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Theorem txcnp 17605
Description: If two functions are continuous at  D, then the ordered pair of them is continuous at  D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnp.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txcnp.5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txcnp.6  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
txcnp.7  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
txcnp.8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)
txcnp.9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)
Assertion
Ref Expression
txcnp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K  tX  L ) ) `  D ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, Y    x, Z    x, D    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem txcnp
Dummy variables  s 
r  t  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnp.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 txcnp.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txcnp.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)
4 cnpf2 17268 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
6 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
76fmpt 5849 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
85, 7sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  Y )
98r19.21bi 2764 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
10 txcnp.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
11 txcnp.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)
12 cnpf2 17268 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
131, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
14 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1514fmpt 5849 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  Z  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
1613, 15sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  Z )
1716r19.21bi 2764 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Z )
18 opelxpi 4869 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( Y  X.  Z
) )
199, 17, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( Y  X.  Z ) )
20 eqid 2404 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
2119, 20fmptd 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z ) )
22 txcnp.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
23 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
24 opex 4387 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2520fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. A ,  B >. )
2623, 24, 25sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. A ,  B >. )
276fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
2823, 9, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
2914fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  B  e.  Z )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )  =  B )
3023, 17, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  B )
3128, 30opeq12d 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. A ,  B >. )
3226, 31eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )
3332ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )
34 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )
35 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )
36 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )
3735, 36nfop 3960 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >.
3834, 37nfeq 2547 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >.
39 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D ) )
40 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
41 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) )
4240, 41opeq12d 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.
)
4339, 42eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >. ) )
4438, 43rspc 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >. ) )
4522, 33, 44sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >. )
4645eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  <->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.  e.  ( v  X.  w
) ) )
4746adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  <->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.  e.  ( v  X.  w
) ) )
483ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 D ) )
49 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  v  e.  K )
50 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v )
51 cnpimaex 17274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )  /\  v  e.  K  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  v )  ->  E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )
)
5248, 49, 50, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )
)
5311ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L ) `
 D ) )
54 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  w  e.  L )
55 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  D
)  e.  w )
56 cnpimaex 17274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )  /\  w  e.  L  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
)  ->  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
)
5753, 54, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
)
5852, 57jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v
)  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
) )
5958ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  v  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) `  D
)  e.  w )  ->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
60 opelxp 4867 . . . . . . 7  |-  ( <.
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >.  e.  ( v  X.  w )  <->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )
61 reeanv 2835 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  J  E. s  e.  J  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  <->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v
)  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
) )
6259, 60, 613imtr4g 262 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >.  e.  ( v  X.  w )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
6347, 62sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
64 an4 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  <->  ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  /\  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) ) )
65 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( r  i^i  s )  <->  ( D  e.  r  /\  D  e.  s ) )
6665biimpri 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  ->  D  e.  ( r  i^i  s ) )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  ->  D  e.  ( r  i^i  s
) ) )
68 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  r  e.  J )
69 toponss 16949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  r  e.  J )  ->  r  C_  X )
701, 68, 69syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
r  C_  X )
71 ssinss1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r 
C_  X  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
7271adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
7372sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  X )
7433ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  A. x  e.  X  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )
75 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )
76 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )
77 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )
7876, 77nfop 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >.
7975, 78nfeq 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) >.
80 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t ) )
81 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) )
82 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) )
8381, 82opeq12d 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  t  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 t ) >.
)
8480, 83eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. ) )
8579, 84rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. ) )
8673, 74, 85sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. )
87 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  i^i  s )  C_  r
88 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  ( r  i^i  s
) )
8987, 88sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  r )
905ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
91 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  A ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  A ) )
9372adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
94 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
9590, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
9693, 95sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
9796, 88sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
98 funfvima 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  A )  /\  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )  ->  ( t  e.  r  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
t  e.  r  -> 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
) ) )
10089, 99mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) )
101 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  i^i  s )  C_  s
102101, 88sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  s )
10313ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
104 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  B ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  B ) )
106 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
107103, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
10893, 107sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
109108, 88sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
110 funfvima 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  B )  /\  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )  ->  ( t  e.  s  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
111105, 109, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
t  e.  s  -> 
( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s
) ) )
112102, 111mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  t
)  e.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) )
113 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) )  ->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) >.  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  X.  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
) ) )
114100, 112, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )
>.  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
11586, 114eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) ) )
116115ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  A. t  e.  ( r  i^i  s
) ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t
)  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) ) )
117 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  ->  Fun  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )
11821, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
119118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  Fun  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )
120 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  ->  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  =  X )
12121, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  =  X )
122121adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  =  X )
12372, 122sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
124 funimass4 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  /\  ( r  i^i  s )  C_  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) )  <->  A. t  e.  ( r  i^i  s
) ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t
)  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) ) ) )
125119, 123, 124syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) )  <->  A. t  e.  (
r  i^i  s )
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) ) )
126116, 125mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) ) )
12770, 126syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
128127adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
129 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) )  C_  ( v  X.  w ) )
130 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) 
C_  ( v  X.  w )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) )
131128, 129, 130syl2im 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )
13267, 131anim12d 547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  /\  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  ->  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
13364, 132syl5bi 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  -> 
( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) )
134 topontop 16946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1351, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
136 inopn 16927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  ( r  i^i  s
)  e.  J )
1371363expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J
) )  ->  (
r  i^i  s )  e.  J )
138135, 137sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( r  i^i  s
)  e.  J )
139138adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( r  i^i  s
)  e.  J )
140133, 139jctild 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  -> 
( ( r  i^i  s )  e.  J  /\  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
141140expimpd 587 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  /\  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) )  -> 
( ( r  i^i  s )  e.  J  /\  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
142 eleq2 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  ( D  e.  z  <->  D  e.  ( r  i^i  s
) ) )
143 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) )
144143sseq1d 3335 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w )  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) )
145142, 144anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z
)  C_  ( v  X.  w ) )  <->  ( D  e.  ( r  i^i  s
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
146145rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  i^i  s
)  e.  J  /\  ( D  e.  (
r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )
147141, 146syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  /\  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
148147exp3a 426 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  (
( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) ) )
149148rexlimdvv 2796 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
15063, 149syld 42 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
151150ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ph  ->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
152 vex 2919 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
153 vex 2919 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
154152, 153xpex 4949 . . . . 5  |-  ( v  X.  w )  e. 
_V
155154rgen2w 2734 . . . 4  |-  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( v  X.  w )  e.  _V
156 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )  =  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )
157 eleq2 2465 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  e.  y  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  e.  ( v  X.  w
) ) )
158 sseq2 3330 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) )
159158anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z
)  C_  y )  <->  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
160159rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  ( E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y )  <->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
161157, 160imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y ) )  <-> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
162156, 161ralrnmpt2 6143 . . . 4  |-  ( A. v  e.  K  A. w  e.  L  (
v  X.  w )  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w
) ) ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) )  <->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  ( v  X.  w
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) ) )
163155, 162ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y ) )  <->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
164151, 163sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w
) ) ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) ) )
165 topontop 16946 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
1662, 165syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
167 topontop 16946 . . . . 5  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
16810, 167syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
169 eqid 2404 . . . . 5  |-  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )  =  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )
170169txval 17549 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( K  tX  L
)  =  ( topGen ` 
ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ) )
171166, 168, 170syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  =  ( topGen ` 
ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ) )
172 txtopon 17576 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
1732, 10, 172syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
1741, 171, 173, 22tgcnp 17271 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K 
tX  L ) ) `
 D )  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  /\  A. y  e.  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
17521, 164, 174mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K  tX  L ) ) `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   <.cop 3777    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   topGenctg 13620   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    CnP ccnp 17243    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  limccnp2  19732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cnp 17246  df-tx 17547
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