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Theorem txdis1cn 19188
Description: A function is jointly continuous on a discrete left topology iff it is continuous as a function of its right argument, for each fixed left value. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txdis1cn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
txdis1cn.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  Y ) )
txdis1cn.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
txdis1cn.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( X  X.  Y ) )
txdis1cn.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
txdis1cn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ~P X  tX  J
)  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J    x, X, y    x, K, y    ph, x    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    J( y)    V( x, y)

Proof of Theorem txdis1cn
Dummy variables  a 
b  m  n  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txdis1cn.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( X  X.  Y ) )
2 txdis1cn.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  Y ) )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  Y )
)
4 txdis1cn.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
65toptopon 18518 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
74, 6sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9 txdis1cn.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
10 cnf2 18833 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  Y )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
113, 8, 9, 10syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )
1312fmpt 5859 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  (
x F y )  e.  U. K  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
1411, 13sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( x F y )  e. 
U. K )
1514ralrimiva 2794 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x F y )  e.  U. K
)
16 ffnov 6189 . . 3  |-  ( F : ( X  X.  Y ) --> U. K  <->  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
x F y )  e.  U. K ) )
171, 15, 16sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> U. K )
18 cnvimass 5184 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " u ) 
C_  dom  F
191adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  F  Fn  ( X  X.  Y
) )
20 fndm 5505 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
2218, 21syl5sseq 3399 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u ) 
C_  ( X  X.  Y ) )
23 relxp 4942 . . . . . . 7  |-  Rel  ( X  X.  Y )
24 relss 4922 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " u ) 
C_  ( X  X.  Y )  ->  ( Rel  ( X  X.  Y
)  ->  Rel  ( `' F " u ) ) )
2522, 23, 24mpisyl 18 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  Rel  ( `' F " u ) )
26 elpreima 5818 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >.
)  e.  u ) ) )
2719, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >.
)  e.  u ) ) )
28 opelxp 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  Y ) )
29 df-ov 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x F z )  =  ( F `  <. x ,  z >. )
3029eqcomi 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 <. x ,  z
>. )  =  (
x F z )
3130eleq1i 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  <. x ,  z >. )  e.  u  <->  ( x F z )  e.  u
)
3228, 31anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y
)  /\  ( F `  <. x ,  z
>. )  e.  u
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )
33 simprll 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  x  e.  X )
34 snelpwi 4532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  { x }  e.  ~P X
)
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { x }  e.  ~P X )
3612mptpreima 5326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) " u
)  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }
379adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  Y ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
3837ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
39 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  u  e.  K )
40 cnima 18849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K )  /\  u  e.  K
)  ->  ( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) " u
)  e.  J )
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )
" u )  e.  J )
4236, 41syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  e.  J )
43 simprlr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
z  e.  Y )
44 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( x F z )  e.  u )
45 ssnid 3901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
{ x }
46 opelxp 4864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( x  e.  { x }  /\  z  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )
4745, 46mpbiran 909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  z  e.  { y  e.  Y  | 
( x F y )  e.  u }
)
48 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
x F y )  =  ( x F z ) )
4948eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( x F y )  e.  u  <->  ( x F z )  e.  u ) )
5049elrab 3112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  <->  ( z  e.  Y  /\  (
x F z )  e.  u ) )
5147, 50bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( z  e.  Y  /\  (
x F z )  e.  u ) )
5243, 44, 51sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
53 relxp 4942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  Rel  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
55 opelxp 4864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
n ,  m >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( n  e.  { x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )
5633snssd 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { x }  C_  X )
5756sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  n  e.  {
x } )  ->  n  e.  X )
5857adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  n  e.  X )
59 elrabi 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  m  e.  Y )
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  m  e.  Y )
61 opelxp 4864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( n  e.  X  /\  m  e.  Y ) )
6258, 60, 61sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y ) )
63 df-ov 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n F m )  =  ( F `  <. n ,  m >. )
64 elsni 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  { x }  ->  n  =  x )
6564ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  n  =  x )
6665oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( n F m )  =  ( x F m ) )
6763, 66syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( F `  <. n ,  m >. )  =  ( x F m ) )
68 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  m  ->  (
x F y )  =  ( x F m ) )
6968eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  m  ->  (
( x F y )  e.  u  <->  ( x F m )  e.  u ) )
7069elrab 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  <->  ( m  e.  Y  /\  (
x F m )  e.  u ) )
7170simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
x F m )  e.  u )
7271ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( x F m )  e.  u )
7367, 72eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u )
74 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u ) ) )
751, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u )  <->  ( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u ) ) )
7675ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u )  <-> 
( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u
) ) )
7762, 73, 76mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u ) )
7877ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u ) ) )
7955, 78syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( <. n ,  m >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F "
u ) ) )
8054, 79relssdv 4927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) )
81 xpeq1 4849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  { x }  ->  ( a  X.  b
)  =  ( { x }  X.  b
) )
8281eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  { x }  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  <->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b ) ) )
8381sseq1d 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  { x }  ->  ( ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u )  <-> 
( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
8482, 83anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  { x }  ->  ( ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b )  /\  ( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
85 xpeq2 4850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  ( { x }  X.  b )  =  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
8685eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b )  <->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) ) )
8785sseq1d 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u )  <-> 
( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) )
8886, 87anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
( <. x ,  z
>.  e.  ( { x }  X.  b )  /\  ( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  /\  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
8984, 88rspc2ev 3076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x }  e.  ~P X  /\  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  e.  J  /\  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  /\  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) )  ->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
9035, 42, 52, 80, 89syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) ) )
91 opex 4551 . . . . . . . . . . 11  |-  <. x ,  z >.  e.  _V
92 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( v  e.  ( a  X.  b
)  <->  <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b ) ) )
9392anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
94932rexbidv 2753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) ) ) )
9591, 94elab 3101 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) }  <->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
9690, 95sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } )
9796ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u )  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
9832, 97syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( <. x ,  z
>.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >. )  e.  u
)  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e. 
~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
9927, 98sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  ->  <. x ,  z >.  e.  {
v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
10025, 99relssdv 4927 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u ) 
C_  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } )
101 ssabral 3418 . . . . 5  |-  ( ( `' F " u ) 
C_  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) }  <->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
102100, 101sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
103 txdis1cn.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
104 distopon 18581 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X
) )
105103, 104syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X ) )
106105adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X
) )
1072adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  J  e.  (TopOn `  Y )
)
108 eltx 19121 . . . . 5  |-  ( ( ~P X  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J )  <->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( `' F "
u )  e.  ( ~P X  tX  J
)  <->  A. v  e.  ( `' F " u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
110102, 109mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) )
111110ralrimiva 2794 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  K  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) )
112 txtopon 19144 . . . 4  |-  ( ( ~P X  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ~P X  tX  J )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
113105, 2, 112syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ~P X  tX  J )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
114 iscn 18819 . . 3  |-  ( ( ( ~P X  tX  J )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( F  e.  ( ( ~P X  tX  J )  Cn  K
)  <->  ( F :
( X  X.  Y
) --> U. K  /\  A. u  e.  K  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) ) ) )
115113, 7, 114syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ~P X  tX  J )  Cn  K
)  <->  ( F :
( X  X.  Y
) --> U. K  /\  A. u  e.  K  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) ) ) )
11617, 111, 115mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ~P X  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2424   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {csn 3872   <.cop 3878   U.cuni 4086    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   "cima 4838   Rel wrel 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Topctop 18478  TopOnctopon 18479    Cn ccn 18808    tX ctx 19113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-map 7208  df-topgen 14374  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-cn 18811  df-tx 19115
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