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Theorem txcnpi 19979
Description: Continuity of a two-argument function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnpi.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txcnpi.2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txcnpi.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. ) )
txcnpi.4  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
txcnpi.5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
txcnpi.6  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
txcnpi.7  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  U )
Assertion
Ref Expression
txcnpi  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, A    u, B, v    u, F, v    u, J, v   
u, K, v    u, U, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    L( v, u)    X( v, u)    Y( v, u)

Proof of Theorem txcnpi
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnpi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. ) )
2 txcnpi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
3 df-ov 6281 . . . 4  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
4 txcnpi.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  U )
53, 4syl5eqelr 2534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  <. A ,  B >. )  e.  U )
6 cnpimaex 19627 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. )  /\  U  e.  L  /\  ( F `
 <. A ,  B >. )  e.  U )  ->  E. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w )  C_  U ) )
71, 2, 5, 6syl3anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w )  C_  U ) )
8 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
9 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
108, 9cnpf 19618 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L ) `  <. A ,  B >. )  ->  F : U. ( J  tX  K ) --> U. L )
111, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : U. ( J  tX  K ) --> U. L )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  F : U. ( J  tX  K
) --> U. L )
13 ffun 5720 . . . . . . 7  |-  ( F : U. ( J 
tX  K ) --> U. L  ->  Fun  F )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  Fun  F )
15 elssuni 4261 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( J  tX  K )  ->  w  C_ 
U. ( J  tX  K ) )
16 fdm 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. ( J 
tX  K ) --> U. L  ->  dom  F  = 
U. ( J  tX  K ) )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  U. ( J  tX  K ) )
1817sseq2d 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  C_  dom  F  <-> 
w  C_  U. ( J  tX  K ) ) )
1918biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  C_  U. ( J  tX  K ) )  ->  w  C_  dom  F )
2015, 19sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  w  C_  dom  F )
21 funimass3 5985 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
w )  C_  U  <->  w 
C_  ( `' F " U ) ) )
2214, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( F " w )  C_  U 
<->  w  C_  ( `' F " U ) ) )
2322anbi2d 703 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F
" w )  C_  U )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) ) ) )
24 txcnpi.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
25 txcnpi.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
26 eltx 19939 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( w  e.  ( J  tX  K
)  <->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J  tX  K )  <->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2827biimpa 484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )
29 eleq1 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( z  e.  ( u  X.  v
)  <->  <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
3029anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
31302rexbidv 2959 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  <->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w ) ) )
3231rspccv 3191 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  w  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
33 sstr2 3494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  w  ->  (
w  C_  ( `' F " U )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( u  X.  v
)  C_  w  ->  ( u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) )
3534anim2d 565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  -> 
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) ) )
36 opelxp 5016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( A  e.  u  /\  B  e.  v ) )
3736anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  <->  ( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w ) )
38 df-3an 974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) )  <-> 
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) )
3935, 37, 383imtr4g 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  -> 
( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4039reximdv 2915 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  ( E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  ->  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4140reximdv 2915 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4241com12 31 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  ->  ( w  C_  ( `' F " U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4332, 42syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  w  ->  (
w  C_  ( `' F " U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) ) )
4443impd 431 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4528, 44syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4623, 45sylbid 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F
" w )  C_  U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4746rexlimdva 2933 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w ) 
C_  U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
487, 47mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792    C_ wss 3459   <.cop 4017   U.cuni 4231    X. cxp 4984   `'ccnv 4985   dom cdm 4986   "cima 4989   Fun wfun 5569   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278  TopOnctopon 19265    CnP ccnp 19596    tX ctx 19931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-map 7421  df-topgen 14715  df-top 19269  df-topon 19272  df-cnp 19599  df-tx 19933
This theorem is referenced by:  tmdcn2  20458
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