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Theorem txcnpi 19306
Description: Continuity of a two-argument function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnpi.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txcnpi.2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txcnpi.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. ) )
txcnpi.4  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
txcnpi.5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
txcnpi.6  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
txcnpi.7  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  U )
Assertion
Ref Expression
txcnpi  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, A    u, B, v    u, F, v    u, J, v   
u, K, v    u, U, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    L( v, u)    X( v, u)    Y( v, u)

Proof of Theorem txcnpi
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnpi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. ) )
2 txcnpi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
3 df-ov 6196 . . . 4  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
4 txcnpi.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  U )
53, 4syl5eqelr 2544 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  <. A ,  B >. )  e.  U )
6 cnpimaex 18985 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. )  /\  U  e.  L  /\  ( F `
 <. A ,  B >. )  e.  U )  ->  E. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w )  C_  U ) )
71, 2, 5, 6syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w )  C_  U ) )
8 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
9 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
108, 9cnpf 18976 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L ) `  <. A ,  B >. )  ->  F : U. ( J  tX  K ) --> U. L )
111, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : U. ( J  tX  K ) --> U. L )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  F : U. ( J  tX  K
) --> U. L )
13 ffun 5662 . . . . . . 7  |-  ( F : U. ( J 
tX  K ) --> U. L  ->  Fun  F )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  Fun  F )
15 elssuni 4222 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( J  tX  K )  ->  w  C_ 
U. ( J  tX  K ) )
16 fdm 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. ( J 
tX  K ) --> U. L  ->  dom  F  = 
U. ( J  tX  K ) )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  U. ( J  tX  K ) )
1817sseq2d 3485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  C_  dom  F  <-> 
w  C_  U. ( J  tX  K ) ) )
1918biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  C_  U. ( J  tX  K ) )  ->  w  C_  dom  F )
2015, 19sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  w  C_  dom  F )
21 funimass3 5921 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
w )  C_  U  <->  w 
C_  ( `' F " U ) ) )
2214, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( F " w )  C_  U 
<->  w  C_  ( `' F " U ) ) )
2322anbi2d 703 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F
" w )  C_  U )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) ) ) )
24 txcnpi.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
25 txcnpi.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
26 eltx 19266 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( w  e.  ( J  tX  K
)  <->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J  tX  K )  <->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2827biimpa 484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )
29 eleq1 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( z  e.  ( u  X.  v
)  <->  <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
3029anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
31302rexbidv 2872 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  <->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w ) ) )
3231rspccv 3169 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  w  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
33 sstr2 3464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  w  ->  (
w  C_  ( `' F " U )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( u  X.  v
)  C_  w  ->  ( u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) )
3534anim2d 565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  -> 
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) ) )
36 opelxp 4970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( A  e.  u  /\  B  e.  v ) )
3736anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  <->  ( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w ) )
38 df-3an 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) )  <-> 
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) )
3935, 37, 383imtr4g 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  -> 
( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4039reximdv 2926 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  ( E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  ->  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4140reximdv 2926 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4241com12 31 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  ->  ( w  C_  ( `' F " U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4332, 42syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  w  ->  (
w  C_  ( `' F " U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) ) )
4443impd 431 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4528, 44syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4623, 45sylbid 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F
" w )  C_  U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4746rexlimdva 2940 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w ) 
C_  U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
487, 47mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3429   <.cop 3984   U.cuni 4192    X. cxp 4939   `'ccnv 4940   dom cdm 4941   "cima 4944   Fun wfun 5513   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193  TopOnctopon 18624    CnP ccnp 18954    tX ctx 19258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-map 7319  df-topgen 14493  df-top 18628  df-topon 18631  df-cnp 18957  df-tx 19260
This theorem is referenced by:  tmdcn2  19785
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