 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = f -> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u <-> A. n e. f ( F ` n ) e. u ) )
1817cbvrexv 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. h e. L A. n e. h ( F ` n ) e. u <-> E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u )
19 raleq 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = g -> ( A. n e. h ( G ` n ) e. v <-> A. n e. g ( G ` n ) e. v ) )
2019cbvrexv 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. h e. L A. n e. h ( G ` n ) e. v <-> E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v )
2118, 20anbi12i 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E. h e. L A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ E. h e. L A. n e. h ( G ` n ) e. v ) <-> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) )
2216, 21sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) -> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) )
23 reeanv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. f e. L E. g e. L ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) <-> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) )
24 txflf.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> L e. ( Fil ` Z ) )
25 filin 20869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ f e. L /\ g e. L ) -> ( f i^i g ) e. L )
26253expb 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ ( f e. L /\ g e. L ) ) -> ( f i^i g ) e. L )
2724, 26sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( f e. L /\ g e. L ) ) -> ( f i^i g ) e. L )
28 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f i^i g ) C_ f
29 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f i^i g ) C_ f -> ( A. n e. f ( F ` n ) e. u -> A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. n e. f ( F ` n ) e. u -> A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u )
31 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f i^i g ) C_ g
32 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f i^i g ) C_ g -> ( A. n e. g ( G ` n ) e. v -> A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. n e. g ( G ` n ) e. v -> A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v )
3430, 33anim12i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) -> ( A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u /\ A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) )
35 raleq 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = ( f i^i g ) -> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u <-> A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u ) )
36 raleq 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = ( f i^i g ) -> ( A. n e. h ( G ` n ) e. v <-> A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) )
3735, 36anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = ( f i^i g ) -> ( ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) <-> ( A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u /\ A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) ) )
3837rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f i^i g ) e. L /\ ( A. n e. ( f i^i g ) ( F ` n ) e. u /\ A. n e. ( f i^i g ) ( G ` n ) e. v ) ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) )
3927, 34, 38syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( f e. L /\ g e. L ) ) /\ ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) )
4039ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( f e. L /\ g e. L ) ) -> ( ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) )
4140rexlimdvva 2886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E. f e. L E. g e. L ( A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ A. n e. g ( G ` n ) e. v ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) )
4223, 41syl5bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) -> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) )
4322, 42impbid2 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) <-> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) )
44 df-ima 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( H " h ) = ran ( H |` h )
45 filelss 20867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ h e. L ) -> h C_ Z )
4624, 45sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ h e. L ) -> h C_ Z )
47 txflf.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )
4847reseq1i 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( H |` h ) = ( ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) |` h )
49 resmpt 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h C_ Z -> ( ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) |` h ) = ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) )
5048, 49syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h C_ Z -> ( H |` h ) = ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) )
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ h e. L ) -> ( H |` h ) = ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) )
5251rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ h e. L ) -> ran ( H |` h ) = ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) )
5344, 52syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ h e. L ) -> ( H " h ) = ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) )
5453sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ h e. L ) -> ( ( H " h ) C_ ( u X. v ) <-> ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) ) )
55 opelxp 4864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( u X. v ) <-> ( ( F ` n ) e. u /\ ( G ` n ) e. v ) )
5655ralbii 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. n e. h <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( u X. v ) <-> A. n e. h ( ( F ` n ) e. u /\ ( G ` n ) e. v ) )
57 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) = ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )
5857fmpt 6043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. n e. h <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( u X. v ) <-> ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) : h --> ( u X. v ) )
59 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. _V
6059, 57fnmpti 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) Fn h
61 df-f 5586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) : h --> ( u X. v ) <-> ( ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) Fn h /\ ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) ) )
6260, 61mpbiran 929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) : h --> ( u X. v ) <-> ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) )
6358, 62bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. n e. h <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( u X. v ) <-> ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) )
64 r19.26 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. n e. h ( ( F ` n ) e. u /\ ( G ` n ) e. v ) <-> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) )
6556, 63, 643bitr3i 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran ( n e. h |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. ) C_ ( u X. v ) <-> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) )
6654, 65syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ h e. L ) -> ( ( H " h ) C_ ( u X. v ) <-> ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) )
6766rexbidva 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) <-> E. h e. L ( A. n e. h ( F ` n ) e. u /\ A. n e. h ( G ` n ) e. v ) ) )
68 txflf.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> F : Z --> X )
6968adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. L ) -> F : Z --> X )
70 ffun 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : Z --> X -> Fun F )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. L ) -> Fun F )
72 filelss 20867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ f e. L ) -> f C_ Z )
7324, 72sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. L ) -> f C_ Z )
74 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : Z --> X -> dom F = Z )
7569, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. L ) -> dom F = Z )
7673, 75sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. L ) -> f C_ dom F )
77 funimass4 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun F /\ f C_ dom F ) -> ( ( F " f ) C_ u <-> A. n e. f ( F ` n ) e. u ) )
7871, 76, 77syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. L ) -> ( ( F " f ) C_ u <-> A. n e. f ( F ` n ) e. u ) )
7978rexbidva 2898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u <-> E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u ) )
80 txflf.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> G : Z --> Y )
8180adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ g e. L ) -> G : Z --> Y )
82 ffun 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G : Z --> Y -> Fun G )
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ g e. L ) -> Fun G )
84 filelss 20867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. ( Fil ` Z ) /\ g e. L ) -> g C_ Z )
8524, 84sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ g e. L ) -> g C_ Z )
86 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G : Z --> Y -> dom G = Z )
8781, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ g e. L ) -> dom G = Z )
8885, 87sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ g e. L ) -> g C_ dom G )
89 funimass4 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun G /\ g C_ dom G ) -> ( ( G " g ) C_ v <-> A. n e. g ( G ` n ) e. v ) )
9083, 88, 89syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ g e. L ) -> ( ( G " g ) C_ v <-> A. n e. g ( G ` n ) e. v ) )
9190rexbidva 2898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E. g e. L ( G " g ) C_ v <-> E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) )
9279, 91anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( E. f e. L A. n e. f ( F ` n ) e. u /\ E. g e. L A. n e. g ( G ` n ) e. v ) ) )
9343, 67, 923bitr4d 289 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) <-> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
9415, 93imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( ( S e. v /\ R e. u ) -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
95 impexp 448 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. v /\ R e. u ) -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) <-> ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
9694, 95syl6bb 265 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) )
9796ralbidv 2827 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> A. v e. K ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) )
98 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = v -> ( S e. x <-> S e. v ) )
9998ralrab 3200 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. { x e. K | S e. x } ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) <-> A. v e. K ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
100 r19.21v 2793 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. { x e. K | S e. x } ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) <-> ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
10199, 100bitr3i 255 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. K ( S e. v -> ( R e. u -> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) <-> ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
10297, 101syl6bb 265 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
103102ralbidv 2827 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> A. u e. J ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
104 eleq2 2518 . . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( R e. x <-> R e. u ) )
105104ralrab 3200 . . . . . . . . 9 |- ( A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> A. u e. J ( R e. u -> A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
106103, 105syl6bbr 267 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
107106adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
108 txflf.j . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
109 toponmax 19943 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. J )
111 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( R e. x <-> R e. X ) )
112111rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. J /\ R e. X ) -> E. x e. J R e. x )
113 rabn0 3752 . . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. J | R e. x } =/= (/) <-> E. x e. J R e. x )
114112, 113sylibr 216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. J /\ R e. X ) -> { x e. J | R e. x } =/= (/) )
115110, 114sylan 474 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R e. X ) -> { x e. J | R e. x } =/= (/) )
116 txflf.k . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
117 toponmax 19943 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. K )
119 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> ( S e. x <-> S e. Y ) )
120119rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. K /\ S e. Y ) -> E. x e. K S e. x )
121 rabn0 3752 . . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. K | S e. x } =/= (/) <-> E. x e. K S e. x )
122120, 121sylibr 216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. K /\ S e. Y ) -> { x e. K | S e. x } =/= (/) )
123118, 122sylan 474 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S e. Y ) -> { x e. K | S e. x } =/= (/) )
124115, 123anim12dan 848 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( { x e. J | R e. x } =/= (/) /\ { x e. K | S e. x } =/= (/) ) )
125 r19.28zv 3864 . . . . . . . . . 10 |- ( { x e. K | S e. x } =/= (/) -> ( A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
126125ralbidv 2827 . . . . . . . . 9 |- ( { x e. K | S e. x } =/= (/) -> ( A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> A. u e. { x e. J | R e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
127 r19.27zv 3869 . . . . . . . . 9 |- ( { x e. J | R e. x } =/= (/) -> ( A. u e. { x e. J | R e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
128126, 127sylan9bbr 707 . . . . . . . 8 |- ( ( { x e. J | R e. x } =/= (/) /\ { x e. K | S e. x } =/= (/) ) -> ( A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
129124, 128syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. u e. { x e. J | R e. x } A. v e. { x e. K | S e. x } ( E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
130107, 129bitrd 257 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
131104ralrab 3200 . . . . . . 7 |- ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u <-> A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) )
13298ralrab 3200 . . . . . . 7 |- ( A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v <-> A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) )
133131, 132anbi12i 703 . . . . . 6 |- ( ( A. u e. { x e. J | R e. x } E. f e. L ( F " f ) C_ u /\ A. v e. { x e. K | S e. x } E. g e. L ( G " g ) C_ v ) <-> ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) )
134130, 133syl6bb 265 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) -> E. h e. L ( H " h ) C_ ( u X. v ) ) <-> ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
13511, 134syl5bb 261 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) <-> ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
136135pm5.32da 647 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) )
137 opelxp 4864 . . . 4 |- ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) <-> ( R e. X /\ S e. Y ) )
138137anbi1i 701 . . 3 |- ( ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) )
139 an4 833 . . 3 |- ( ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
140136, 138, 1393bitr4g 292 . 2 |- ( ph -> ( ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) <-> ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) )
141 eqid 2451 . . . . . . . 8 |- ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) )
142141txval 20579 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
143108, 116, 142syl2anc 667 . . . . . 6 |- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
144143oveq1d 6305 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( J tX K ) fLimf L ) = ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) )
145144fveq1d 5867 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) = ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ` H ) )
146145eleq2d 2514 . . 3 |- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) <-> <. R , S >. e. ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ` H ) ) )
147 txtopon 20606 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
148108, 116, 147syl2anc 667 . . . . 5 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
149143, 148eqeltrrd 2530 . . . 4 |- ( ph -> ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
15068ffvelrnda 6022 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. X )
15180ffvelrnda 6022 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( G ` n ) e. Y )
152 opelxpi 4866 . . . . . 6 |- ( ( ( F ` n ) e. X /\ ( G ` n ) e. Y ) -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( X X. Y ) )
153150, 151, 152syl2anc 667 . . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( X X. Y ) )
154153, 47fmptd 6046 . . . 4 |- ( ph -> H : Z --> ( X X. Y ) )
155 eqid 2451 . . . . 5 |- ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) )
156155flftg 21011 . . . 4 |- ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. ( Fil ` Z ) /\ H : Z --> ( X X. Y ) ) -> ( <. R , S >. e. ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ` H ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) ) )
157149, 24, 154, 156syl3anc 1268 . . 3 |- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) fLimf L ) ` H ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) ) )
158146, 157bitrd 257 . 2 |- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. z e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. z -> E. h e. L ( H " h ) C_ z ) ) ) )
159 isflf 21008 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Z ) /\ F : Z --> X ) -> ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) ) )
160108, 24, 68, 159syl3anc 1268 . . 3 |- ( ph -> ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) ) )
161 isflf 21008 . . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. ( Fil ` Z ) /\ G : Z --> Y ) -> ( S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) <-> ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
162116, 24, 80, 161syl3anc 1268 . . 3 |- ( ph -> ( S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) <-> ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) )
163160, 162anbi12d 717 . 2 |- ( ph -> ( ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) /\ S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) ) <-> ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. f e. L ( F " f ) C_ u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. g e. L ( G " g ) C_ v ) ) ) ) )
164140, 158, 1633bitr4d 289 1 |- ( ph -> ( <. R , S >. e. ( ( ( J tX K ) fLimf L ) ` H ) <-> ( R e. ( ( J fLimf L ) ` F ) /\ S e. ( ( K fLimf L ) ` G ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   <.cop 3974   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   topGenctg 15336  TopOnctopon 19918   tX ctx 20575   Filcfil 20860   fLimf cflf 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-map 7474  df-topgen 15342  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-ntr 20035  df-nei 20114  df-tx 20577  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955
This theorem is referenced by:  flfcnp2  21022
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