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Theorem txdis1cn 20636
Description: A function is jointly continuous on a discrete left topology iff it is continuous as a function of its right argument, for each fixed left value. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txdis1cn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
txdis1cn.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  Y ) )
txdis1cn.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
txdis1cn.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( X  X.  Y ) )
txdis1cn.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
txdis1cn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ~P X  tX  J
)  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J    x, X, y    x, K, y    ph, x    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    J( y)    V( x, y)

Proof of Theorem txdis1cn
Dummy variables  a 
b  m  n  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txdis1cn.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( X  X.  Y ) )
2 txdis1cn.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  Y ) )
32adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  Y )
)
4 txdis1cn.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
65toptopon 19934 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
74, 6sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
87adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9 txdis1cn.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
10 cnf2 20251 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  Y )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
113, 8, 9, 10syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
12 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )
1312fmpt 6054 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  (
x F y )  e.  U. K  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
1411, 13sylibr 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( x F y )  e. 
U. K )
1514ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x F y )  e.  U. K
)
16 ffnov 6410 . . 3  |-  ( F : ( X  X.  Y ) --> U. K  <->  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
x F y )  e.  U. K ) )
171, 15, 16sylanbrc 668 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> U. K )
18 cnvimass 5203 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " u ) 
C_  dom  F
191adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  F  Fn  ( X  X.  Y
) )
20 fndm 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
2218, 21syl5sseq 3512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u ) 
C_  ( X  X.  Y ) )
23 relxp 4957 . . . . . . 7  |-  Rel  ( X  X.  Y )
24 relss 4937 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " u ) 
C_  ( X  X.  Y )  ->  ( Rel  ( X  X.  Y
)  ->  Rel  ( `' F " u ) ) )
2522, 23, 24mpisyl 22 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  Rel  ( `' F " u ) )
26 elpreima 6013 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >.
)  e.  u ) ) )
2719, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >.
)  e.  u ) ) )
28 opelxp 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  Y ) )
29 df-ov 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x F z )  =  ( F `  <. x ,  z >. )
3029eqcomi 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 <. x ,  z
>. )  =  (
x F z )
3130eleq1i 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  <. x ,  z >. )  e.  u  <->  ( x F z )  e.  u
)
3228, 31anbi12i 701 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y
)  /\  ( F `  <. x ,  z
>. )  e.  u
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )
33 simprll 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  x  e.  X )
34 snelpwi 4662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  { x }  e.  ~P X
)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { x }  e.  ~P X )
3612mptpreima 5343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) " u
)  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }
379adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  Y ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
3837ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
39 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  u  e.  K )
40 cnima 20267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K )  /\  u  e.  K
)  ->  ( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) " u
)  e.  J )
4138, 39, 40syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )
" u )  e.  J )
4236, 41syl5eqelr 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  e.  J )
43 simprlr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
z  e.  Y )
44 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( x F z )  e.  u )
45 ssnid 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
{ x }
46 opelxp 4879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( x  e.  { x }  /\  z  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )
4745, 46mpbiran 926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  z  e.  { y  e.  Y  | 
( x F y )  e.  u }
)
48 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
x F y )  =  ( x F z ) )
4948eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( x F y )  e.  u  <->  ( x F z )  e.  u ) )
5049elrab 3229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  <->  ( z  e.  Y  /\  (
x F z )  e.  u ) )
5147, 50bitri 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( z  e.  Y  /\  (
x F z )  e.  u ) )
5243, 44, 51sylanbrc 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
53 relxp 4957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  Rel  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
55 opelxp 4879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
n ,  m >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( n  e.  { x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )
5633snssd 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { x }  C_  X )
5756sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  n  e.  {
x } )  ->  n  e.  X )
5857adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  n  e.  X )
59 elrabi 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  m  e.  Y )
6059ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  m  e.  Y )
61 opelxp 4879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( n  e.  X  /\  m  e.  Y ) )
6258, 60, 61sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y ) )
63 df-ov 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n F m )  =  ( F `  <. n ,  m >. )
64 elsni 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  { x }  ->  n  =  x )
6564ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  n  =  x )
6665oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( n F m )  =  ( x F m ) )
6763, 66syl5eqr 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( F `  <. n ,  m >. )  =  ( x F m ) )
68 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  m  ->  (
x F y )  =  ( x F m ) )
6968eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  m  ->  (
( x F y )  e.  u  <->  ( x F m )  e.  u ) )
7069elrab 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  <->  ( m  e.  Y  /\  (
x F m )  e.  u ) )
7170simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
x F m )  e.  u )
7271ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( x F m )  e.  u )
7367, 72eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u )
74 elpreima 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u ) ) )
751, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u )  <->  ( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u ) ) )
7675ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u )  <-> 
( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u
) ) )
7762, 73, 76mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u ) )
7877ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u ) ) )
7955, 78syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( <. n ,  m >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F "
u ) ) )
8054, 79relssdv 4942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) )
81 xpeq1 4863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  { x }  ->  ( a  X.  b
)  =  ( { x }  X.  b
) )
8281eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  { x }  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  <->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b ) ) )
8381sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  { x }  ->  ( ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u )  <-> 
( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
8482, 83anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  { x }  ->  ( ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b )  /\  ( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
85 xpeq2 4864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  ( { x }  X.  b )  =  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
8685eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b )  <->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) ) )
8785sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u )  <-> 
( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) )
8886, 87anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
( <. x ,  z
>.  e.  ( { x }  X.  b )  /\  ( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  /\  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
8984, 88rspc2ev 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x }  e.  ~P X  /\  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  e.  J  /\  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  /\  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) )  ->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
9035, 42, 52, 80, 89syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) ) )
91 opex 4681 . . . . . . . . . . 11  |-  <. x ,  z >.  e.  _V
92 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( v  e.  ( a  X.  b
)  <->  <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b ) ) )
9392anbi1d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
94932rexbidv 2946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) ) ) )
9591, 94elab 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) }  <->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
9690, 95sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } )
9796ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u )  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
9832, 97syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( <. x ,  z
>.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >. )  e.  u
)  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e. 
~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
9927, 98sylbid 218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  ->  <. x ,  z >.  e.  {
v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
10025, 99relssdv 4942 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u ) 
C_  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } )
101 ssabral 3532 . . . . 5  |-  ( ( `' F " u ) 
C_  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) }  <->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
102100, 101sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
103 txdis1cn.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
104 distopon 19998 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X
) )
105103, 104syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X ) )
106105adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X
) )
1072adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  J  e.  (TopOn `  Y )
)
108 eltx 20569 . . . . 5  |-  ( ( ~P X  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J )  <->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
109106, 107, 108syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( `' F "
u )  e.  ( ~P X  tX  J
)  <->  A. v  e.  ( `' F " u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
110102, 109mpbird 235 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) )
111110ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  K  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) )
112 txtopon 20592 . . . 4  |-  ( ( ~P X  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ~P X  tX  J )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
113105, 2, 112syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ~P X  tX  J )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
114 iscn 20237 . . 3  |-  ( ( ( ~P X  tX  J )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( F  e.  ( ( ~P X  tX  J )  Cn  K
)  <->  ( F :
( X  X.  Y
) --> U. K  /\  A. u  e.  K  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) ) ) )
115113, 7, 114syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ~P X  tX  J )  Cn  K
)  <->  ( F :
( X  X.  Y
) --> U. K  /\  A. u  e.  K  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) ) ) )
11617, 111, 115mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ~P X  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   <.cop 4002   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   "cima 4852   Rel wrel 4854    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Topctop 19903  TopOnctopon 19904    Cn ccn 20226    tX ctx 20561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-map 7478  df-topgen 15329  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cn 20229  df-tx 20563
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